课时分层作业30 数学归纳法(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

课时分层作业(三十) 1．B　［因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．］ 2．C　［因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋＋…＋．］ 3．B　［由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．］ 4．D　［用数学归纳法证明不等式1＋＋…＋<n(n2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋…＋＋…＋，∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了＋…＋，共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．］ 5．D　［在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．］ 6．n＝k＋2时等式成立　［由于n为正偶数，已知假设n＝k(k2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．］ 7．(k＋3)3　［假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3． 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．］ 8．＋…＋，当n＝k＋1时，f(2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋，所以f(2k+1)－f(2k)＝1＋＋…＋＋…＋＝＋…＋．］ 9．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． 10．证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋α，右边＝1＋α，命题成立． (2)假设当n＝k(k1)时，命题成立，即(1＋α)k1＋kα．那么，当n＝k＋1时，因为α>－1，所以1＋α>0．根据假设知，(1＋α)k1＋kα，所以(1＋α)k+1＝(1＋α)k(1＋α)(1＋kα)(1＋α)＝1＋(k＋1)α＋kα2．因为kα20，所以1＋(k＋1)α＋kα21＋(k＋1)α．从而(1＋α)k+11＋(k＋1)α．这表明，当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立． 11．C　［若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立．若n＝5不成立，则n＝4时该命题不成立．］ 12．BC　［n＝1时， ＋…＋，当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式得，即为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC．］ 13．1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4　［当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．］ 14．π　［由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π．］ 15．解：取n＝1，2，3可得． 下面用数学归纳法证明＋…＋．即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立； ②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立， 故存在a＝使已知等式成立． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三十)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2　　　　　　　 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 2．用数学归纳法证明1－，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 4．利用数学归纳法证明1＋<n(n2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k-1项 D．2k项 5．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，<＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－时，若已知假设n＝k(k2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________． 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． 8．已知f(n)＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)－f(2k)＝________． 三、解答题 9．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． 10．(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：(1＋α)n1＋nα(其中α＞－1，n∈N*)． 11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　) A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 12．(多选题)用数学归纳法证明不等式＞的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 13．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________． 14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________． 15．是否存在a，b，c使等式对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $