第2章等式与不等式单元测试（提高卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式单元测试（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知关于的方程的两实根分别为，则__________. 2.已知，，则的取值范围为________． 3.不等式的解集是 ． 4.关于的不等式：的解集为_________ 5.已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 6.关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 7.已知a，，记，，则M与N的大小关系是________．. 8.已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 9. 已知，若，则的最小值为_______10.若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是______． 11.已知正数满足，且不等式对任意的x，y恒成立．则实数的取值范围是______． 12. （2024-25大同中学高一上期中）已知非零实数、满足，则的取值范围是 __． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13.若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14.对于 ，下列结论正确的是( ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 15．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D．， 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17.求下列不等式的解集： （1） （2）． 18.已知集合为不等式的解集． （1）求集合； （2）若，且，求实数的范围． ， 19.某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 20.已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 21. 问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b是正实数，且，求的最小值． （2）①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． ， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第2章等式与不等式单元测试（培优卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知关于的方程的两实根分别为，则__________. 【答案】 【分析】根据韦达定理的应用即可求解. 【详解】由题意知， 则. 故答案为： 2.已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又，两式相加可得 故答案为： 3.不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】利用公式求解绝对值不等式. 【详解】，即或， 解得：或， 故解集为：或 故答案为：或 4.关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 5.已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集______． 【答案】 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6.关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，则有，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7.已知a，，记，，则M与N的大小关系是________． 【答案】 【分析】直接由作差法即可比较大小. 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 8.已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 9. 已知，若，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用计算作答. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 10.若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【解析】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故答案为: 11.已知正数满足，且不等式对任意的x，y恒成立．则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而求得的取值范围. 【解析】依题意，正数满足，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为： 12. （2024-25大同中学高一上期中）已知非零实数、满足，则的取值范围是 __． 【答案】[1,3)∪(3,9] 【解析】 【分析】利用基本不等式结合已知条件求出的取值范围，再由结合不等式的基本性质可求得结果. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立. 所以，. 若，则，可得，此时； 若，则，可得，此时. 综上，且. 所以，. 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13.若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 14.对于 ，下列结论正确的是( ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 【答案】B 【解析】采用特殊值法验证即可. 【解析】当时，左边等号成立，故A不正确. 当 时，右边等号不成立，故C不正确. 当 时，右边等号不成立；故D不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 15．当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 16．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17.求下列不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解. （2）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式. 【解析】（1）由， 得或， 解得或， 所以不等式的解集为或. （2） 当时，原不等式可化为：； 当时，原不等式可化为：，无解. 综上可知：原不等式的解集为：. 18.已知集合为不等式的解集． （1）求集合； （2）若，且，求实数的范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解即可； （2）先求出，结合，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 由不等式可得，， 即， 解得， 所以集合； 【小问2详解】 ， 因为， 所以，无解， 即实数的范围为． 19.某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. （1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ （2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 【答案】（1）长和宽均为时，所用篱笆最短，总面积为. （2） 【分析】（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出篱笆长度后结合基本不等式求解即可得； （2）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，用表示出菜园的总面积后结合基本不等式求解即可得. 【小问1详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为， 则所需篱笆的长度为，又， 当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短， 此时该菜园的总面积为； 【小问2详解】 设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，菜园的总面积为， 则， 当且仅当即时，等号成立， 此时另一边为， 即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小. 20.已知关于x的函数，其中为实数． （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【解析】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 21. 问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： （1）已知a、b是正实数，且，求的最小值． （2）①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②时，取最小值. 【解析】 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 ①因，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $