专题03旋转（期中知识清单）（知识导图+9个考点清单+6种题型解读）九年级数学上学期人教版五四制

专题03旋转（考点清单，知识导图+9个考点清单+6种题型解读） 【清单01】旋转 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 【清单02】旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【清单03】旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 【清单04】中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 【清单05】中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 要点归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 【清单06】确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 【清单07】画已知图形关于某一点对称的图形 1.画图关键 先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点 2.画图步骤 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 【清单08】中心对称图形（重点） 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 2.必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 3.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 【清单09】关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y) 【考点题型一】旋转的性质 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为 ． 【变式1-3】（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 【变式1-4】（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【考点题型二】中心对称和中心对称图形 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（    ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有 个． 【变式2-3】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．    【变式2-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【考点题型三】关于原点对称的点的坐标的特征 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）点关于原点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23九年级上·广西柳州·期中）平面直角坐标系内点关于轴对称点是，点关于原点对称的点是，已知坐标为，求点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 【变式3-4】（23-24九年级上·云南曲靖·期中）已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 【考点题型四】数形结合思想 【例4】（22-23九年级上·四川凉山·期中）将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A． B．1.5 C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 【变式4-3】（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 【变式4-4】（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）在中，． (1)特例证明：如图①，点D，E分别在线段上，，求证：； (2)探索发现：将图①中的绕点C逆时针旋转（）到图②位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图③，点D在内部，当时，若，，，求线段的长． 【考点题型五】分类讨论思想 【例5】（23-24九年级上·山东日照·期中）函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，线段绕点B旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式5-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的边长为4，E在上，，将线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，连接，则的长为 ．    【变式5-3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，，，将绕C点旋转得，直线与直线交于D，则的长为 ． 【变式5-4】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段，的数量关系为 ；，的位置关系为 ． (2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． (3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 【考点题型六】转化思想 【例6】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【变式6-2】（22-23九年级上·北京东城·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【变式6-4】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，D为的中点，点E为平面内一点，连接，将经点D顺时针旋转，点E的对应点为F，连接，，． (1)如图1，当点E在边上时，请直接写出线段，之间的数量关系______，位置关系______； (2)如图2，当点E在内部时，判断（1）中结论是否依然成立，并说明理由； (3)，，若A，E，F三点共线，请直接写出线段的值． 网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03旋转（考点清单，知识导图+9个考点清单+6种题型解读） 【清单01】旋转 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角． 要点归纳：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． • C′ B′ C B A A′ O 【清单02】旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 要点归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【清单03】旋转作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 【清单04】中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点归纳： １、中心对称是旋转角为180°的旋转对称； ２、寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是对称中心； ３、对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分． A C B C′ B′ A′ O 【清单05】中心对称的性质 1.中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被称中心所平分; 2.中心对称的两个图形是全等图形 要点归纳： (1)中心对称是一种特殊的旋转,因此,它具有旋转的一切特征 (2)中心对称的特征(性质)是画已知图形关于某点对称的图形的主要依据 (3)常常可以利用中心对称的性质来证明有关的线段相等、平行及三角形全等 【清单06】确定对称中心的方法 方法1:连接任意一对对称点，取这条线段的中点,则该点为对称中心 方法2:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心 【清单07】画已知图形关于某一点对称的图形 1.画图关键 先确定对称中心,再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点 2.画图步骤 (1)连接:分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长; (2)截取:等长截取,在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段的长度,截取的交点就是该关键点的对称点: (3)顺次连接:将对称点参照原图形顺次连接起来,即可得出关于对称中心对称的图形 【清单08】中心对称图形（重点） 1.中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2.中心对称图形的判定 2.必须同时满足下列三个条件: (1)围绕某点旋转;(2)旋转180°;(3)与自身完全重合 3.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心,且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点 (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形(即面积和周长都分别相等) 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称． 【清单09】关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x，-y) 【考点题型一】旋转的性质 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解． 【详解】是由绕点旋转得到的， 是旋转角， ，， 旋转角的度数为． 故选：A． 【变式1-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 【变式1-2】（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出和的度数． 根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和即可得到的度数． 【详解】解：∵平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（22-23九年级上·广西河池·期中）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识． （1）根据旋转的性质得到，，，根据等腰三角形得到性质和内角和定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明四边形是矩形，则，由得到，则，求出，得到，，则，再由勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴，，， ∴， ∴ （2）如图，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，则， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 【考点题型二】中心对称和中心对称图形 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称，由绕O点顺时针旋转180度，即原图形与旋转后的图形关于点O中心对称，据此逐一判断即可． 【详解】 解：把图形绕O点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项C的图形． 故选：C． 【变式2-1】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（    ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点A与点D是对应点，，， 不能说明， 故选：D． 【变式2-2】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有 个． 【答案】3 【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的是圆、正六边形、正八边形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，即把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2-3】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，已知与关于点A成中心对称，若，那么的长为 ．    【答案】10 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 【详解】解：与关于点A成中心对称， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式2-4】（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，则称为格点三角形． (1)在图1，画出一个与成中心对称的格点三角形 (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轨迹，作图-轴对称变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型． （1）如图①，以点C为对称中心画出； （2）如图②，以边所在的性质为对称轴画出； （3）如图③，利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点D、E，从而得到； 【详解】（1）如图1所示， 为所作． （2）如图，为所作； （3）如图，为所作． 【考点题型三】关于原点对称的点的坐标的特征 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）点关于原点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了了关于原点对称的点的坐标．根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， 故选：C． 【变式3-1】（22-23九年级上·广西柳州·期中）平面直角坐标系内点关于轴对称点是，点关于原点对称的点是，已知坐标为，求点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了关于，轴及原点对称的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于，轴及原点对称的性质结合的坐标得出点的坐标． 【详解】∵点关于原点对称的点是，已知坐标为， ∴的坐标为：， ∵点的坐标为，它关于轴的对称点为， 故点的坐标为：． 故选． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的特征：横坐标与纵坐标分别互为相反数；据此求得m与n的值，即可求解． 【详解】解：由于点与点关于原点对称， 则， 故； 故答案为：． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知点，关于原点对称，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，二元一次方程组的应用．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y值，即可． 【详解】∵点，关于原点对称， ∴， 解得． 故答案为：； 【变式3-4】（23-24九年级上·云南曲靖·期中）已知点和点关于x轴对称，求P和Q的值，若M，N关于y轴对称呢？关于原点对称呢？ 【答案】当M，N关于x轴对称时，，；当M，N关于y轴对称时，，；当M，N关于原点对称时，， 【分析】本题考查了两点对称时坐标之间的关系，以及解二元一次方程组，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，分别列出方程组求解即可． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ，整理得：， 由得：，解得， 将代入①得：，解得， 当M，N关于y轴对称时， 有，整理得：， 解得：， 当M，N关于原点对称时， 有，整理得：， 解得： 【考点题型四】数形结合思想 【例4】（22-23九年级上·四川凉山·期中）将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，接着根据平行线的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：在平面内绕点旋转到的位置， ，， ， ∵， ， ． 故选：B． 【变式4-1】（22-23九年级上·浙江台州·期中）如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（    ） A． B．1.5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，连接，证明为等边三角形，求得便可得出结果． 【详解】连接， 由旋转性质得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边长为1的正方形， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【变式4-2】（23-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，已知在中，，，点P在内，且，，，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，把绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，，再求出即可得解． 【详解】解：如图，把绕点C逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，是等腰直角三角形，， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ． 故答案为：． 【变式4-4】（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）在中，． (1)特例证明：如图①，点D，E分别在线段上，，求证：； (2)探索发现：将图①中的绕点C逆时针旋转（）到图②位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展运用：如图③，点D在内部，当时，若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3)3 【分析】此题考查了旋转的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质及添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后根据等腰三角形的判定可得，即可求证； （2）证明，即可解答； （3）绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 由（1）得，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：如图，绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【考点题型五】分类讨论思想 【例5】（23-24九年级上·山东日照·期中）函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，线段绕点B旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出的长度时解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，由顺时针旋转的性质可得出：，再结合点C的位置即可得出点C的坐标．同理可得逆时针时的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，； 当时，， ∴点B的坐标为，， 将绕点B顺时针旋转得到，如图所示：    由旋转可知：， ∴点C的坐标为， 将绕点B逆时针旋转得到，如图所示． 由旋转可知：， ∴点的坐标为． 故选：D． 【变式5-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，与都是等边三角形，连接，，，若将绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．分两种情况：①当点E在的延长线上时，②当点E在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ①当点E在的延长线上时，如图，过点B作于G，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 在中， 根据勾股定理得，； ②当点E在的延长线上时，如图，过点B作于H，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． ∴或． 故选：D． 【变式5-2】（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的边长为4，E在上，，将线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，连接，则的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．根据题意存在两种情况，点F落在边上和点F落在的延长线上的点，分两种情况进行讨论，利用旋转的性质和正方形的性质，分别证明和，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，   当点F落在边上时， 四边形为正方形， ，， ， ， 线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处， ， ， ， ， ， ， 当点F落在的延长线上的点时， 同理可证， ， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式5-3】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，，，将绕C点旋转得，直线与直线交于D，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．分①当边在内部时和②当边在外部时，两种情况讨论，首先证明是等边三角形，再分别利用和是含30度的直角三角形，求出即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， ， ①当边在内部时， ∵将绕C点旋转得， ∴，， 是等边三角形，， ∴点在上，， ， ， ， ， ，， ②当边在外部时， ∵将绕C点旋转得， ∴，， 是等边三角形，， ∴点在上，， 又∵， ∴， ∴ ∴，， 综上所述：或 故答案为：或． 【变式5-4】（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段，的数量关系为 ；，的位置关系为 ． (2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． (3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 (3)长为或 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质得出，即可得出结论； （2）在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．证明，得出是等腰直角三角形，进而即可得证； （3）分两种情况：①当点在直线上方，且，，三点共线时，②当点在直线下方，且，，三点共线时，勾股定理求得，结合图形求得，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，，点为的中点， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； （2）成立，证明：如图（1），在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ，， 又， ， ， 又，． ， ，， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，； （3）分两种情况： ①当点在直线上方，且，，三点共线时，如图（2）， ， ， ， ， ， ， ②当点在直线下方，且，，三点共线时，如图（3）． ， ， ， ， ， ； 综上所述，长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，分类讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型六】转化思想 【例6】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 【变式6-1】（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 【变式6-2】（22-23九年级上·北京东城·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式6-3】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 【详解】解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 【变式6-4】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，D为的中点，点E为平面内一点，连接，将经点D顺时针旋转，点E的对应点为F，连接，，． (1)如图1，当点E在边上时，请直接写出线段，之间的数量关系______，位置关系______； (2)如图2，当点E在内部时，判断（1）中结论是否依然成立，并说明理由； (3)，，若A，E，F三点共线，请直接写出线段的值． 【答案】(1)， (2)仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，证明，从而得出，根据，得； （2）连接，证明，从而得出； （3）①点E在上，连接，证明，从而，进一步得出结果．②点F在上时，同理得：，． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ，D为的中点， ，， ， ， ， ， ； ， ， ； 故答案为：，； （2）解：，仍然成立，理由如下： 如图2，连接，延长交于点H，交于点G，    ，D为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①如图3，A，E，F三点共线，点E在上时，连接，    ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②如图4，A，E，F三点共线，点E在延长线上时，连接，    同理得：， ， ∴综上所述，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． ）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $