专题02反比例函数（期中知识清单）（6个考点清单+10种题型解读）九年级数学上学期人教版五四制

专题02 反比例函数 （考点清单，6个考点清单+10种题型解读） 【清单01】反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 【清单02】反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单03】反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【清单04】反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 【清单05】反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【清单06】反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【考点题型一】反比例函数解析式的确定 1.（23-24九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 3.（21-22九年级上·广东肇庆·期末）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ． 4.（21-22九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【考点题型二】反比例函数的图象与性质 5.（23-24九年级下·重庆大足·期末）已知反比例函数的图象上有点，，，则关于，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 7.（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若反比例函数的图象在每一象限内，函数值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 8.（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点的横坐标为． (1)求的值； (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【考点题型三】反比例函数与实际问题 9.（22-23九年级下·全国·期末）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 10.（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是，如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为 ． 11.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (2)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细有什么限制？ 【考点题型四】反比例函数中的直角三角形 12.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 13．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（   ） A．8 B． C．4 D． 14.（20-21九年级上·北京石景山·期末）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【考点题型五】反比例函数中的等腰三角形 15.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记，，…的面积分别为则的值为（    ） A． B． C． D． 16.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【考点题型六】反比例函数中的一般三角形 17.（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（    ）    A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4 B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2 C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8 D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3 18.（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 19.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积． 【考点题型七】反比例函数中的一般四边形 20.（21-22九年级上·吉林·期末）如图，在四边形OABC中，点A在x轴正半轴上，，轴，D为AB边中点，双曲线经过C、D两点，若的面积是3，则k的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 21.（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴交函数的图象于点C，连接，四边形的面积为 ． 【考点题型八】反比例函数中的矩形 22.（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 23.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点． (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)连接，若矩形的面积是27，求出的面积． 【考点题型九】反比例函数中的菱形 24.（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．2 25.（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C，则k的值为8，菱形OABC的面积为 ． 26.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【考点题型十】反比例函数中的正方形 27.（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．1 D．5 28.（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（    ）    A．26 B．28 C．30 D．32 29.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数 （考点清单，6个考点清单+10种题型解读） 【清单01】反比例函数的概念 1）反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围 反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数． 【清单02】反比例函数的图象和性质 1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单03】反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点． 注： 1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点． 2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0． 3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【清单04】反比例函数解析式的确定 1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 1）设反比例函数解析式为（k≠0）； 2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 【清单05】反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 【清单06】反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况七、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． 【考点题型一】反比例函数解析式的确定 1.（23-24九年级上·山东济宁·期末）下列函数中，y是x反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的形式是解题的关键， 根据反比例函数的一般形式逐一判断即可． 【详解】A、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意； B、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意； C、符合的形式，是反比例函数，故选项符合题意； D、不符合的形式，不是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 2.（23-24九年级上·广东佛山·期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 3.（21-22九年级上·广东肇庆·期末）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特点，代数式求值．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 由题意知，，即，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴， 故答案为：1 4.（21-22九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【答案】-3 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故m的轴为-3． 【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 【考点题型二】反比例函数的图象与性质 5.（23-24九年级下·重庆大足·期末）已知反比例函数的图象上有点，，，则关于，，大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，即可求解． 【详解】解：函数图象如下： ∵，，，， ∴ ∴， 故选：D． 6．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知反比例函数则下列结论不正确的是（    ） A．图像必过点 B．若，则 C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 【详解】A．当代入，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴若，则，故结论正确，选项B不符合题意； C．∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故结论错误，选项C符合题意； D．∵反比例函数， ∴该函数图象位于第二、四象限，故结论正确，选项D不符合题意； 故选：C． 7.（23-24九年级上·贵州毕节·期末）若反比例函数的图象在每一象限内，函数值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系．根据反比例函数反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，即可得到反比例函数的系数小于0，由此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大， ， 解得． 故答案为：． 8.（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点的横坐标为． (1)求的值； (2)若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】（）把代入正比例函数的图象求得纵坐标，然后把的坐标代入反比例函数，即可求出的值； （）由题意可知关于点对称，所以，即可求得，设，然后根据三角形面积公式列出关于的方程，解方程即可求得； 本题考查了反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识点，利用数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵正比例函数的图象经过点，点的横坐标为， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）由题意可知关于点对称，∴， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为或． 【考点题型三】反比例函数与实际问题 9.（22-23九年级下·全国·期末）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式以及自变量x的取值范围成为解题的关键． 先根据实际意义写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围判断即可． 【详解】解：根据题意可知，时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间之间的函数关系式为：， 所以函数图象大致是B． 故选：B． 10.（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是，如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意：设该砖的质量为，其为定值，且有，即与成反比例关系，且面向下放在地上时地面所受压强为帕，则把砖的面向下放在地下上，地面所受压强是． 【详解】解：设该砖的质量为，则 面向下放在地上时地面所受压强为帕，，，三个面的面积之比是 把砖的面向下放在地下上，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 11.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (2)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细有什么限制？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）利用待定系数法求出它们的关系式，代入求解即可． （2）根据求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的关系式为， 把点代入可得， ∴ 当时，． 答：面条的总长度是80米． （2）解：根据题意得： ， 解得： 答：面条的粗细不小于 【考点题型四】反比例函数中的直角三角形 12.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】考查反比例函数的几何意义，即的绝对值，等于的面积的2倍，数形结合比较直观．由反比例函数的几何意义可知，，也就是的面积的2倍是8，求出的面积是4． 【详解】解：设则，， 为反比例函数图象上一点， ， ， 故选：A． 13．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 14.（20-21九年级上·北京石景山·期末）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，，面积分别记为，，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可得答案．熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的三角形的面积为常数的一半． 【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义得， ，， ∴． 故答案为：． 【考点题型五】反比例函数中的等腰三角形 15.（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记，，…的面积分别为则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键． 【详解】解：设， 过点，，，分别作轴，轴，轴，轴于点，，，， ∵，，，在抛物线上， ∴，，； ，，； ，，； ； ，，， ∴； 故选：C． 16.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点在上， ∴， ∵，都在一次函数的图象上，代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵直线与x轴交于点C，如图1， ∴， ∴， ∵A的坐标为，B的坐标为， ∴ ； （3）①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 作轴于点E，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可求； ③当时 设， 则， 解得， ∴． 同理可求． 综上可知，点P的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 【考点题型六】反比例函数中的一般三角形 17.（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，点P，Q在反比例函数的图象上，点M在x轴上，点N在y轴上，下列说法正确的是（    ）    A．图1、图2中阴影部分的面积分别为2，4 B．图1、图2中阴影部分的面积分别为1，2 C．图1、图2中阴影部分的面积之和为8 D．图1、图2中阴影部分的面积之和为3 【答案】A 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，设点，则，点,为的中点，据此即可求解． 【详解】解：设点，则， 根据反比例函数图象的对称性可知：点,为的中点 图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， 故选：A． 18.（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键． 如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值． 【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 设，， ∴， 整理得，， 联立得，，整理得，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 解得，， 故答案为：． 19.（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，一次函数（是常数）与反比例函数在第二象限的图像交于两点，与轴、轴分别交于点点，且． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值，即可得反比例函数的解析式． （2）根据求解即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图像过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 【详解】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图像与反比例函数的图像的交点， ， 反比例函数的解析式为． （2）解：， 【考点题型七】反比例函数中的一般四边形 20.（21-22九年级上·吉林·期末）如图，在四边形OABC中，点A在x轴正半轴上，，轴，D为AB边中点，双曲线经过C、D两点，若的面积是3，则k的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】设A（x，0），D（x，y）得B（x，2y），由的面积是3可计算出BC=，从而得出C（，2y），再把C（，2y），D（x，y）分别代入即可求出k的值． 【详解】解：设A（x，0），D（x，y） ∵，轴， ∴，即轴， ∵D为AB边中点， ∴B（x，2y） ∴BD=y ∵的面积是3 ∴ ∴ ∴C（，2y） ∵C（，2y），D（x，y）在函数的图象上， ∴ ∴ ∴k=12 故选：D 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，利用的面积确定BC是解题的关键． 21.（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴交函数的图象于点C，连接，四边形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键． 【详解】解：延长交y轴于点D， 轴， 轴， 设， ∵点C在反比例函数的图象上， ， ， ∵AB⊥x轴， ， ∴四边形是长方形， 设， ∵点A在反比例函数的图象上， ， ， ． 故答案为：5． 【考点题型八】反比例函数中的矩形 22.（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，根据矩形的性质，设，由点E和点C在反比例函数上，求出a的值，得到，即可求出求出的值． 【详解】解：四边形是矩形，，点为边的中点， ， 设， 点E和点C在反比例函数上， ， 解得：， ， ， 故选：D． 23.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，点的坐标为，点在点的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点，交于点． (1)求点的坐标及反比例函数的关系式； (2)连接，若矩形的面积是27，求出的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质： （1）根据矩形的性质，得到点D的横坐标为4，代入，可求得点D的坐标，再代入，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式； （2）设线段，线段的长度为，根据“矩形的面积是24”，可求出m的值，从而得到点E的坐标为，进而得到线段的长度，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴可设D坐标为， 把代入直线得：， ∴点D的坐标为， ∵经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的关系式为：； （2）解：设线段，线段的长度为， ∵， ∴， ∵矩形的面积是27， ∴，解得：， 即点B，点C的横坐标为：， 把代入得：， 即点E的坐标为：， ∴线段的长度为， ∴ 【考点题型九】反比例函数中的菱形 24.（22-23九年级上·山东烟台·期末）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】过点C作于点D，根据菱形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的面积可得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义可得k的值． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示： 在菱形中，， ∴， ∵菱形的面积为8，点B在y轴的正半轴上， ∴的面积为4， ∴的面积为2， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义和菱形的性质是解题的关键 25.（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C，则k的值为8，菱形OABC的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以设出点和点的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得，然后利用菱形的面积公式求得即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对角线的中点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 26.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，过点A作轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以为边作菱形，过点D作轴于点F，交反比例函数的图象于点E． (1)已知当时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 　 　，点D的横坐标是 　 　，求该反比例函数的表达式； (2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求的值． 【答案】(1)3，8：y= (2) 【分析】 （1）过点C作于点T，利用菱形面积求出，再利用勾股定理求出，从而可设出点C的坐标为，则点A的坐标为，得到，求出m的值即可得到答案； （2）设点，过点C作轴于点N，交于点M，利用菱形面积得到，即可得到点C的纵坐标为，则，进一步推出，点D的坐标为，点E的坐标为，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1） 解：过点C作于点T， ∴菱形面积， ∴， 在中，， ∴， ∴点C的横坐标为3，点D的横坐标为， 设点C的坐标为，则点A的坐标为， ∴， 解得：， ∴，， ∴反比例函数的表达式为：，， 故答案为：3，8； （2） 解：设点，过点C作轴于点N，交于点M， ∵菱形面积是48， ∴， ∴， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，正确利用菱形的面积求出对应线段的长度是解题的关键 【考点题型十】反比例函数中的正方形 27.（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是连接，和都是正方形，，可得，即可求出． 【详解】解：连接， ∵和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28.（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（    ）    A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，涉及正方形性质， 连接交于，延长交轴于，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得． 【详解】解：连接交于，延长交轴于，如图：   四边形是正方形， ， 设，， 轴， ，，， ，都在反比例函数的图象上， ， ， ， ，， 在反比例函数的图象上，在的图象上， ，， ； 故选：D． 29.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． (1)若点A的横坐标为，求k的值； (2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， （2）正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 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