第八单元 数学广角——数与形（分层作业）数学人教版六年级上册

第八单元 数学广角——数与形 分层作业 Df f sd ( )结合是学习数学的一种重要的方法。运用这种方法，不仅可以帮助理解计算 方法，还可以探索数学规律，借此进行计算，从而解决问题。 (2（ （20 【答案】数形 1.探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 【答案】(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数；…… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3， 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 【答案】(1)121 (2)256 (3)n2 【分析】观察给出的等式：1＝12；1＋2＋1＝4＝22；1＋2＋3＋2＋1＝9＝32；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42；可以发现规律：从1开始连续加到某一个数m，再倒着连续加到1，所得的和等于m2，即1＋2＋3＋…＋m＋…＋3＋2＋1＝m2。 【详解】（1）观察算式1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到11，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于112，112＝11×11＝121，所以1＋2＋3＋…＋9＋10＋11＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝121。 （2）观察算式1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到16，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于162，162＝16×16＝256，所以1＋2＋3＋…＋14＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1＝256。 （3）观察算式1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1，是从1开始连续加到n，再倒着连续加到1，符合规律，所以这个式子的和等于n2，所以1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2。 3.“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。 （1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？ （2）填出第5行两个括号中的数。 【答案】（1）第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的； （2）27；52 【分析】（1）仔细观察得知，每排的最后一个数都等于下一排的第一个数； （2）其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数。 【详解】（1）通过分析可知，第5行第一个数“15”是通过第四行的最后一个数得来的； （2）20＋7＝27；37＋15＝52 【点睛】本题是一道探究规律的题目，根据已知数字确定数形中的规律是解答的关键。 4.观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（     ），在方框里写出你的思考过程。 【答案】；减去的数无限接近，差就无限接近 【分析】根据减法性质，把原式化为：1－（＋＋＋＋…）；观察图形可知，＋＋＋…的和接近，＋＋＋＋…的和接近，所以1减去接近的数，差就越接近，据此解答。 【详解】1－－－－－…的结果会无限接近。 减去的数无限接近，差就无限接近。 5.每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 【答案】（1）见详解 （2）n（n－1）÷2；45 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。 【详解】（1）如下表所示： 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 10 15 （2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次； 当n＝10时，握手次数是： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。 6．把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）152个；608平方厘米； （2）77个；308平方厘米 【分析】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。 （2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。 【详解】（1）50÷2＝25（组）    2＋25×4＋25×2 ＝2＋100＋50 ＝152（个）    152×2×2＝608（平方厘米） 答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。 （2）49＝7×7    7×7＋4×7 ＝49＋28 ＝77（个）    2×2×77＝308（平方厘米） 答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。 7．小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇．甲、乙两地相距多少米？ 【答案】105米 【分析】根据题意画图如下 从图中可知，小张、小明两人第一次相遇时，共行的路程即是甲、乙两地之间的距离，这时，小张行了40米．当他们第二次相遇时，小张行了甲、乙间距离还多15米，小明行了两个甲、乙间距离少15米，合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍．因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程．又知这段路程比甲、乙间距离多15米，甲、乙间距离就可求出了． 【详解】解：小张从出发到第二次相遇所行的路程：40×3=120（米） 甲、乙间距离：120－15=105（米） 答：甲、乙两地相距105米． 8．某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游的甲港开往下游的乙港用了6小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？ 【答案】9小时 【分析】静水中的速度是每小时15千米，即船速，水速为每小时3千米，顺水速度是每小时18千米，逆水速度是每小时12千米，顺流6小时，行驶了108千米，路程不变，用108千米除以逆水速度得到返回的时间。可画线段图如下： 【详解】顺水速度：15＋3＝18（千米／时） 两港之间的路程：18×6＝108（千米） 逆水速度：15－3＝12（千米／时） 逆水返回的时间：108÷12＝9（小时） 答：此船从乙港返回甲港需要9小时。 【点睛】在流水行船问题中，还是以速度、路程、时间的关系进行展开，只是速度有船速、水速、顺水速度、逆水速度，要合理选择。画线段图是解答此类问题最直观帮助理解的办法。 9．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。 【答案】22 【分析】观察可得规律是：0条直线能把圆分成1块，1条直线能把圆分成（1＋1）块，2条直线能把圆分成（1＋1＋2）块，3条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3）块，……n条直线能把圆分成（1＋1＋2＋3＋…＋n）块，据此分析。 【详解】当n＝6时 1＋1＋2＋3＋…＋n ＝1＋1＋2＋3＋…＋6 ＝1＋（1＋6）×6÷2 ＝1＋7×6÷2 ＝1＋21 ＝22（块） 6条直线最多能把圆分成22块。 10.下面的图形表示不同的算理，请你把图形与对应的算式用线连起来。 【答案】 【分析】根据图形表示不同的算理，可知第1个图形是后面的数是前面数的，再把它们相加；第2个图形是后面的数是前面数的，再把它们相加；第3个图形是后面的数是前面数的，再把它们相加；根据图形由分数的意义可得和，再把图形与对应的算式用线连起来即可求解。 【详解】根据分析连线如下： 【点睛】考查了分数巧算，本题关键是熟练掌握“数形结合”的数学思想方法。 11.材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 【答案】（1）相等；过程见详解 （2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解 【分析】 （1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。 （2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。 【详解】 （1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 （2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。 第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个） 第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个） 第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个） 第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个） 第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个） 第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个） 第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个） …… 第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——数与形 分层作业 Df f sd ( )结合是学习数学的一种重要的方法。运用这种方法，不仅可以帮助理解计算 方法，还可以探索数学规律，借此进行计算，从而解决问题。 (2（ （20 1.探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 (1)( )。 (2)( )。 (3)( )。 3.“贝尔数”是以美国数学家的名字命名的一组整数数列。它的排列形状像个三角形，又称“贝尔三角形”。请认真观察下面数列，并完成问题。 （1）第5行第一个数“15”是怎么得到的？ （2）填出第5行两个括号中的数。 4.观察下图，猜想算式1－－－－－…的结果会无限接近（     ），在方框里写出你的思考过程。 5.每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（  ）次，当n＝10时，握手次数是（  ）次。 6．把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 7．小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇．甲、乙两地相距多少米？ 8．某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游的甲港开往下游的乙港用了6小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时？ 9．画直线把一个圆分成尽可能多的块数（如图）请仔细观察，找出其中的规律。按照你发现的规律，6条直线最多能把圆分成( )块。 10.下面的图形表示不同的算理，请你把图形与对应的算式用线连起来。 11.材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。 （1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。 （2） 观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（    ）个点，第（7）个有（    ）个点。 那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $