专题02 二次函数（9知识&23题型&6易错&6方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数（9知识&23题型&6易错&6方法清单） 【清单01】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单04】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、k不变，h变号 【清单05】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单06】二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【清单08】二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型一】二次函数的定义 【典例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 【变式1】若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【变式1】抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知函数在上有最大值7，则常数的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【变式1】已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【题型七】二次函数与一次函数的图像问题 【典例7】在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【题型八】二次函数的平移变换 【典例8】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【题型九】二次函数的交点综合问题 【典例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【题型十】二次函数与x轴交点问题 【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】二次函数与不等式 【典例11】如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【变式1】抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【变式2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【变式3】二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【题型十二】二次函数的应用-图形问题 【典例12】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题 【典例13】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题 【典例14】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【变式1】如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【题型十五】二次函数的应用-销售问题 【典例15】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 【变式1】（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【题型十六】二次函数的应用-投球问题 【典例16】打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【题型十七】二次函数的应用-喷水问题 【典例17】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【变式1】（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． (1)请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，距离地面的竖直高度． 【题型十八】二次函数的应用-其他问题 【典例18】（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【变化2】（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【题型十九】二次函数的综合-面积问题 【典例19】如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 【变式1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题 【典例20】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【变式2】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【题型二十一】二次函数的综合-角度问题 【典例21】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【变式1】二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题 【典例22】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图2，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接． ①当是为腰的等腰三角形时，求的长； ②若抛物线顶点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 【变式1】如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形 【典例23】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【变式1】如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】 1．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数，当时，y的取值范围为 ． 2．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）当时，二次函数中y的取值范围是 ． 【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】 1．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【题型06：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 题型1二次函数的图象与性质 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 题型2 二次函数图象与几何变换 1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、 二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 题型3 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 题型4 抛物线与x轴交点问题 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 题型5 二次函数与不等式 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围 题型6 利用二次函数的性质求最值 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 学科网（北京）股份有限公3 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（9知识&23题型&6易错&6方法清单） 【清单01】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单04】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、k不变，h变号 【清单05】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单06】二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【清单08】二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型一】二次函数的定义 【典例1】下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式2】二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，． 故选：B． 【变式3】若函数是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于m的方程和不等式是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，列出关于m的方程和不等式，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 【题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】下面关于抛物线的结论正确的是（   ） A．开口向上，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为） D．开口向下，顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标． 首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线的顶点坐标为，利用这个公式即可求解． 【详解】解：抛物线， 开口方向向上， 顶点坐标为：， 故答案为：C． 【变式1】若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为； 如图，记与轴的交点分别为， ∵， ∴抛物线关于轴对称， ∴，，，轴，轴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，，， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，， ∴可推导一般性规律为，当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键． 【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 【变式1】抛物线的对称轴为（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解． 【详解】解：抛物线的表达式为，其中，， 代入对称轴公式得：， 因此，抛物线的对称轴为直线， 故选A． 【变式2】二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 【变式3】已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】已知函数在上有最大值7，则常数的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键．由解析式可确定抛物线对称轴，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范围内确定极值列方程求解. 【详解】解：∵二次函数解析式， ∴二次函数对称轴为． ①当时，二次函数开口向下，时，函数有最大值7． ∴，解得． ②当时，二次函数开口向上，在上有最大值7，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数最大值为7，即，解得． 综上分析，a的值为或1． 故选：D． 【变式1】已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 【典例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵对称轴， ∴，故③正确； 若有两个实数根，则抛物线与直线相交， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，取最大值， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的是②③④⑤， 故选：． 【题型七】二次函数与一次函数的图像问题 【典例7】在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是 (   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选不项符合题意； 故选：A． 【题型八】二次函数的平移变换 【典例8】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 【题型九】二次函数的交点综合问题 【典例9】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于B，D两点，若直线与，共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得或， 则点，， 抛物线：，， 由于抛物线向左平移2个长度单位得抛物线， 则抛物线解析式为，， 令，即， 解得或， 则点， 如图， 当与抛物线：相切时， 令，即， 根据相切可知方程有两个相等的解，即， 解得， 当过点时，即：， 解得：， 结合图象可知：直线与，共有3个不同的交点时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 【题型十】二次函数与x轴交点问题 【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键．将点代入抛物线，求解即可获得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得． 故答案为：． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解∶∵物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选∶D． 【题型十一】二次函数与不等式 【典例11】如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 【变式1】抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 【变式2】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 【变式3】二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 【题型十二】二次函数的应用-图形问题 【典例12】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 【答案】(1)边的长应是20米 (2)当长为，花圃有最大面积． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键． （1）设的长为x米，则长为米且，根据其面积列出方程求解即可； （2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为，然后再根据二次函数的性质以及x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设的长为x米，则长为米且，即， 根据题意得：， 解得：或5（不合题意舍弃）. 答：边的长应是20米． （2）解：花圃的面积为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积． 【变式1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】(1)； (2)20；800 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 【变式2】（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故；再比较的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题 【典例13】（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题 【典例14】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 【变式1】如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 【题型十五】二次函数的应用-销售问题 【典例15】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件 (2)； (3)，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， （1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类腊肠的售价（元）． 答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件； （2）解：由题意得 ∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：； （3）解： ． ∴当时，w有最大值640． 答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元． 【变式1】（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的销售价应定为130元或150元 (3)销售价定为140元，最大利润为1600元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由图象可知，与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）设每件商品的销售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）根据题意列出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知，与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 代入和，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）解：设每件商品的销售价应定为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 答：每件商品的销售价应定为130元或150元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，有最大值，最大值为1600， 答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元； (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式． （1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解； （2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元， 每月台灯的销售量为：． 又每个台灯的利润为：， ， ， ， 舍去． 答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元． 故答案为：；． （2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下： 由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，售价为元，取最大值，此时， 答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元． 【题型十六】二次函数的应用-投球问题 【典例16】打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 【答案】(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是 (2)这次乒乓球击打不成功 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式． （1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值； （2）求出当时的函数值与比较后得出结论． 【详解】（1）解：， ∵二次项系数为，∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值． （2）∵乒乓球桌的标准长度为， ∴球桌正中间， 当时，， ∴这次乒乓球击打不成功． 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 【题型十七】二次函数的应用-喷水问题 【典例17】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【变式1】（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． (1)请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，距离地面的竖直高度． 【答案】(1) (2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出a即可得解； （2）依据题意，结合(1) ， 令，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴ ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意结合（1）， ∴令，则． 答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 【题型十八】二次函数的应用-其他问题 【典例18】（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 【变化2】（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 【题型十九】二次函数的综合-面积问题 【典例19】如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标． (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①若点在抛物线上，且，求点的坐标． ②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为或；②存在，点的坐标为 ；的面积的最大值是 【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几何图形， 对于（1），根据抛物线的对称性解答即可； 对于（2）①，当时，结合抛物线的对称轴为直线，可得，进而求出，可得二次函数关系式，再求出抛物线与轴的交点的坐标，然后设点坐标，根据，可得 ，求出x，即可得出答案； 先求出直线的解析式，再设点坐标为，则点坐标为，即可得出 ，可得点的坐标，结合可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线的抛物线与轴相交于A、两点， 、两点关于直线对称. 点A的坐标为， 点的坐标为； （2）解：时，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将代入 ， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为 ， 抛物线与轴的交点的坐标为， ， 设点坐标为 . ∵， ， ， ． 当时，； 当时，， 点的坐标为或； 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得 , 解得：， 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， 当 时，有最大值， 当 时，三角形的面积有最大值，此时点的坐标为； ， 点的坐标 ；的面积的最大值是 ． 【变式1】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题 【典例20】如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，，且对称轴是直线． (1)求直线的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）设，则，可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设，则， ∴ ∵，， ∴当时，线段的值最大，最大值为． 【变式2】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 【题型二十一】二次函数的综合-角度问题 【典例21】如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式1】二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题 【典例22】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图2，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接． ①当是为腰的等腰三角形时，求的长； ②若抛物线顶点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线BC的解析式为 (2)①或；② 【分析】（1）先求出点，运用待定系数法求出解析式，把点代入即可求出结果； （2）①由，，可得，运用两点间距离公式得：，分两种情况建立方程求解即可；②利用配方法可以写出，平移后解析式为，解出G的横坐标为，即点M必须在直线上方的抛物线上， 写出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B， ∴， ∵抛物线经过点和点， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为： 令， 解得： ∴， 把代入得 ， ∴ （2）解：①设直线的解析式为，代入和得 解得 解析式为： ∵点P为线段上的点，且点P的横坐标为m， ∴且， ∵过P作y轴的平行线交抛物线于M， ∴， ∴ ∵， ∴ 当时，， 解得：(舍去） ∴， 当时， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∴ ∴点M的纵坐标为 ∴， 解得：(舍去） ∴ ∴ 综上所述，MP的长为或 ②∵， ∴抛物线顶点为 设经过点且平行的直线的解析式为，如图， 则， 解得： ， 联立得：， 解得： ∵点G的横坐标为，点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界）， ∴点M必须在直线上方的抛物线上， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题． 【变式1】如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的表达式为，设，，得到，根据题意得到，代入得到，解方程求解即可； （3）首先令，即，求出，然后根据题意分3种情况讨论，分别根据等腰三角形的概念和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵拋物线交轴于点和点，交轴于点， ∴，解得 ∴； （2）∵， ∴设直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∵点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点， ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 解得 ∴； （3）∵， ∴令，即， 解得， ∴ ∵， ∴设 如图所示，当时， ∵ ∴ ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，当点P的坐标为，，时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形 【典例23】如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)存在． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定，掌握二次函数的图象和性质，分类讨论是解题的关键． （）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （）根据三角形的面积公式，可得答案； （）根据，可得函数图象的对称轴； （）分类讨论：点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即点坐标是 ， 当时，，解得，即点坐标是， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：的对称轴是直线； （4）解：对称轴上存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 【变式1】如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当P点运动到时，最大值为 (3)存在，H点的坐标为或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值； （3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E， 设，则， ，其中， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 当时，最大值为，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得 ， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解： 是关于x的二次函数， |且， 解得：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】 1．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴当时有最小值是7， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）当时，二次函数中y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值为， 当时，， 当时，， 故当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】 1．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而减小， ∴， 故选：A． 【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，的值为或6， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【题型06：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可． 【详解】解∶由图形可得，当时，二次函数图象在一次函数图象下方，，所以， 使成立的的取值范围是． 故答案为∶． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． 题型1二次函数的图象与性质 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 题型2 二次函数图象与几何变换 1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、 二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 题型3 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 题型4 抛物线与x轴交点问题 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 题型5 二次函数与不等式 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围 题型6 利用二次函数的性质求最值 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 学科网（北京）股份有限公2 / 99 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $