4.3线段的长短讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

4.3 线段的长短 学习目标 1. 理解线段的和与差的概念，会进行简单的线段和差计算。 2. 掌握线段中点的定义，能运用中点性质进行相关计算。 3. 理解“两点之间线段最短”的基本事实，并能运用其解决简单的最短路径问题。 4. 理解两点间距离的定义。 5. 掌握线段n等分点的概念，能运用n等分点的性质进行相关计算。 6. 能分析并解决线段之间数量关系的问题。 知识点讲解 一、线段的和与差 1. 线段的和：点B在线段AC上，那么线段AC就是线段AB与线段BC的和。 记作：AC = AB + BC。 2. 线段的差：点B在线段AC上，那么线段AB就是线段AC与线段BC的差，或线段BC就是线段AC与线段AB的差。 记作：AB = AC - BC 或 BC = AC - AB。 二、线段中点有关点的计算 1. 定义：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么点M叫做线段AB的中点。 2. 性质：若点M是线段AB的中点，则 三、两点之间线段最短 基本事实：两点之间，线段最短。 （说明：这是一个基本的几何事实，无需证明，可直接应用于解决最短路径等问题。） 四、两点间的距离 定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。 （说明：距离是指线段的“长度”，是一个数量，而非线段本身。） 五、线段n等分点的有关计算 1. 定义：如果线段AB被点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁分成n条相等的线段，那么点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁叫做线段AB的n等分点。 2. 性质：若点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁是线段AB的n等分点，则 AP₁ = P₁P₂ = ... = Pₙ₋₁ 更一般地，对于第k个n等分点Pk（k为1, 2, ..., n-1的整数），有 六、线段之间的数量关系 线段之间的数量关系主要通过和差、倍分（如中点、n等分点）等方式建立。解决此类问题时，需仔细分析题目中给出的线段间的位置关系（如点在线段上、点在线段延长线上等），并根据相关定义和性质列出关系式，进而求解。 七、最短路径问题 最短路径问题主要依据“两点之间线段最短”这一基本事实。 常见类型： 1. 在一条直线上找到一个点，使得这个点到直线同侧或异侧两个定点的距离之和最小。（可通过对称点转化为两点之间线段最短的问题，文字描述时需清晰说明点与直线的位置关系） 2. 连接两点的所有线中，线段最短。 例题解析 例题1：已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，且BC = 3cm，求线段AC的长度。 例题2：已知线段AB = 10cm，点M是线段AB的中点，点N是线段AM的中点，求线段AN的长度。 例题3：已知线段AB = 12cm，点P是线段AB的三等分点，求AP的长度。 例题4：已知点A、B、C在同一条直线上，且AB = 5cm，BC = 2cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 例题5：平原上有A、B两个村庄，它们之间有一条河流（可看作一条直线）。现在要在河边修建一个水泵站P，向A、B两村供水。为了使铺设的水管总长度最短，水泵站P应该建在河边的什么位置？请说明理由。 。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两点之间的连线中，直线最短 B. 两点之间的线段叫做两点间的距离 C. 两点之间线段最短 D. 点C在直线AB上，则AC + CB = AB 2. 已知线段AB = 6cm，点C是AB的中点，则AC的长度是（ ） A. 12cm B. 6cm C. 3cm D. 1.5cm 3. 点M在线段AB上，且AM = 4cm，MB = 6cm，则AB的长度是（ ） A. 2cm B. 10cm C. 4cm D. 6cm 4. 已知线段AB = 10cm，点C在AB的延长线上，且BC = 4cm，则AC的长度是（ ） A. 6cm B. 14cm C. 10cm D. 4cm 5. 线段AB = 18cm，点P是AB的四等分点，则AP不可能是（ ） A. 4.5cm B. 9cm C. 13.5cm D. 18cm 6. 点A、B、C在同一直线上，若AB = 8cm，AC = 3cm，则BC的长度为（ ） A. 5cm B. 11cm C. 5cm或11cm D. 无法确定 7. 已知点M是线段AB的中点，点N是线段MB的中点，若AB = 16cm，则MN的长度是（ ） A. 8cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 8. 下列生活实例中，不能用“两点之间线段最短”来解释的是（ ） A. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 B. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 C. 体育课上，小明跑到终点后不能马上停下来 D. 从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设 二、填空题 9. 已知线段a = 5cm，b = 3cm，则a + b = ______cm，a - b = ______cm。 10. 若点C是线段AB上一点，且AC = BC，则点C叫做线段AB的______，此时AC = ______AB。 11. 两点之间______的______，叫做两点间的距离。 12. 线段AB = 20cm，点D是AB的五等分点，且AD < DB，则AD = ______cm，DB = ______cm。 13. 已知线段AB = 15cm，点P、Q分别是AB的三等分点，则PQ = ______cm。 14. 点A、B、C在同一直线上，点M是AC的中点，点N是BC的中点，若AB = a，则MN = ______（用含a的代数式表示）。 三、解答题 15. 已知线段AB = 12cm，点C在线段AB上，且AC:CB = 1:2，求AC和CB的长度。 16. 已知线段AB = 9cm，点C是线段AB上一点，BC = 4cm，点M是AB的中点，点N是BC的中点，求线段MN的长度。 17. 线段AB = 24cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，点Q从B出发，以1cm/s的速度向A运动。设运动时间为t秒（t < 12）。 （1）用含t的代数式表示AP、BQ、PQ的长度。 （2）当t = 4时，求PQ的长度。 18. 已知点O在直线AB上，且OA = 3cm，OB = 5cm，求线段AB的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 线段的长短 学习目标 1. 理解线段的和与差的概念，会进行简单的线段和差计算。 2. 掌握线段中点的定义，能运用中点性质进行相关计算。 3. 理解“两点之间线段最短”的基本事实，并能运用其解决简单的最短路径问题。 4. 理解两点间距离的定义。 5. 掌握线段n等分点的概念，能运用n等分点的性质进行相关计算。 6. 能分析并解决线段之间数量关系的问题。 知识点讲解 一、线段的和与差 1. 线段的和：点B在线段AC上，那么线段AC就是线段AB与线段BC的和。 记作：AC = AB + BC。 2. 线段的差：点B在线段AC上，那么线段AB就是线段AC与线段BC的差，或线段BC就是线段AC与线段AB的差。 记作：AB = AC - BC 或 BC = AC - AB。 二、线段中点有关点的计算 1. 定义：如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，那么点M叫做线段AB的中点。 2. 性质：若点M是线段AB的中点，则 三、两点之间线段最短 基本事实：两点之间，线段最短。 （说明：这是一个基本的几何事实，无需证明，可直接应用于解决最短路径等问题。） 四、两点间的距离 定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。 （说明：距离是指线段的“长度”，是一个数量，而非线段本身。） 五、线段n等分点的有关计算 1. 定义：如果线段AB被点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁分成n条相等的线段，那么点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁叫做线段AB的n等分点。 2. 性质：若点P₁, P₂, ..., Pₙ₋₁是线段AB的n等分点，则 AP₁ = P₁P₂ = ... = Pₙ₋₁ 更一般地，对于第k个n等分点Pk（k为1, 2, ..., n-1的整数），有 六、线段之间的数量关系 线段之间的数量关系主要通过和差、倍分（如中点、n等分点）等方式建立。解决此类问题时，需仔细分析题目中给出的线段间的位置关系（如点在线段上、点在线段延长线上等），并根据相关定义和性质列出关系式，进而求解。 七、最短路径问题 最短路径问题主要依据“两点之间线段最短”这一基本事实。 常见类型： 1. 在一条直线上找到一个点，使得这个点到直线同侧或异侧两个定点的距离之和最小。（可通过对称点转化为两点之间线段最短的问题，文字描述时需清晰说明点与直线的位置关系） 2. 连接两点的所有线中，线段最短。 例题解析 例题1：已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，且BC = 3cm，求线段AC的长度。 解：因为点C在线段AB上 所以 AC = AB - BC AB = 8cm，BC = 3cm AC = 8 - 3 AC = 5cm 答：线段AC的长度为5cm。 例题2：已知线段AB = 10cm，点M是线段AB的中点，点N是线段AM的中点，求线段AN的长度。 解：因为点M是线段AB的中点 所以 因为点N是线段AM的中点 所以.5cm 答：线段AN的长度为2.5cm。 例题3：已知线段AB = 12cm，点P是线段AB的三等分点，求AP的长度。 解：因为点P是线段AB的三等分点 所以有两种情况： 情况一： 情况二： 答：AP的长度为4cm或8cm。 例题4：已知点A、B、C在同一条直线上，且AB = 5cm，BC = 2cm，点M是AC的中点，求线段AM的长度。 解：因为A、B、C在同一条直线上，点B的位置有两种情况： 情况一：点B在线段AC上 则 AC = AB + BC AB = 5cm，BC = 2cm AC = 5 + 2 AC = 7cm 因为点M是AC的中点 所以.5cm 情况二：点B在线段AC的延长线上（此时点C在线段AB上） 则 AC = AB - BC AB = 5cm，BC = 2cm AC = 5 - 2 AC = 3cm 因为点M是AC的中点 所以.5cm 答：线段AM的长度为3.5cm或1.5cm。 例题5：平原上有A、B两个村庄，它们之间有一条河流（可看作一条直线）。现在要在河边修建一个水泵站P，向A、B两村供水。为了使铺设的水管总长度最短，水泵站P应该建在河边的什么位置？请说明理由。 解：连接AB，交直线于点P，则点P就是所求水泵站的位置。 理由：根据“两点之间线段最短”，连接A、B两点的线段AB是A、B两点间的最短路径。点P在直线上且为AB与的交点，此时PA + PB = AB，即为最短的水管总长度。 答：水泵站P应建在AB与河流的交点处。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两点之间的连线中，直线最短 B. 两点之间的线段叫做两点间的距离 C. 两点之间线段最短 D. 点C在直线AB上，则AC + CB = AB 2. 已知线段AB = 6cm，点C是AB的中点，则AC的长度是（ ） A. 12cm B. 6cm C. 3cm D. 1.5cm 3. 点M在线段AB上，且AM = 4cm，MB = 6cm，则AB的长度是（ ） A. 2cm B. 10cm C. 4cm D. 6cm 4. 已知线段AB = 10cm，点C在AB的延长线上，且BC = 4cm，则AC的长度是（ ） A. 6cm B. 14cm C. 10cm D. 4cm 5. 线段AB = 18cm，点P是AB的四等分点，则AP不可能是（ ） A. 4.5cm B. 9cm C. 13.5cm D. 18cm 6. 点A、B、C在同一直线上，若AB = 8cm，AC = 3cm，则BC的长度为（ ） A. 5cm B. 11cm C. 5cm或11cm D. 无法确定 7. 已知点M是线段AB的中点，点N是线段MB的中点，若AB = 16cm，则MN的长度是（ ） A. 8cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 8. 下列生活实例中，不能用“两点之间线段最短”来解释的是（ ） A. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 B. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 C. 体育课上，小明跑到终点后不能马上停下来 D. 从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设 二、填空题 9. 已知线段a = 5cm，b = 3cm，则a + b = ______cm，a - b = ______cm。 10. 若点C是线段AB上一点，且AC = BC，则点C叫做线段AB的______，此时AC = ______AB。 11. 两点之间______的______，叫做两点间的距离。 12. 线段AB = 20cm，点D是AB的五等分点，且AD < DB，则AD = ______cm，DB = ______cm。 13. 已知线段AB = 15cm，点P、Q分别是AB的三等分点，则PQ = ______cm。 14. 点A、B、C在同一直线上，点M是AC的中点，点N是BC的中点，若AB = a，则MN = ______（用含a的代数式表示）。 三、解答题 15. 已知线段AB = 12cm，点C在线段AB上，且AC:CB = 1:2，求AC和CB的长度。 16. 已知线段AB = 9cm，点C是线段AB上一点，BC = 4cm，点M是AB的中点，点N是BC的中点，求线段MN的长度。 17. 线段AB = 24cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，点Q从B出发，以1cm/s的速度向A运动。设运动时间为t秒（t < 12）。 （1）用含t的代数式表示AP、BQ、PQ的长度。 （2）当t = 4时，求PQ的长度。 18. 已知点O在直线AB上，且OA = 3cm，OB = 5cm，求线段AB的长度。 巩固练习答案 一、选择题 1. C 解析：A选项应为“两点之间线段最短”；B选项两点间的距离是线段的长度，不是线段本身；D选项点C在直线AB上，可能在线段AB延长线上或反向延长线上，此时AC + CB不一定等于AB。所以C正确。 2. C 解析：因为点C是AB的中点，所以。 3. B 解析：因为点M在线段AB上，所以AB = AM + MB = 4 + 6 = 10cm。 4. B 解析：因为点C在AB的延长线上，所以AC = AB + BC = 10 + 4 = 14cm。 5. D 解析：AB = 18cm，四等分点将AB分为4段，每段4.5cm。AP可能为4.5cm（1段）、9cm（2段）、13.5cm（3段），不可能是18cm。 6. C 解析：当点C在线段AB上时，BC = AB - AC = 8 - 3 = 5cm；当点C在线段BA的延长线上时，BC = AB + AC = 8 + 3 = 11cm。所以BC为5cm或11cm。 7. B 解析：因为M是AB中点，AB = 16cm，所以。N是MB中点，所以。 8. C 解析：C选项是惯性现象，与两点之间线段最短无关。A、D选项明显可用该公理解释；B选项是两点确定一条直线。 二、填空题 9. 8，2 解析：a + b = 5 + 3 = 8cm；a - b = 5 - 3 = 2cm。 10. 中点， 解析：中点定义：把线段分成相等的两部分的点。 11. 线段，长度 解析：两点间距离的定义。 12. 4，16 解析：AB = 20cm，五等分点分AB为5段，每段4cm。AD < DB，所以AD是1段，即4cm，DB = 20 - 4 = 16cm。 13. 5 解析：AB = 15cm，三等分点将AB分为3段，每段5cm。点P、Q分别是三等分点，则AP = PQ = QB = 5cm，所以PQ = 5cm。（或AQ = 10cm，AP = 5cm，PQ = AQ - AP = 5cm） 14. 解析：当点C在AB之间时，(。当点C在AB延长线或BA延长线时，同理可证。 三、解答题 15. 解：因为AC:CB = 1:2 所以设AC = x cm，则CB = 2x cm 因为点C在线段AB上 所以 AC + CB = AB AB = 12cm x + 2x = 12 3x = 12 x = 4 AC = 4cm CB = 2x = 2×4 = 8cm 答：AC的长度为4cm，CB的长度为8cm。 16. 解：因为点M是AB的中点，AB = 9cm 所以.5cm 因为点N是BC的中点，BC = 4cm 所以 所以 MN = MB - NB MN = 4.5 - 2 MN = 2.5cm 答：线段MN的长度为2.5cm。 17. 解：（1）AP = 2t cm BQ = 1×t = t cm PQ = AB - AP - BQ = 24 - 2t - t = (24 - 3t) cm （2）当t = 4时 PQ = 24 - 3×4 PQ = 24 - 12 PQ = 12cm 答：（1）AP = 2t cm，BQ = t cm，PQ = (24 - 3t) cm；（2）当t = 4时，PQ的长度为12cm。 18. 解：点O在直线AB上，有两种情况： 情况一：点O在线段AB上 AB = OA + OB OA = 3cm，OB = 5cm AB = 3 + 5 AB = 8cm 情况二：点O在线段AB的延长线上或反向延长线上（此时OA、OB有一个是线段长度，一个是延长线长度） 当点O在线段BA的延长线上时，AB = OB - OA AB = 5 - 3 AB = 2cm 答：线段AB的长度为8cm或2cm。 学科网（北京）股份有限公司 $