课时分层作业36 极大值与极小值(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

课时分层作业(三十六) 1．D　［f'(x)＝＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f'(x)>0．因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D．］ 2．D　［∵f'(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，则f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值，符合题意；若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．］ 3．A　［对于A选项，当－2<x<是极大值，A选项正确；对于B选项，当x<－2时，f'(x)<0，当－2<x<时，f'(x)>0，f(－2)是极小值，B选项错误；对于C选项，当<x<2时，f'(x)<0，当x>2时，f'(x)>0，f(2)是极小值，C选项错误；对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f'不是极小值，D选项错误．故选A．］ 4．B　［∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y'＝3x2＋2bx＋c． 又x＝1，3是y'＝0的两个根，∴∴y＝x3－6x2＋9x， 又y'＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B．］ 5．A　［f'(x)＝ln x＋2－2ax，x>0，函数f(x)有两个极值，则f'(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)'＝，则有．故选A．］ 6．．］ 7．［1，5)　［∵f'(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点， 即f'(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．又函数f'(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－．∴应满足∴1a<5．］ 8．4　［函数f(x)求导得f'(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f'(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．① 又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行， 所以f'(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，② 联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 当f'(x)>0时，x<0或x>2；当f'(x)<0时，0<x<2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调递减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f(0)＝c，极小值为f(2)＝－4＋c，故函数的极大值与极小值的差为c－(－4＋c)＝4．］ 9．解：因为f(x)＝x3－4x＋4，所以f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f'(x)＝0，解得x＝－2或x＝2．当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示． x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－2)＝； 当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)＝－． 10．解：f'(x)＝3ax2 ＋2bx＋c． (1)法一：∵f(x)在x＝±1处取得极值，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③ 由①②③解得a＝． 法二：由f'(1)＝f'(－1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，　① 3a－2b＋c＝0，　② 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③ 由①②③解得a＝． (2)由(1)知f(x)＝x，∴f'(x)＝(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时f'(x)>0，当－1<x<1时，f'(x)<0．∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增， 在(－1，1)上单调递减．∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值． 11．C　［函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f'(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，．］ 12．BCD　［因为函数f(x)＝aln x＋ 即故选BCD．］ 13．0　4e-2　［由题意知f'(x)＝［x2＋(2－m)x－2m］ex．由f'(0)＝－2m＝0，解得m＝0．则f(x)＝x2ex，f'(x)＝(x2＋2x)ex，令f'(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e-2．］ 14．－ ， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x － f'(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的极小值为f －1，f(x)＝0⇒e2x＝的图象的交点个数，如图所示． 两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f(x)只有一个零点．］ 15．解：(1)∵f(x)＝，∴f'(x)＝．要使f(x)无极值，只需f'(x)0或f'(x)0恒成立即可．设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，∵ex>0，∴f'(x)与g(x)同号． ∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)0恒成立，∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)20，解得k＝4，∴当k＝4时，f(x)无极值． (2)由(1)知k≠4，令f'(x)＝0，得x1＝2，x2＝．①当<2，即k<4时，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x 2 (2，＋∞) f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由题意知f＝0，可得2·＋k＝0，∴k＝0，满足k<4． ②当>2，即k>4时，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x 2 f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由题意知f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，∴k＝8，满足k>4．综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三十六)　极大值与极小值 一、选择题 1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0，1) D．(－1，0) 3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f是极大值 B．f(－2)是极大值 C．f(2)的极大值 D．f是极小值 4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 5．已知a为常数，函数f(x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，e) C． D． 二、填空题 6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________． 7．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值的差为________． 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值． 10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1． (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断f(x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由． 11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于(　　) A． B． C． D． 12．(多选题)若函数f(x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 13．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________． 14．已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个． 15．已知函数f(x)＝(k∈R)． (1)k为何值时，函数f(x)无极值？ (2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $