5.3.2 极大值与极小值-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

5.3.2极大值与极小值 白题 基础过关 限时：45min 题组1导函数图象与极值的关系 5.下列函数中，存在极值的是 1.（2025·湖南郴州高二月考)已知函数f(x)的 A.y=e* B.y=In x 导函数的图象如图所示，则f(x)的极值点的 2 C.y D.y=x2-2x 个数为 ( 6.（2025·湖南怀化高二期末)函数f(x)= 多-h:的极值为 () 1,ln3 A. B.3 22 A.0 B.1 C.2 D.3 C.2ln 3 D.3 2.（多选)(2025·江苏南京高二期末)如图是函 数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则 7.设0是函数f(x)=3cosx+sinx的一个极值 点，则tan0= () A.-3 C.3 D.3 A.函数y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率 小于零 8巴知两数x)=子+之-5+3h,侧雨数 B.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 f(x)的极值点个数为 () C.在x=-2时，函数y=f(x)取得极值 A.0 B.1 D.在x=1时，函数y=f(x)取得极值 C.2 D.3 3.(2025·江苏南通高二期中)定义在R上的函 数f(x)的导数f'(x)的大致图象如图所示，则 9函数)=2mx-m在区间(-受，号)的极 函数y=f(x)的单调递增区间为 ,y= 大值、极小值分别为 f(x)的极大值点为x= 1, y=f'(x) 1,2 B._T 2 +1 题组2利用导数求函数的极值（点） 4.设函数f(x)=(x+1)e,则 A.0为f(x)的极大值点 B.0为f(x)的极小值点 n受1,1 C.-2为f(x)的极大值点 10.函数f(x)=（x2-x+1)·e*的极大值与极小 D.-2为f(x)的极小值点 值的和为 选择性必修第一册·SJ黑白题116 11.(2025·江苏连云港高二期末)已知函数17.(2025·湖南长沙高二月考)已知函数 子-2 f(x)=(x-2)e-1-ax2+2ax. (1)当a=e时，求f(x)的单调性； (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求实 (2)求函数f(x)的极大值与极小值. 数a的取值范围. 题组3已知函数的极值（点）求参数 重难聚焦 12.(2025·重庆一中高二期末)函数f(x)= 题组4函数极值的综合应用 xe+ax的极值点为1，则a= ( 18.若函数f(x)=alnx+ A.-2e B.-e C.e D.2e 13.（2025·湖南长沙高二期末)若0是函数 极大值，又有极小值，则 f(x)=x3-ax2+(a2+a)x-2的极小值点，则 值范围为 f(x)的极大值为 ( A(8) n.(o.g) 9 50 B. 27 C.(-∞，8) D.(0,8) C.、2 19.(2025·广东惠州高二月考)已知函数 3 f(x)=x(x-a)2+b在x=1处取得极大值 b (1)求a的值； 14.(多选)当x=1时，函数f(x)=alnx+取得 (2)若f(x)有且只有3个零点，求实数b的 极大值-2，则有 ( 取值范围。 A.a=-2 B.b=-2 cr2-日 D.2)= 2 15.已知函数f(x)=(x-2)e与g(x)=xlnx+ax 有相同的极值点，则实数a= 16.(2025·辽宁沈阳高三月考)已知函数 f(x)=x3+2ax2+a2x在x=1处取得极小值， 则a= 第5章黑白题117 黑题 应用提优 限时：60min 1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x)= 6. 0”是“函数f(x)在x=x处有极值”的( 已知=a是函数(x)=弓-(a+1)xain A.充分不必要条件 的极大值点，则实数a的取值范围是（) B.必要不充分条件 A.(-∞，1) B.(1,+0) C.充要条件 C.(0,1) D.(0,1] 7.(多选)(2025·河南周口高二期末)已知函数 D.既不充分又不必要条件 f(x)=x(x-1)(e-a),则下列说法正确的是 2.已知f'(x)是函数f(x)在R上的导函数，函数 f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y= A.若a=1,则f(x)有2个零点 f'(x)的图象可能是 B.若a=0,则f(x)在(0，+∞)上既有极大 值，又有极小值 C.若a<0,则f(x)在(-0,0)上没有极值 D.若a>0,则f(x)在(0，+∞)上必有极小值 8.设函数f(x)=ax3+bx2+4x的极小值为-8，其 导函数y=f'(x)的图象过点(-2,0)，如图所 示，则f(x)= 号- A. B.-x3-2x2+4x 3.若函数f(x)=e“+2x有大于零的极值点，则 C.-x3+4x 实数a的取值范围为 ( D.-2x3+x2+4x 1 A.a>-2 B.a>- 9.(2025·江苏南京高二期末)若曲线y=x3与 2 直线y=3ax+2有3个不同的交点，则实数a C.a<-2 D.a<-2 的取值范围是 A.(-0,1) B.(-1,1) 已知函数f(x)=1+l血 4. ,则f(x)在区间 C.(1,+∞) D.（2,+0) (a,a+号)(a>0)上存在极值的-个充分不必 10.（2025·湖南长沙高二月考)已知函数 f(x)=ae-x(aeR)有三个不同的零点，则 要条件是 实数a的取值范围是 A.() o.) ao4) &o,) c.(o.) D.(G1) c.(o.) n.o,4) 5.(2025·浙江宁波高二期末)已知函数 11.已知函数f(x)满足：①既有极大值，也有极 f(x)=e*(x-a)2在x=1处有极大值，则a的 小值；②Vx∈[0,1]，都有fx)>0.请写出一 值为 ( 个满足上述两个条件的函数(x)= A.-1 B.1 C.3 D.1或3 选择性必修第一册·S黑白题118 12.已知函数f(x)=x(1nx-ax)有两个极值点，15.(2025·重庆合川区高二月考)设函数 则实数a的取值范围是 f(x)=In x+a(x-1)(x-2),aER. 13.已知函数f(x)=2(mx-lnx)+e. (1)当a=1时，判断函数f(x)的单调性； (1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线 (2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的 与直线1：2x+y+1=0垂直，求m的值； 极值点，求实数a的取值范围； (2)讨论f(x)的单调性与极值. (3)设f代x)的两个不同的极值点为x1,x2,证 明sh品 压轴挑战川 14.(2025·河北沧州高三月考)已知函数 (2025·江西宜春高二月考)已知函数f(x)= f(x)=e*-2+ax+a3-2a,aER. (x+1)ln(x+1)-2ae*+(2a-1)x+1. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(3， (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； f(3))处的切线方程； (2)若x=0为f(x)的极大值点，求实数a的取 (2)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a 值范围。 的取值范围 进阶突破拔高练P15 第5章黑白题119案为(1，号)】 【eeg折-ea-》i2 当x≥1时f'(x)=e+a,令f(x)≥0得e+a≥0→a≥-e*,又y=-e 在[1，+o）上单调递减，所以(-e)mmr=-e=-e,即a≥-e; 当0<x<1时f'(x)=e*-a,令f'(x)≥0得e-a≥0曰a≤e,又y=e 在(0,1)上单调递增，所以a≤e. 综上，ae[-e,e].故答案为[-e,e]. 10.23解析：由题意，得5(=x+4在[m,3]上单调递增，首先有 0<m<3(若m≤0，则当x=0时，f(x)无意义)，由对勾函数性质得当 0时，8(x)=x+4的单调递增区间为(2，+0)，所以2≤m<3,即 实数m的最小值为2：f'(x)=6x2-6ax+12,由题意f(x)在[1,2]上 单调递减，在[2,3]上单调递增，即x=2是函数f(x)的极值点，所 以f'(2)=6×(4-2a+2)=0,解得a=3,经检验，a=3满足题意.故答 案为2,3. 11.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-3x+lnx+1,定义域为(0，+o), f2x-32-a-D,er>0,得e()u 1,+),令f()<0,得xe(分1)所以)的单调递增区同 为(0,2)，(1，+)，单润递减区间为（分1） (2)fx)=x2-(2a+1)x+alnx+a,定义域为(0，+o),f'"(x)=2x (2a+1)+-2--0,令r()=0,得=或=a ①当a≤0时，当xe(0,号)时f()<0)单调递诚，当xe (分+m)时(>0)单调递指： ②当0a<分时，当xe(0,e)和xe(分+)时f()>0) 1 单洞递，当后(a,)时八)c0,不)单润造减； ③当a=之时"()≥0对Ve(0,+)恒成立，所以f)在 (0,+∞)上单调递增； ④当a>时，当e(0,)和xe(a,+)时r(e)>0)单 1 调递增，当xe（2“时，'()<0x)单调递减 综上所述，当a≤0时，()在(0，分）上单调道减，在 (分+)上单调递措： 当0<a<分时，f()在(a,2)上单调道减，在(0，a)和 1 (分，+)上单调递描： 当a=之时)在〔0，+)上单调递增， 当a心时)在（分a）上单调递减.在(0，）和(a,+) 上单调递增， 12解：(0由题意，得)=号-3+8+子，则()=子-6+8= (x-2)(x-4),在(-0,2)，(4，+0)上f"(x)>0,fx)在(-0,2) (4,+∞)上单调递增，在(2,4)上f'(x)<0f(x)在(2,4)上单调递 减，所以f(x)的递增区间为(-∞，2)，(4，+∞)，递减区间为(2,4) (2)由f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a), 参考答案 当0<a<1时，在(2a,2)上f'(x)<0,f(x)在(2a,2)上单调递减，区 间的长度小于4，不符合题意； 当a=1时，f'(x)≥0，f(x)在定义域上单调递增，不符合题意； 当a>1时，则在(2,2a)上f'(x)<0,f(x)在(2,2a)上单调递减，此 时2a-2=4→a=3,符合题意.综上，a=3. 13.解：(1)由已知得f'(x)=e-a, 当a≤0时，对HxeR,f'(x)=e*-a>0,所以f(x)在(-0，+o)上 单调递增； 当a>0时，由f'(x)>0得x>lna,由f'(x)<0得x<lna,此时f(x)的 增区间为(lna,+o),减区间为(-o,na). 综上，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(-o,+∞)； 当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(lna,+o),单调减区间为 (-o,na). (2)当a=1时，F(x)=e-x-bx2-3,则F'(x)=e*-1-2bx,令 g(x)=e-1-2bx,由F'(x)在[0，+∞)上是增函数，故g'(x)= c-2b≥0在[0，+o]上恒成立，从而6≤2e,Vxe[0,+m)恒成 立，所以6≤2所以6“ 1 压轴挑战 B解析：将八)) =f'(t)变形为f(x1)-xf'（t)=f(x2)- x1一x2 x2∫'()，令g(x)=f(x)∫'(t)x,则g(x)在R上至少有2个不等实数根 使得g(x1)=g(x2),所以g(x)=f(x)-f(t)x在R上不单调，即可满足 “性质T”. 对于A,g(x)=f(x)-f'(t)x=x3-3x-(3t2-3)x,当t=0时，g(x)=x3在 R上单调递增，所以f代x)=x3-3x不满足“性质T”; 对于B,g(x)=fx)-f'(t)x=e1-xe1,g(x)=e1-e-1,所以当x>t 时，g'(x)>0,当x<t时，g'(x)<0,所以g(x)在R上不单调，f(x)=e- 满足“性质T”； 对于C,g(x)=f(x)-∫'(t)x=sin2x-2xcos2,当=0时，则g'(x)= 2cos2x-2≤0，所以g(x)在R上单调递减，则f(x)=sin2x不满足“性质 T”; 2+12+1)2名，当=0时，g() t2-1 对于D,g(x)=f(x)-f'(t)x= (2+1)2<0,g()在R上单调递减，则x) -x4-3x2 x不满足“性质T x2+1 故选B. 5.3.2极大值与极小值 白题 基础过关 1.C解析：因为在x=0左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极 值点，故由题图可知f代x)只有2个极值点故选C. 2.BC解析：对于A,y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率为f'(0)>0, 故A错误： 对于B,当x∈(-2,2)时f'(x)≥0，且f(1)=0,此时f代x)单调递增， 故B正确： 对于C,x=-2是导函数f'(x)的一个变号零点，故当x=-2时f(x) 取得极值，故C正确： 对于D,x=1不是导函数∫(x)的一个变号零点，故当x=1时f(x)不 能取得极值，故D错误 故选BC. 四易错提醒 极值点为导函数的变号零点，也就是说极值点两侧导数值异号. 3.(-1,2),(4,+∞)2解析：根据导函数的图象可知，函数f(x)在 (-1,2),(4,+∞)上时，导数f'(x)>0,函数f(x)在(-∞，-1)， (2,4)上时，导数f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2)， (4,+0),f(x)的单调递诚区间为(-∞，-1)，（2,4)，所以当x=2 时，f(x)取得极大值，所以f(x)的极大值点为x=2. 4.D解析：因为f(x)=(x+1)e*,所以f'(x)=e*+(x+1)e=e*(x+2), 令f'(x)=0得x=-2.又当x<-2时f'(x)<0f(x)单调递减，当x>-2 时f'(x)>0,f(x)单调递增，所以-2为f(x)的极小值点. 5.D解析：对于A:函数y=e是实数集R上的增函数，不存在极值； 黑白题083 对于B:函数y=lnx在(0，+o)上单调递增，不存在极值； 对于C:函数y=是在区间(-，0)，(0，+)上单调递减，不存在 极值； 对于D:y=x2-2x=(x-1)2-1在(1，+0)上单调递增，在(-∞，1)上 单调递减，因此1是函数的极小值点，符合题意. 故选D. 6.A解析：由题知f(x)的定义域为(0，+)，且f'(x)=3x- ,当0(e)=0当时r-5 0,所以✉)在(0，)上单调通议，在（停，+）上单润递增， 故)的摄小值为（停）无极大做故法 7C解析：已知可得f'(0)=-3n0+as9=0,解得m0=了故 选C. 1 1 8.A解析：函数f(x)=3+22-5x+3血x,定义域为(0，+如)， )--1)(x+3》F(≥0在(0，+0)上恒成立，则函数代) 在(0，+∞)上单调递增，无极值点，极值点个数为0.故选A 9.D解析：由题意，得f'(x)=2- sin x '-2-1-2o2x-1,当 COs e(,）u(年）时，2sx-1<0f(x)<0,当xe (牙号)时：2os-10f>a所以)在（受，妥】 上单调递减，在（子牙）上单润道增，在(：，受）上单润 递减。 当=-牙时)取得极小值，为f(子）+1： 当x=牙时)取得极大值，为/（行）-子-1 故选D. 103要解折：因为e)=(2-+1)6中，所以 e2 (x2-x+1)'e-(x2-x+1)(e)'_-x2+3x-2.-(x-1)(x-2) (e*)2 令f"(x)>0,则1<x<2,所以f(x)在区间(1,2)上单调递增.令 f'(x)<0,则x<1或x>2,所以fx)在区间(-0,1)，(2，+∞)上单 调递减， 所以)极小值为I)=。极大值为2)=三，所以到 的极大值与极小值之和为“，故答案为 1.解：(1)因为函数/)=号-8+2，所以()=22-8=2(x 2)(x+2),由'(x)>0得x<-2或x>2,由f'(x)<0得-2<x<2,则函 数fx)= 号-x+2的增区间为(-云，2)和2,0)，诚区间为 (-2,2) (2)由(1)得列表如下： (-0,-2) -2 (-2,2) (2,+∞) f'(x) 0 0 + f(x) 极大值38 极小值26 则函数f(x)的极大值为 ,极小值为 ,3 26 选择性必修第一册·SJ 12.A解析：由已知f'(x)=(1+x)e+a,则f'(1)=2eta=0,a=-2e, 当x>1时，1+x>2,e>e,则(1+x)e>2e,因此f(x)>0, 当0<x<1时，1<1+x<2,0<e<e,则(1+x)e<2e,因此f'(x)<0, 所以1是极小值点，满足题意.故选A 13.B解析：因为f(x)=x3-a2+(a2+a)x-2,所以f(x)=3x2-2ax+ a2+a.又0是函数f(x)的极小值点，所以f'(0)=a2+a=0,解得a= 0或a=-1. 当α=0时，'(x)=3x2≥0恒成立，函数f(x)单调递增，不符合题 意，舍去 当a=-1时()=32+2x=(3x+2),所以当xe（,子） 时（到>0）单调递道，当：e(号，0）时()<0)单 调递减，当x∈(0，+0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，0是f(x)的极 小值点，所以a=-1,f(x)=x3+x2-2. 由以上分折知，当：=子时，到取得极大值，且（号）裂 故选B. 四易错提醒 在已知极小（大）值点求参数时，需要将参数值代入检验已知点是否 为极小（大）值点. 14.ABC解析：对于AB:因为函数f(x)定义域为(0，+0)，所以依题 可知1)=-2f"(1)=0,而f'(x)=0-b ,所以6=-2，a-6=0, 即a=-2,b=-2,故AB正确； 对Fc:因为()是子所以(2)=-1+分子放 C正确； 对于D)=-2h名2)=-2h2-号1-2h2,放D错误 故选ABC. 15.-1解析：由f"(x)=(x-1)e*=0,可得函数f(x)的极值点为1，又 由g'(x)=lnx+a+1,有g'(1)=a+1=0,得a=-1,经检验a=-1符 合题意.故答案为-1. 16.-1解析：由题意得f'(x)=3x2+4ax+a2,又函数f(x)=x3+2ax2+ a2x在x=1处取得极小值，则f'(1)=3+4a+a2=0,解得a=-1或 a=-3,当a=-1时f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),令f'(x)= 0,则=或=1，当e(兮l）时'()<0，当xe(1,+） 时f'(x)>0,则在x=1处取得极小值，故a=-1时符合题意：当 a=-3时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令f'(x)=0,则x=3 或x=1,当x∈(1,3)时，f'(x)<0,当xe(-∞，1)时f'(x)>0,则在 x=1处取得极大值，故a=-3时不符合题意.故填-1. 17.解：(1)当a=e时，f(x)=(x-2)e1-ex2+2ex,则f(x)=(x 1)e1-2e(x-1)=(x-1)（e1-2e),令f'(x)=0,解得x=1或 x=2+n2.令f'(x)<0,解得1<x<2+ln2,所以f八x)在(1,2+ln2)上 单调递减，令f'(x)>0,解得x<1或x>2+n2,即f(x)在(-∞，1)， (2+ln2,+o)上单调递增. 综上，函数f(x)在(-∞，1)，(2+ln2,+∞)上单调递增，在 (1,2+ln2)上单调递减. (2)由fx)=(x-2)e1-ax2+2ax求导，得f'(x)=(x-1)e-1 2a(x-1)=(x-1)(e-1-2a). ①当a≤0时，e-1-2a>0恒成立，令f"(x)<0,解得x<1,即f(x)在 (-o,1)上单调递减，令f(x)>0,解得x>1,即f(x)在(1，+0)上 单调递增，故a≤0时，函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意； ②当0<a<2时，令f(x)=0,解得1=1，=1+ln(2a),且1>， 当1+ln(2a)<x<1时f'(x)<0,函数f(x)在(1+ln(2a),1)上单调 递减，当x>1时，∫'(x)>0,函数f(x)在(1，+∞）上单调递增，所以 函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意 ③当a=之时，令f()=0,解得x1==1,此时f()≥0恒成立 且∫'(x)不恒为0，代x)单调递增，故函数(x)无极值，不符合题意 黑白题084 ④当a>时，令f()=0,解得1=1，名=1+ln(2),且x<,当 x<1时，f'(x)>0,函数f(x)在(-o,1)上单调递增，当1<x<1+ ln(2a)时，f'(x)<0,函数f(x)在(1,1+n(2a))上单调递减，所以函 数f代x)在x=1处取得极大值，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是 1 （-0,2} 重难聚焦 18.B解析：f(x)=alnx+ 11 x x2 (x>0),则f'(x)=-1+2 xx2”x3 ar2-x+2 (x>0),函数代x)既有极大值，又有极小值，等价于一元二 x3 次方程ax2-x+2=0在(0，+∞)上有2个不同的实根，则 a≠0， 4=1-8a>0 1 >0, 解得0a<g,即实数a的取值范国为(0，号）】 2a a×02-0+2>0. 故选B 19.解：(1)因为fx)=x(x-a)2+b,则f(x)=3x2-4ax+a2.因为函数 f八x)在x=1处取得极大值，则f'(1)=3-4a+a2=0,解得a=1或 a=3. 当a=1时f'(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),令f(x)>0,得x<3 或1，令f()<0,得1，所以函数)在（行1）上单调 递减，在(1，+∞)上单调递增，则f代x)在x=1处取得极小值，不符 合题意； 当a=3时f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),令f'(x)>0,得x<1 或x>3,令f'(x)<0,得1<x<3,所以函数f(x)在(-3,1)上单调递 增，在(1,3)上单调递减，则f(x)在x=1处取得极大值，符合题意 综上，a=3 (2)由(1)可得，a=3,f(x)=x(x-3)2+b,函数f(x)的增区间为 (-o,1),(3,+∞)，减区间为(1,3)所以函数f(x)极大值f(1)= 4+b,极小值f(3)=b.又因为f(x)有且只有3个零点，则 代1)=b+4>0,解得-4<b0,且满足f0)=b<0,(4)=4+b>0,满 f(3)=b<0, 足题意. 因此，实数b的取值范围是(-4,0) 四重难点拨 三次函数的零点问题： ①若三次函数(x)为单调函数或极大值与极小值同号时，(x)有且 仅有一个零点； ②若三次函数f代x)的极大值与极小值其中一个为0时，(x)有两个 零点； ③若三次函数(x)的极大值与极小值异号时，f代x)有三个零点. 黑题 应用提优 1.B解析：若函数f(x)在x=x0处有极值，则一定有f'(x0)=0; 反之，若∫'(xo)=0,函数f(x)在x=x0处不一定有极值，如f(x)=x3 在x=0处满足f'(0)=0,但f(x)在x=0处无极值， 所以“”(x0)=0”是“函数八x)在x=x0处有极值”的必要不充分条 件故选B. 2.C解析：由题意可得∫'(-2)=0，而且在点(-2,0)的左侧附近， f'(x)<0,此时f(x)>0,排除BD: 在点(-2,0)的右侧附近，f'(x)>0,此时f"(x)<0,排除A, 所以函数y=xf'(x)的图象可能是C.故选C. 3.C解析：函数f代x)=e“+2x,可得f'(x)=aea“+2,若a≥0，f'(x)>0 此时f(x)单调递增，无极值点，故a<0,令f'(x)=aes+2=0,解得x= h(),当oh()时r>0,当(） 时（©）<0放：=（名）是)=e产+2的极值点，由于函 参考答案 数)=e+2:有大于零的极值点，日h(名)>0一 n(子）k0-0c名<1，解得a<-2放选c a 4A解折到1h()=产，当1时（倒<0到）单调 递减，当0<x<1时∫(x)>0,f(x)单调递增，因此1是函数的极大值 点，要想在区间(a,a+号）o>0)上存在极位，只需a<1<a 2 3 <a1,显然四个达项中，只有子<a4<1能推出写a<1,但是 1 2 a<1推不出了<a<1.故选A 5.C解析：由题f'(x)=e*(x-a)[x-(a-2)].因为函数f(x)= e*(x-a)2在x=1处有极大值，则f'(1)=0→a=1或a=3. 若a=1,f'(x)=e*(x-1)(x+1),f'(x)>0→x∈(-0，-1)U (1,+∞)f(x)<0曰x∈(-1,1)，则fx)在(-0，-1)，(1，+∞)上单 调递增，在(-1,1)上单调递减，此时f(x)=e*(x-a)2在x=1处有 极小值，故a=1不满足题意； 若a=3,f'(x)=e*(x-1)(x-3),f'(x)>0→x∈(-0,1)U(3,+0) f'(x)<0→x∈(1,3)，则f(x)在(-，1)，(3，+∞)上单调递增，在 (1,3)上单调递减，此时f代x)=e(x-a)2在x=1处有极大值，故a= 3满足题意.故选C. C解析：fx)归2-（a+1)x+alh,则旷(x)=x-(a+1)+4与 (x-a)(x-1) ,x>0, 当a∈(0,1)时，令f'(x)>0得0<x<a或x>1,令f(x)<0得a<x<1! 此时f(x)在区间(0，a)上单调递增，(a,1)上单调递减，(1，+∞)上 单调递增，符合x=a是函数f(x)的极大值点； 当a=1时，()=x-1)≥0恒成立，函数)不存在极值点，不 符合题意； 当ae(1,+0)时，令f'(x)>0得0<x<1或x>a,令f'(x)<0得1<x< a,此时f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1，a)上单调递减，（a,+∞) 上单调递增，x=a是函数f(x)的极小值点，不符合题意 综上，要使函数f(x)在x=a处取到极大值，则实数a的取值范围是 (0,1).故选C. 7.AD解析：对于A,若a=1,则f(x)=x(x-1)(e2-1),令f(x)=0,则 x=0或x=1,故A正确； 对于B,当a=0时，f(x)=x(x-1)e*,则f(x)=(x2+x-1)e,令 (x=0,得x=-1生5当0<15时，(x<0八)单调递减； 2 2 -1+5时了(x)>0,《x)单调递增所以(x)在(0，+0)上只有 当x2 极小值，没有极大值，故B错误； 对于C,f'(x)=e*(x2+x-1)-a(2x-1),设g(x)=e*(x2+x-1),则 g'(x)=c(x2+x-1)+e(2x+1)=e*(x2+3x),当x∈(-o,-3)时， g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(-3,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递 减，当xe(0,+x时，g(x)>0,g(x)单调递增，又当x=1±5时， x2+x-1=0,且e>0恒成立，所以g(x)的大致图象如图①，其与直线 y=a(2x-1)(a<0)可能在(-∞，0)上有交点，所以有可能有极值，故 C错误 3=a(2x-1） 5-1 2 y=a(2x-1） ② 对于D,由C的分析知，直线y=a(2x-1)(a>0)与g(x)=e(x2+x- 1)的大致图象如图②，则在(0，+∞)上必有交点P,在点P附近 黑白题085 f'(x)先负后正，则f(x)先减后增，其必有极小值，故D正确， 故选AD. 8.B解析：由题设，f'(x)=3ax2+2bx+4,则f'(-2)=12a-4b+4=0,故 b=3a+1,所以f'(x)=3ax2+2(3a+1)x+4=(3ax+2)(x+2),令 2 ()=0,可得x=-2或x=3a,由题图知a<0且x=-2处有极小 值，所以-8a+4b-8=-8,即a=-1,b=-2,经验证满足题设，故f(x)= -x3-2x2+4x.故选B. 9.C解析：曲线y=x3与直线y=3ax+2有3个不同的交点，则x3- 3ax-2=0有3个不同的解，令f(x)=x3-3ax-2,则f(x)有3个零点， 可得f'(x)=3x2-3a=0, 若a≤0，则f'(x)≥0，f(x)=x3-3ax-2是单调递增函数，不可能有 3个零点， 若a>0,由f'(x)=0得x2=a,则x=±a,当xe(-∞，-a)U (√a,+∞)时，f'(x)>0,当xe(-√a,√a)时，f'(x)<0,所以f(x)在 (-,-√a)上单调递增，在(-√a,√a)上单调递减，在（√a,+∞）上 单调递增，要使f(x)有3个零点，则f(x)的极大值f代-a)大于0，极 小值a)小于0，即-)=2a-2>0,解得>1. f√a)=-2aWa-2<0, 即实数a的取值范围是(1，+∞).故选C. 10.A解折：令)=ae-2=0,可得a= 。,构建g(x)= 。,若函数 y=f代x)有三个不同零点，即y=g(x)与y=a有三个不同交点.因为 g(x)=(2-),令g(>0,解得0<2，令g(x)<0,解得<0或 e x>2,可知g(x)在(-∞，0)，(2，+∞)上单调递减，在(0,2)上单调 递端，则g()有极小值g(0)=0,极大值g(2)=年，且当x首近 于-o,g(x)趋近于+0；当x趋近于+0，g(x)趋近于0，可得g(x) 图象如图所示： 4 y=g(x) 0 4 由函数y=g(x)图象可得0<a<。2故选A 11.sinx+1(答案不唯一)解析：依题意可知，函数f(x)=sinx+1有极 大值2，也有极小值0，且满足Hx∈[0,1]，f(x)>0.故答案为sinx+ 1(答案不唯一) 12(0,号）解折：九)=ha2(0)f(s到=h+1-2a 令g(x)=lnx+1-2ax, 函数f(x)=x(nx-ax)有两个极值点，g(x)=0在区间 (0,+0)上有两个实数根，又g(x)=1-2a x 当a≤0时，g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0，+0)上单调递增，因 此g(x)=0在区间(0，+∞)上不可能有两个实数根，舍去； 当a>0时，令g(x)0,解得x2a令g'(x)>0,解得0<x<2a此 时函数g)单调递增，令g)<0,解得六此时函数8()单 调道减当：乙时，函数()取得极大值，当：趋近于0与：趋 近于+∞时，g(x)→-0，要使g(x)=0在区间(0，+∞)上有两个实 数根，则（ 1=n>0,解得0<a<2' 实数。的取值范围是(0，)故答案为(0，号）】 13.解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)，.f'(x)=2m- 22(mx-1) x 选择性必修第一册·SJ :f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线l:2x+y+1=0垂 直f1)=2(m-1)=分解得m=子 5 (2)由(1)知'(x)=2(m-) ①当m≤0时f'(x)<0恒成立，f(x)在(0，+∞)上为减函数，此 时f(x)无极值； ②当m0时，令f八)=0，解得=由了()>0，得，由 f到0，得0<<()在(0)上单词递减，在 (品+)上单调递增，故)的极小值为f(日】 2ln m +2+e,无极大值 综上可得，当m≤0时，(x)在(0，+∞)上单调递减，f(x)无极值； 当m>0时在(，日）上单润遥减在（仁+）上养调递 增，f(x)的极小值为2lnm+2+e,无极大值. 14.解：(1)依题意，函数f(x)的定义域为R,当a=-1时，(x)=e2- x+1,则f"(x)=e-2-1f'(3)=e3-2-1=e-1,f(3)=e-2,所以曲线 y=f(x)在点(3，f3)处的切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-3),即 y=(e-1)x-2e+1. (2)由题意得f'(x)=e-2+a, 当a≥0时∫'(x)=e2+a>0恒成立，所以函数(x)在R上单调递 增，此时函数f(x)不存在极值，不符合题意。 当a<0时，令f'(x)=e-2+a=0,即e2=-a,则x=2+ln(-a).当 xe(-o,2+ln(-a)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减，当xe(2+ ln(-a),+o)时f(x)>0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)在 x=2+ln(-a)处取得极小值，且f(2+ln(-a)=-a+2a+aln(-a)+ a3-2a=a3+aln(-a)-a. 又因为a<0,则a3+aln(-a)-a<0等价于a2+ln(-a)-1>0,令 go）=a2+h(-o）-1,a<0,则g(o）2a+d<0,所以函数g(a)在 (-∞，0)上单调递减，又g(-1)=(-1)2+ln1-1=0,所以当a∈ (-∞，-1)时，g(a)=a2+ln(-a)-1>0,即不等式a2+ln(-a)-1>0 的解集为(-∞，-1)，故实数a的取值范围是(-∞，-1). 15.(1)解f)的定义域为(0，+0），当a=1时，f'(x)=上+2-3= 22-1-2--,令'()=0，得x=7或1，当xe (0,2）u1,+)时（到>0：当xe(分1）时()<0，所 以)在(0,7)和(1，+)上单河递增，在（分，1）上单润 递减 (2)解了()-=2am-3a=2a-3a+1,不坊设f到在（0，+) 上有两个不同的极值点x1,x2,即方程2ax2-3ax+1=0有两个不同 2a≠0， 3 1+22>0 的正根，则有 8 120 解得>9’ x1=2 4=9a2-8a>0, 所以a的取值范围为(；，+m）】 (3)证明：f(x1)+f(x2)=n(x1x2)+a(x号+x好)-3a(x1+x2)+4a= ln(1x2)+a[(x+x2)2-2x1x3]-3a(x1+x2)+4a=-ln(2a)+4a 7 1,设g(a)=-n(2o)+4a-1,ag则g(a)=子是-7440， 4 a 则e@)在(8+）上单调递蜡，所以g(。)>g(9） 黑白题086 9 压轴挑战 解：(1)当a=0时，f(x)=(x+1)ln(x+1)-x+1,则f'(x)=ln(x+1)+1 1=ln(x+1),由f'(x)=ln(x+1)>0,可得x>0,由f'(x)=ln(x+1)<0,可 得-1<x<0,因此f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为 (-1,0) (2)f'(x)=ln(x+1)-2ae+2a,注意到f'(0)=0,记g(x)=f'(x),则 g'()+12e-1-2ae(tD x+1 ①当a≤0时，g'(x)≥0恒成立，g(x)在(-1，+∞)上单调递增，即f(x) 在(-1，+∞)上单调递增，又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递增，此时0为f代x)的极小值点，舍去； ②当a>0时，记h(x)=1-2ae*(x+1),则h'(x)=-2ae*(x+2)<0,所以 h(x)单调递减. I.若(0)=1-2a=0,即a=2,所以当x∈(-1,0)时，h(x)>0,即 g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(0，x1)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x) 单调递减， 所以g(x)≤g(0)=0,即f'(x)≤0，故f(x)在(-1，+∞)上单调递减，此 时f八x)没有极值点，与题意矛盾，舍去； Ⅱ若4(0=1-2a>0,即0a<2则h>0a(2）-1-2a 云（云小-六0放存在e(0,h云）位帮 1 0,所以当x∈(0，x1)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增，即f'(x) 单调递增，当x∈(x1,+∞)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减，即 ∫'(x)单调递减， 又f(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，f"(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(0， x1)时，f'(x)>0,(x)单调递增，此时0为f(x)的极小值点，与题意矛 盾，舍去； Ⅲ.若A(0)=1-2a<0,即a>2,又h(-1)=1>0,故存在∈(-1,0)， 使得h(x2)=0,所以当xe(-1,x2)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调 递增，即f(x)单调递增，当xe(2,+o)时，h(x)<0,即g(x)<0,g(x) 单调递减，即(x)单调递减， 又f'(0)=0,所以当x∈(x2,0)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ (0,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，此时0为f(x)的极大值点，符合 题意 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为（合，+m） 5.3.3最大值与最小值 白题基础过关 1.C解析：函数在闭区间上的最值有可能在闭区间的端点处取，有可 能在函数的极值点处取，而导函数为0的点不一定是极值点，例如 y=x3.故选C. 2.D解析：函数y=f代x)定义域为(-1,2)，是开区间，则当x趋近于-1 或2时，若f代x)趋于正无穷大，此时函数f(x)没有最大值，故AB错 误，D正确； 因为函数y=f(x)有唯一的极大值f(1),所以在x=1附近，函数值小 于f(1),所以函数f(x)的最小值不可能是f(1),故C错误 故选D. 3.B解析：f'(x)=2+cosx>0,所以f代x)在区间[0，π]上单调递增，因 此f八x)的最小值为f(0)=0,最大值为f代π)=2π.故选B. 4.C解析：函数f(x)=x2+alnx,则f1)=12+aln1=1,且f'(x)=2x+ 4,所以r(1)=2+a,所以f(1)=)0=1=2+,解得a=-1,所 1-0 以)=-h(0)f)=2x,令f(到≥0，即2x1≥0， 解得≥经，令了(e)<0,即20，解得0c<号所以函数在区 √2 同(6，号)上单调递流，在区同[臣+一）上单酒透城，所以 参考答案 fw停)-（停}广-h号名b咨名+宁h2数 选C. 5.C解析：由<0可知-0，所以《-)=1+二又因为)是奇函 数，所以-)=f)1+,即可得<0时)=-1，即 h(x)=-1-e,x<0,则h'(x)=*+1)e】 ,令h()=0可得x=-1, 所以当x∈(-∞，-1)时，h'(x)<0,即h(x)在(-∞，-1)上单调递 减，当x∈（-1,0)时，h'(x)>0,即h(x)在(-1,0)上单调递增，即 h()在=-1处取得极小值，也是最小值，(-1)=-1-eD -1se-1. 故选C. 6.。解折：)的定义坡为R,f(=6+o=(x+1)e,当 xe(-o,-1)时f'(x)<0,当x∈(-1，+∞)时，f'(x)>0,∴f(x)在 (-,-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，.f(x)min= 八-1)=e1=1故答案为 e e .解：(1)函数到=子2+ar2-3,求导得r(e)=42x-3,由) 在x=-3处取得极值，得f'(-3)=0,即9-6a-3=0,解得a=1,此时 f'(x)=x2+2x-3=(x+3)(x-1),当x<-3时，f'(x)>0,当-3<x<1 时f'(x)<0,即函数f(x)在x=-3处取得极值，所以a=1. (2)由(1)知)=号+2-3()=(x+3)(x-0,e[-3,3], 当-3<x<1时，f'(x)<0:当1<x≤3时，f'(x)>0,函数f(x)在[-3,1] 上单调递减，在[1,3]上单调递增f(-3)=f(3)=9,所以函数f(x) 在区间[-3,3]上的最大值为9 8.B解析：由题意，函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,xe[-2,2],可得 f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,即-3x2+6x+9=0,解得x=-1或3 (舍去).当-2<x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当-1<x<2时， f'(x)>0,f代x)单调递增，所以当x=-1时取最小值，而f(2)=22+a> f(-2)=2+a,即最大值为22+a=20,所以a=-2,所以此函数在区间 [-2,2]上的最小值为f代-1)=-5-2=-7.故选B. 9D解折迪归咖利(e)?子-，当m≤0时。 X 则f(x)<0,函数f代x)在(0，+∞)上为减函数，函数无最小值，不符 合题意；当m>0时，当0<x<1时，f(x)<0,函数f(x)单调递减，当 m 时(x)>0,函数fx)单调递增，=上时，函数f代)有最小 m m 值mh十+m=-m,解得m=e2故选D 10.AC解析：由题意可得∫'(x)=4ax2(x-3),1≤x≤4，当a=0时，则 f(x)=b,显然不符合题意，舍去；当a>0时，令'(x)>0,则3<x≤4， ∫'(x)<0,则1≤x<3,故f八x)在[1,3)上单调递减，在(3,4]上单调 递增，且f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,即f(1)<f4),故 {化-6解得3则a+6=号：当<0时，令f(到>0，则 b=3, (b=3, 1≤x<3,令∫'(x)<0,则3<x≤4，故f(x)在(3,4]上单调递减， 在[1,3)上单调递增，且f3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,即 09这收学 b=-6, a69或号枚选AC 1.[分n）解析：由九)：安得r()=产②，所以函数 x2 九)在（子，2）上单调递诚，在（合，+）上单调递增，且 黑白题087