课时分层作业10 圆的一般方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

课时分层作业(十)　圆的一般方程 一、选择题 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　　) A．0或－1 B．0 C．7 D．－1或7 2．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25 C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25 3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　) A．π B．π C．3π D．不存在 4．过三个点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为________． 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________． 8．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________． 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程． 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 11．(多选题)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为|a| 12．使方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的实数a的可能取值为(　　) A．－2 B．0 C．1 D． 13．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3，1)连线中点Q的轨迹方程为________． 14．M(3，0)是圆C：x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十) 1．D　［将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝，整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7．］ 2．C　［线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．］ 3．B　［所给圆的半径为r＝．所以当m＝－1时，半径r取最大值π．］ 4．C　［设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝．故选C．］ 5．B　［圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为．如图， 由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点(1，2)的直线与直线2x－y＝0垂直． 则，即a＝3．故选B．］ 6．(2，－3)　［由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0，1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．］ 7．x2＋y2－4x－5＝0　［设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，由题意可得＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0．］ 8．3－ ．］ 9．解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x＝．于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3. ① 因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0＋1)2＋＝4. ② 把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理，得＝1．这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，∴a＝4，P(4，5)，∴|PQ|＝，kPQ＝． (2)∵圆心C的坐标为(2，7)，∴|QC|＝，圆的半径是2，点Q在圆外，∴|MQ|max＝4，|MQ|min＝4． 11．ACD　［圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2．圆心坐标为(－a，a)适合方程y＝－x．∴A正确，不适合y＝x，∴B错误，把(0，0)代入圆的方程适合，∴C正确，又r2＝2a2，∴r＝|a|，∴D正确．故选ACD．］ 12．B　［该方程若表示圆，则有(－a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<，其中B项满足条件，应选B．］ 13．　［设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得 点P(2x－3，2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，化简得，即为点Q的轨迹方程．］ 14．x－y－3＝0　x＋y－3＝0　［由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦．易求出圆心为C(4，1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分别得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0．］ 15．解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a． ∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0． (2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0．由解得x＝0，y＝－3．∴圆M过定点(0，－3)． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $