专题05 期中真题百练通关13题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材浙教版

专题05 期中真题压轴题百练通关（14题型56压轴题） 压轴题 题型1 尺规作图痕迹考察 题型8 等腰三角形的性质 题型2 尺规作图之应用与设计作图 题型9 等腰三角形的性质与判定 题型3 三角形的“三线” 题型10 等边三角形的性质与判定 题型4 三角形的面积 题型11 直角三角形的中线 题型5 全等三角形的性质与判定 题型12 勾股定理 题型6 角平分线的性质 题型13 勾股定理的应用 题型7 线段垂直平分线的性质 题型一 尺规作图痕迹考察（共5小题） 1．（2024秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B． 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线． 2．（2024秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　） A．25 B．45 C．50 D．100 【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理证明DC＝DH＝4，可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H． 由作图可知，AD平分∠CAB， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝4， ∴S△ABD•AB•DH25×4＝50， 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【分析】连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可． 【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G， 由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG，EF⊥AB， ∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BC＝4，△ABC面积为10， ∴10， 解得AD＝5． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路径问题是解答本题的关键． 4．（2024秋•宁波期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线； B：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB， 又∵∠AOD＝∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， 射线OP为∠AOB的平分线； C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB， 可得∠CPO＝∠POB， 又由图可知CO＝CP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴∠POB＝∠COP， 射线OP为∠AOB的平分线； D：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形， ∴射线OP是CD的垂直平分线， 也是∠AOB的平分线． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键． 5．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AD+BD＝BC和CD+BD＝BC可得，点D在线段AC的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段AC的垂直平分线，与BC的交点即为点D． 【解答】解：∵AD+BD＝BC，而DC+BD＝BC， ∴DA＝DC， ∴点D在线段AC的垂直平分线上， 即点D为线段AC的垂直平分线与BC的交点． 观察四个选项，D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法． 题型二 尺规作图之设计与应用作图（共4小题） 6．（2024秋•钱塘区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是　6　 ；（每个小正方形的边长为1） （2）△ABC是格点三角形． ①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形； ②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形． 【分析】（1）利用分割法求解即可． （2）根据三角形的判定，画出图形即可． （3）利用旋转法画出图形即可． 【解答】解：（1）如图1中，S△ABC＝3×53×31×52×2＝6， 故答案为：6． （2）①如图2中，△BCD即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，△AFE即为所求作（答案不唯一）． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（2024秋•西湖区校级期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件： （1）附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出 　 　 （填“角平分线”或“垂直平分线”）； （2）点P到两条道路OM，ON的距离相等，需要作出 　 　 （填“角平分线”或“垂直平分线”）； （3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置． 【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质可得答案． （2）结合角平分线的性质可得答案． （3）分别作线段AB的垂直平分线和∠MON的平分线，相交于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出垂直平分线． 故答案为：垂直平分线． （2）点P到两条道路OM，ON的距离相等，需要作出角平分线． 故答案为：角平分线． （3）如图，分别作线段AB的垂直平分线和∠MON的平分线，相交于点P， 则点P即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 8．（2024秋•椒江区校级期中）如图，在14×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段ED和三角形ABC的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； （1）画出△ABC的高BH； （2）在线段ED右侧找一点F，使得△ABC≌△DFE； （3）在（2）的条件下，在线段ED上找一点G，使∠EFG＝45°． 【分析】（1）如图所示，取格点M，连接BM交AC于H，则线段BH即为所求； （2）如图所示，格点F即为所求； （3）如图所示，取格点P，连接PF交DE于G，点G即为所求． 【解答】解：（1）取格点M，连接BM交AC于H，则线段BH即为所求； 可证明△BNM≌△CQA，根据全等三角形的性质和三角形内角和定理可证明BM⊥AC； （2）格点F即为所求； 可利用SSS证明△ABC≌△DFE； （3）取格点P，连接PF交DE于G，点G即为所求； △PEF是等腰直角三角形，则∠PFE＝45°，即∠EFG＝45°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2024秋•镇海区校级期中）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中△ABC为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： （1）在图1中，画出△ABC的中线CE； （2）在图2中，找到格点D，使得△ABD与△ABC全等（标出一个即可）； （3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作图痕迹）． 【分析】（1）取AB的中点E，连接CE即可； （2）作出点C关于AB的对称点D，连接AD，DB即可； （3）取格点T，连接BT，延长BT交AC一点H，线段BH即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，线段CE即为所求； （2）如图2中，△ABD即为所求（答案不唯一）； （3）如图3中，线段BH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 题型三 三角形的“三线”（1题） 10．（2024秋•吴兴区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠EBC＝∠HCB；④∠FAG＝2∠ACF，其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】①根据三角形中线的定义得AE＝CD，根据等底同高的两个三角形的面积相等即可对结论①进行判断； ②根据∠BAC＝∠ADC＝90°得∠ACF+∠AFG＝90°，∠DCF+∠CGD＝90°，再根据∠ACF＝∠DCF，∠CGD＝∠AGF即可对结论②进行判断； ③假设∠EBC＝∠HCB，连接DE，设∠HCE＝∠HCB＝α，则∠ACB＝2α，∠EBC＝∠HCB＝α，根据DE是Rt△ACD斜边上的中线得DE＝CE＝AEAC，则∠EDC＝∠ACB＝2α，进而得∠BED＝α＝∠EBC，则BD＝DE，然而根据已知条件无法判定BD＝DE，由此可对结论②进行判断； ④根据角平分线的定义∠ACB＝2∠ACF，则∠CAD＝90°﹣2∠ACF，再根据∠FAG＝∠BAC﹣∠CAD即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵BE是△ABC的中线， ∴AE＝CD， 又∵△ABE的边AE上的高与△BCE的边CE上的高相同， ∴S△ABE＝S△BCE， 故结论①正确，不符合题意； ②∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的高， ∴∠BAC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°，∠DCF+∠CGD＝90°， ∵CF是△ABC角平分线， ∴∠ACF＝∠DCF， ∴∠AFG＝∠CGD， 又∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AFG＝∠AGF， 故结论②正确，不符合题意； ③假设∠EBC＝∠HCB，连接DE，如图所示： ∵CF是△ABC角平分线， ∴设∠HCE＝∠HCB＝α， 则∠ACB＝2α，∠EBC＝∠HCB＝α， 在Rt△ACD中，DE是斜边AC上的中线， ∴DE＝CE＝AEAC， ∴∠EDC＝∠ACB＝2α， ∵∠EDC＝∠EBC+∠BED＝α+∠BED， ∴α+∠BED＝2α， ∴∠BED＝α＝∠EBC， ∴BD＝DE， 根据已知条件无法判定BD＝DE， ∴假设∠EBC＝∠HCB是错误的， 故结论②是错误的，符合题意； ④∵CF是△ABC角平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∵AD是△ABC的高， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2∠ACF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣（90°﹣2∠ACF）＝2∠ACF， 故结论④正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，理解三角形的角平分线、高和中线的定义，梳理掌握直角三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角性质找出相关角之间的关系是解决问题的关键． 题型四 三角形的面积（3题） 11．（2024秋•义乌市校级期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接CF，由△AEF与△CEF等高，CE＝2AE，可得到S△CEF＝2S△AEF．又因为△ABD与△ACD等底等高，故可得，从而S△CFD＝18﹣3﹣6＝9，又△BFD与△CFD等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接CF， 由条件可知S△CEF＝2S△AEF＝6， ∵BD＝CD，△ABC的面积为36， ∴， ∴S△CFD＝9， ∵△BFD与△CFD等底等高， ∴S△BFD＝S△CFD＝9， ∴图中阴影部分的面积为9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键． 12．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，D为BC的中点，连结AD，E为AD的中点，连结BE，其中G，F分别为BE，CD的中点，连结CG，GF，若S△ABC＝16，则△CFG的面积为 　 　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接CE． ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴S△ACD＝S△ABDS△ABC＝8， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△CDES△ACD8＝4，S△BDES△ABD8＝4， ∴S△BCE＝S△CDE+S△BDE＝4+4＝8， ∵点G是BE的中点， ∴BG＝EG， ∴S△BCGS△BCE8＝4， ∵点F是CD的中点， ∴CFCD， ∵CDBC， ∴CFBC， ∴S△CFGS△BCG4＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 13．（2024秋•浙江期中）如图，三角形ABC的面积为30，AD与BF交于点E，且AE＝ED，，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】连接DF，设S△AEF＝x，S△BED＝y，根据三角形中线的性质得出S△BEA＝S△BED＝y，S△DEF＝S△AEF＝x，再表示出△BDF的面积，根据表示出△CDF的面积，最后根据三角形ABC的面积为30即可求出x+y的值． 【解答】解：如图，连接DF， 设S△AEF＝x，S△BED＝y， ∵AE＝ED， ∴S△BEA＝S△BED＝y，S△DEF＝S△AEF＝x， ∴S△BDF＝S△BED+S△DEF＝x+y， ∵， ∴BD＝2CD， ∴， ∵三角形ABC的面积为30， ∴S△BEA+S△AEF+S△BDF+S△CDF＝30， ∴y+x+x+y30， ∴x+y＝12， 即阴影部分的面积为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 题型五 全等三角形的性质与判定（4题） 14．（2024秋•象山县校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，点F在边AC上运动，作FG⊥AE，交AD于点G，交AE于点H，连结HD，DF．若此时满足HD＝HF，DF⊥AC．有以下结论：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；③∠DHG＝2∠HAF；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先根据三角形内角和定理和三角形外角的性质得到∠AGH＝∠AED＝∠CAE+∠C，进而判断①；先假设HF＝HE，进而根据等腰三角形的性质与判定得出∠BAC＝90°，即可判断②，根据等角的余角相等，以及三角形的外角的性质，即可判断③，延长FG交AB于点M，连接DM，证明△AHM≌△AHF（ASA）得出MH＝HF，进而证明MD∥AC，根据平行线间的距离相等得出S△MDF＝S△MDA，进而判断④，即可求解． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠GAH+∠AGE＝90°， ∴∠AGH＝∠AED， ∵∠AED＝∠CAE+∠C， ∴∠AGH＝∠CAE+∠C， 故①正确； 若HF＝HE， ∵HD＝HF， ∴HD＝HE， ∴∠HDE＝∠HED， ∵AD⊥BC， ∴90°﹣∠HDE＝90°﹣∠HED，即∠HDA＝∠HAD， ∴HA＝HD， ∴HF＝HA， ∴∠EAC＝45°，则∠BAC＝90°， ∴仅当∠BAC＝90°时，有HF＝HE，故②不正确； 设∠HFD＝α， ∵HD＝HF， ∴∠HFD＝∠HDF＝α， ∴∠DHG＝2a， ∵DF⊥AC， ∴∠AFH＝90°﹣α， 又∵AE⊥FG，∠HAF＝90°﹣∠HFA＝α， ∴∠DHG＝2∠HAF， 故③正确； 如图所示，延长FG交AB于点M，连接DM， ∵AE平分∠BAC，AE⊥FG， ∴∠MAH＝∠FAH，∠AHM＝∠AHF＝90°， 又∵AH＝AH， ∴△AHM≌△AHF（ASA）， ∴MH＝HF， ∴S△AMH＝S△AFH，HF＝HD， ∴MH＝HD， ∴∠HMD＝∠HDM， ∵∠MHD＝∠GHD＝2α， ∴， ∴MD∥AC， ∴S△MDF＝S△MDA， ∴S△MDF﹣S△MDG＝S△MDA﹣S△MDG，即S△AMG＝S△GDF， ∴S△AHF＝S△AHM＝S△AMG+S△AGH＝S△GDF+S△AGH＝S△AHD+S△FHD， 即S△AHF＝S△AHD+S△FHD， 故④正确， 故正确的有①③④， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中线的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024秋•金东区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从C运动到B的过程中，△BED周长的变化规律是（　　） A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 【分析】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解． 【解答】解：∵AD＝DE＝DF， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠DEA+∠DFA＝60°， ∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°， ∴∠EDB＝∠DFA， ∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF， ∴△BDE≌△CFD（ASA）， ∴BD＝CF，BE＝CD， ∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD， ∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大， ∴△BED周长先变小后变大， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明△BED≌△CDF是本题关键． 16．（2024秋•江北区校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　 ． 【分析】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可． 【解答】解：如图所示，连接AF， ∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∵∠ABD＝∠E， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∴S△ABF＝S△BDE， ∵， ∵BF20＝8， ∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12， ∴S△AFDAD•DF12×16＝96， ∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD， ∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64． 故答案为：64． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（2024秋•苍南县期中）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　 　 ． 【分析】先证明∠CAE＝∠BAD，进而可依据“SAS”判定△ACE和△ABD全等，则∠ACE＝∠B，再根据CE∥AB得∠ACE＝∠BAC，则∠B＝∠BAC，进而得BC＝AC，由此可判定△ABC是等边三角形，则∠DAE＝∠BAC＝60°，从而得△ADE是等边三角形，则∠ADE＝60°，再求出∠DAC＝35°即可得出∠DOC的度数． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠DAC， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠B， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC， ∴∠B＝∠BAC， ∴BC＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∵AE＝AD， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∵∠BAD＝25°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝35°， ∴∠DOC＝∠DAC+∠ADE＝95°． 故答案为：95°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 题型六 角平分线的性质（4题） 18．（2024秋•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论： ①∠AOB＝90°∠C； ②AE+BF＝EF； ③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点； ④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab． 其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④． 【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA∠CBA，∠OAB∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB ＝180°∠CBA∠CAB ＝180°（180°﹣∠C） ＝90°∠C，①正确； ∵EF∥AB， ∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO， ∴∠FOB＝∠FBO， ∴FO＝FB， 同理EO＝EA， ∴AE+BF＝EF，②正确； 当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE， ∴E，F不是AC，BC的中点，③错误； 作OH⊥AC于H， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OD＝OH， ∴S△CEFCF×ODCE×OH＝ab，④正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 19．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BF＝FC；②∠ABE＝∠ACD；③BH＝EH；④DB＝DG．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到①正确，利用已知垂直关系，得到②正确，利用角平分线的性质得到③不正确，利用等腰直角三角形的性质，得到④正确，由此选出答案． 【解答】解：由题意得： ①∠ACB＝45°，BE⊥AC， ∴△BEC为等腰直角三角形， 又∵EF⊥BC， ∴BF＝FC， ∴①正确； ②∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝∠A+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴②正确； ③∵CD平分∠ACB，BE⊥AC， 但BH和BC不垂直， ∴BH≠EH， ∴③不正确； ④如图，连接BG， ∵△BEC为等腰直角三角形，EF⊥BC， ∴△BGC为等腰三角形， ∴∠GBC＝∠GCB， ∵∠DGB＝∠GCB+∠GBC ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠GCB， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠DGB＝45°， ∵CD⊥AB， ∴△BDG为等腰三角形， ∴DB＝DG， ∴④正确， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 20．（2024秋•钱塘区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝6，AC＝10，则△ABD的面积为（　　） A．4 B． C．2 D． 【分析】延长BD交AC于E，过B作BH⊥AC于H，由角平分线定义得到∠BCD＝∠DCE，由垂直的定义得到∠CDB＝∠CDE＝90°，由此∠CBD＝∠CED，由等腰三角形的性质推出BD＝DE，得到△ABD的面积S△ABE，由勾股定理求出BC8，得到CE＝8，求出AE＝2，由三角形面积公式得到10×BH＝6×8，求出BH，求出△ABE的面积AE•BH，于是得到△ABD的面积． 【解答】解：延长BD交AC于E，过B作BH⊥AC于H， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠DCE， ∵BD⊥CD， ∴∠CDB＝∠CDE＝90°， ∴∠CBD＝∠CED， ∴CB＝CE， ∵CD⊥BE， ∴BD＝DE， ∴△ABD的面积S△ABE， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10， ∴BC8， ∴CE＝BC＝8， ∴AE＝10﹣8＝2， ∵△ABC的面积AC•BHBC•AB， ∴10×BH＝6×8， ∴BH， ∵△ABE的面积AE•BH2， ∴△ABD的面积． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出BD＝DE，得到△ABD的面积S△ABE，由三角形的面积公式求出BH的长． 21．（2024秋•海宁市期中）如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得PM＝PN，且满足点P到OA与OB的距离相等． 【分析】连接MN，作线段MN的垂直平分线GH，作∠AOB的平分线OE交GH于点P，点P即为所求． 【解答】解：如图所示，点P即为所求： 【点评】本题主要考查了作图、角平分线及线段垂直平分线的性质，解题的关键是结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型七 线段垂直平分线的性质（3题） 22．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，BC于D，E两点，F是BE上一点，且FE＝CE，连结AE，AF．则下列说法正确的是①EA＝EF；②∠B＝2∠FAB；③AC＝BE．（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识判断求解即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∵FE＝CE， ∴EA＝EF， 故①正确，符合题意； ∵EA＝EF＝CE， ∴∠C＝∠CAE，∠EAF＝∠AFC， ∵∠C+∠CAE+∠EAF+∠AFC＝180°， ∴∠CAE+∠EAF＝90°＝∠CAF， ∵AB＝AC，∠B＝36°， ∴∠C＝∠B＝36°， ∴∠CAB＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∴∠FAB＝∠CAB﹣∠CAF＝18°， ∴∠B＝2∠FAB， 故②正确，符合题意； ∵AE＝CE， ∴∠C＝∠CAE＝36°， ∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝72°， ∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠EAB＝72°＝∠EAB， ∴AB＝BE， ∴AC＝BE， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 23．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，PE，EQ分别是AB和AC中垂线，EP，EQ分别交BC于点F，D．若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为 　 　 ． 【分析】连接AF，AD，由线段垂直平分线的性质推出AF＝BF＝5，AD＝CD＝4，由勾股定理的逆定理得到∠ADF＝90°，求出BC＝12，即可求出△ABC的面积BC•AD＝24． 【解答】解：连接AF，AD， ∵PE，EQ分别是AB和AC中垂线， ∴AF＝BF＝5，AD＝CD＝4， ∵DF＝3， ∴AF2＝AD2+FD2， ∴∠ADF＝90°， ∴AD⊥BC， ∵BC＝BF+DF+CD＝5+3+4＝12， ∴△ABC的面积BC•AD12×4＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出AF＝BF，AD＝CD，由勾股定理的逆定理推出∠ADF＝90°． 24．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG． （1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB； （2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形． 【分析】（1）连接BD，证出△ABD是等边三角形，得出AB＝AD，则可得出结论； （2）证出∠CBF＝60°，由等边三角形的判定可得出结论． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵DE是边BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∵D为AC的中点， ∴DA＝DC， ∴DB＝DA， ∵BF⊥AC，F为AD的中点， ∴AB＝BD， ∴AB＝BD＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD， ∴AC＝2AB； （2）证明：∵DB＝DC，∠ACB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ADB＝60°， ∵AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DBF＝30°， ∴∠CBF＝60°， ∵BC的垂直平分线为DE， ∴BG＝CG， ∴△BCG为等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 题型八 等腰三角形的性质（2题） 25．（2024秋•慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是　 　 ；（请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是　 　 ．（直接写出答案）． 【分析】（1）做∠ABC的角平分线BD，再过点D作∠BDC的角平分线，则△ABD，△BDE，△DEC均为等腰三角形； （2）分两种情况：①BD＝AD，AD＝CD②AB＝BD，AD＝CD．分别作图即可． （3）根据已知分别求解即可． 【解答】解：（1）答案不唯一，只要符合题意均正确． （2）45°或36°， ． （3）72°、108°、90°、126°、132°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质的理解及运用能力，对于这种开放性的题，答案往往不唯一，这样学生有很大的发挥空间，只能解答符合题意即可． 26．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD＝AB． （1）设∠C＝α，∠ABD＝β． ①当α＝50°时，求β． ②请求出β与α的数量关系． （2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝50°，则可求出答案； ②由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ADB，∠ABC＝∠C＝α，则可求出β，由三角形外角的性质可得出答案； （2）过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，由勾股定理可得出AM＝4，由勾股定理得出25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，则可得出答案． 【解答】解：（1）①∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°， ∵BD＝AB， ∴∠BDA＝∠A＝80°， ∴β＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°； ②∵AB＝BD， ∴∠A＝∠ADB， ∴β＝180°﹣2∠A， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝α， ∴∠A＝180°﹣2∠C＝180°﹣2α， ∴β＝180°﹣2（180°﹣2α）＝4α﹣180°， 即β＝4α﹣180°； （2）过点B作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N， 设AN＝x，则CN＝5﹣x， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM4， ∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2， ∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2， ∴x， ∴AD＝2AN． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 题型九 等腰三角形的性质与判定（5题） 27．（2024秋•宁波期中）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝10，则AB的长为（　　） A． B． C．10 D． 【分析】由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，CD＝BD＝10，因此∠KNB＝∠KBN，MN＝CD＝10，AK＝AD，推出KN＝KB，由余角的性质推出∠M＝∠MBK，得到MK＝KB，求出KBMN＝5，设AD＝x，由勾股定理得到（x+5）2＝x2+102，求出x，即可得到AB5． 【解答】解：如图1， ∵AC＝AB， ∴∠C＝∠B， ∵AD⊥BC， ∴CD＝BD＝10， 如图2， 由题意得：∠KNB＝∠KBN，MN＝CD＝10，AK＝AD， ∴KN＝KB， ∵∠KNB+∠M＝∠KBN+∠MBK＝90°， ∴∠M＝∠MBK， ∴MK＝KB， ∴KBMN＝5， 设AD＝x， ∴AB＝x+5， ∵AB2＝AD2+BD2， ∴（x+5）2＝x2+102， ∴x， ∴AB5． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由勾股定理得到关于x的方程． 28．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出BE＝OE，CF＝OF，进而得出EF＝BE+CF；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，由角平分线的性质定理得出OM＝ON＝OD＝m，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴结论（2）正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OCB＝∠OCF，∠OBC＝∠OBE， ∵EF∥BC， ∴∠OCB＝∠FOC，∠OBC＝∠EOB， ∴∠FOC＝∠OCF，∠EOB＝∠OBE， ∴CF＝OF，BE＝OE， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF， ∴结论（1）正确； 如图，过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD＝m，OM＝ON， ∴OM＝ON＝OD＝m， 又∵AE+AF＝n， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF ， ∴结论（4）错误； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON＝OD，OM＝ON， ∴OM＝ON＝OD， 即点O到△ABC各边的距离相等， ∴结论（3）正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 29．（2024秋•金东区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若，则△APD的面积为6．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根据三角形三边关系即可得出结论； ②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出结论； ③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，根据等积法求出AM即可； ④过点P作PN⊥AB于点N，得出PN＝PD，求出，即可求出结果． 【解答】解：①∵BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分线， ∴BD⊥AC，AD＝CD， ∴BD垂直平分AC， ∴AP＝PC， ∴PC+PQ＝AP+PQ， ∵AP+PQ＞AQ， ∴PC+PQ≥AQ， 故①正确； ②∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠EBD＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴EB＝ED， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴EA＝ED， ∴AE＝DE＝BEABBC， ∴AE+DE＝BC， 故②正确； ③根据解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ， ∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小， 过点A作AM⊥BC于点M，如图所示： 当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM， ∵BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC， ∴， ∵S△ABCAC×BDBC×AM， ∴AM， 即PC+PQ的最小值是， 故③正确； ④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示： ∵PA平分∠BAC，PD⊥AC， ∴PN＝PD， ∵ ， ∴， ∵S△APD+S△APB＝S△ABD6×8＝24， ∴S△APDS△ABD24＝6， 故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质． 30．（2024秋•滨江区校级期中）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答． 【解答】解：连接AF， ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD， ∴∠AFD＝90°， ∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠C， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴EA＝EF， ∴EF＝EA＝ECAC＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键． 31．（2024秋•温州期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝13，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　 ． 【分析】利用勾股定理求出AC，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得△AMN的周长＝AB+AC，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝13， ∴AC12， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴MB＝MO，NO＝NC， ∵AB＝5，AC＝12， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+CN+AN ＝AB+AC ＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键． 题型十 等边三角形的性质与判定（3题） 32．（2024秋•舟山期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形 B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 【分析】把点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断． 【解答】解：当点Q移动到MQ＝2，此时Q在A的左侧，且AQ＝AP＝1，△APQ是等腰三角形， 当点Q移动到点A的右侧，且AQAP时，△APQ是直角三角形， 当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝AP＝1时，△APQ是等边三角形， 当点Q移动到点A的右侧，且AQ＝2AP＝2时，△APQ是直角三角形， ∴在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 33．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论； （2）根据AB＝AD，CB＝CD，推出直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解． 【解答】（1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键． 34．（2024秋•石首市期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 【分析】（1）根据相遇问题，由路程÷速度＝时间建立等式求出t的值即可； （2）根据若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，进而得出CP＝DQ，求出即可； （3）根据P，Q运动速度得出，△APN是等边三角形，得∠APQ＝90°求出即可． 【解答】解：（1）设点P、Q从出发到相遇所用时间是t，根据题意得： t+2t＝AC+AB+BC＝12， 解得：t＝4； 故答案为：4； （2）如图1：若△APQ是等边三角形， 此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP， 则CP＝DQ，即t﹣4＝4﹣（2t﹣8）， 解得：t； （3）PQ与AC互相垂直，理由如下： 如图2所示：根据题意得：AQ＝2AP， 取AQ的中点N， ∵∠PAQ＝60°， ∴△APN是等边三角形， ∴PN＝AN＝NQ， ∴△APQ是直角三角形， ∴∠APQ＝90°， 即当0＜t＜2时，PQ与AC互相垂直． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键． 题型十一 直角三角形的中线（6题） 35．（2024秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【分析】连接DF，DE，由等腰三角形的性质推出F是BC中点，由直角三角形斜边中线的性质得到EFBC12＝6，同理FDAB＝8，DEAB，由等腰三角形的性质推出DM⊥EF，FMEF＝3，由勾股定理即可求出DM． 【解答】解：连接DF，DE， ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴F是BC中点， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴EFBC12＝6， 同理：FDAB16＝8，DEAB， ∴DF＝DE， ∵M为EF的中点， ∴DM⊥EF，FMEF＝3， ∴DM． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出EFBC，FDAB，DEAB，得到△DEF是等腰三角形． 36．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　） A．12 B．12.5 C．15 D．24 【分析】过M作ME⊥CD于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM＝DM＝5，根据等腰三角形的性质求出CE＝3，根据勾股定理求出EM，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【解答】解： 过M作ME⊥CD于E， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点， ∴CMAB＝5，MDAB＝5， ∴CM＝DM， ∵ME⊥CD，CD＝6， ∴CE＝DE＝3， 由勾股定理得：EM4， ∴△MCD的面积为12， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 37．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，线段DE的两个端点D，E分别在边AC和边BC所在的直线上滑动，且DE＝7，若点P，Q分别是AB，DE的中点，则下列有关PQ说法正确的是（　　） A．有最大值为13.5 B．有最大值为13 C．有最小值为3.5 D．有最小值为3 【分析】连接CQ、CP，根据勾股定理得到AB13，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到CQDE＝3.5，CPAB＝6.5，当C、Q、P在同一直线上时，PQ取最小值，于是得到结论． 【解答】解：如图，连接CQ、CP， △ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵DE＝7，点Q、P分别是DE、AB的中点， ∴CQDE＝3.5，CPAB＝6.5， 当C、Q、P在同一直线上时，PQ取最小值， ∴PQ的最小值为：6.5﹣3.5＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键． 38．（2024秋•海宁市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△DEF的周长是8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于 　 　 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴AF是△ABC的中线，CF＝BFBC＝2， ∵D是AB的中点，AF⊥BC， ∴， 设AB＝AC＝2x， ∴DF＝x， ∵BE⊥AC，点D是AB的中点，点F是BC的中点， ∴，EFBC＝2， ∵△DEF的周长为8， ∴x+x+2＝8， ∴x＝3， ∴AB＝AC＝6， 由勾股定理可知：AF4， 故答案为：4． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质． 39．（2024秋•宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 　 　 °． 【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数，再根据E是斜边AC的中点，得出∠EBA＝∠A，从而得出结论． 【解答】解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC， ∴4∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝22.5°， 则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°， ∵BD⊥AC， ∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∵E是斜边AC的中点， ∴BE＝AE＝CE， ∴∠EBA＝∠A＝22.5°， ∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及角的运算，关键是对角的和差的运算． 40．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FMBC，然后根据三角形的周长的定义解答； （2）°根据等腰三角形的两底角相等得出∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠MEC，故可得出∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°，故可得出∠BMF+∠CME的度数，进而可得出结论； ②由∠EMF＝y°可得出∠BMF+∠CME的度数，再由①中∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°即可得出结论． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴EM＝FMBC， ∵EF＝5，BC＝11， ∴△EFM的周长＝EF+EM+FM＝EF+BC＝5+11＝16； （2）①∵EM＝BM＝FM＝CMBC， ∴∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠CEM， ∵∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BMF+∠CME＝360°﹣（∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2x°， ∴∠EMF＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝180°﹣360°+2x°＝2x°﹣180°， ∵x＝120， ∴∠EMF＝2×120°﹣180°＝240°﹣180°＝60°； ②由①知，∠EMF＝2x°﹣180° ∵∠EMF＝y°， ∴y＝2x﹣180． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 题型十二 勾股定理（8题） 41．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC＝2，AC边上的中线．过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．a2+b2 D．ab 【分析】连接DE，过D作DF⊥BC于F，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在Rt△BDF和Rt△CDF中利用勾股定理列方程，化简整理即可． 【解答】解：连接DE，过D作DF⊥BC于F，则∠BFD＝∠CFD＝90°， ∵AC边上的中线， ∴D是AC中点， ∵过点A作AE⊥BC于点E，AC＝2， ∴， ∴， ∵BC的长为a，BE的长为b， ∴CE＝BC﹣BE＝a﹣b， ∴， ∴， Rt△BDF中，， Rt△CDF中，， 则：， 整理得ab＝2， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 42．（2024秋•丽水期中）如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值． 【解答】解：如图，连接CF， ∵AC＝AD，AC⊥AD， ∴∠ACD＝45°＝∠ADC， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠CBD＝45°， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°， ∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线得出∠CFD＝90°是解题的关键． 43．（2024秋•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【分析】由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝24求出S2＝12，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝24， ∴S2＝12， 由图形可知，阴影部分的面积S2＝6， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．熟记勾股定理是解题的关键． 44．（2024秋•钱塘区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，记△GMN的面积为S1，△AMK的面积为S2，若AB＝2，AC＝4，△BCK的面积为5，则S1﹣S2的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】连接GK，先由△BCK的面积为5得CK＝5，则AK＝1，证明△ABC和△FNC全等得AB＝FN＝2，则GN＝FG﹣FN＝2，由三角形面积公式得S△GKN＝S1+S△MKGGN•AG＝4，S△AGK＝S2+S△MKGAK•AG＝2，由此即可得出S1﹣S2的值． 【解答】解：连接GK，如图所示： ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥CK， ∵△BCK的面积为5，AB＝2，AC＝4， ∴CK•AB＝5， ∴CK×2＝5， ∴CK＝5， ∴AK＝CK﹣AC＝1， ∵四边形BDED和是四边形ACFG都是正方形， ∴AC＝CF＝FG＝4，∠BCE＝∠ACF＝∠F＝∠FGA＝90°，AC∥FG， ∴∠BAC＝∠F＝90°，∠BCN＝∠ACF＝90°， ∴∠BCN﹣∠ACN＝∠ACF﹣∠ACN ∴∠BCA＝∠NCF， 在△ABC和△FNC中， ， ∴△ABC≌△FNC（ASA）， ∴AB＝FN＝2， ∴GN＝FG﹣FN＝2， ∵∠FGA＝90°，AC∥FG， ∴S△GKN＝S1+S△MKGGN•AG2×4＝4，S△AGK＝S2+S△MKGAK•AG1×4＝2， ∴S1+S△MKG﹣（S2+S△MKG）＝2， ∴S1﹣S2＝2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 45．（2024秋•西湖区校级期中）若直角三角形的周长为21，则斜边上的中线长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，即可解决问题． 【解答】解：直角三角形的周长为21， 这个直角三角形的两条直角边长为a和b， 则a+b＝21﹣斜边长， ∵直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半， ∴当斜边上的中线长为6时，斜边长＝12， 此时a+b＝21﹣12＝9， 因为9＜12， 即三角形的两边之和小于第3边，不能构成三角形， 所以斜边上的中线长不可能为6， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线． 46．（2024秋•江山市期中）如图，已知Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC，其中点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点，连接DG，AF，EH．则线段DG，AF，EH的数量关系是（　　） A．2AF2＝2DG2+EH2 B．2AF2＝DG2+2EH2 C．AF2＝DG2+EH2 D．2AF2＝DG2+EH2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以得到AB＝2DG，AC＝2EH，BC＝2AF，然后根据勾股定理可以得到AB2+AC2＝BC2，从而可以得到DG，AF，EH的数量关系． 【解答】解：Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC，其中点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点， ∴AB＝2DG，AC＝2EH，BC＝2AF， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴（2DG）2+（2EH）2＝（2AF）2， 化简，得：AF2＝DG2+EH2， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 47．（2024秋•温州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，记阴影部分面积分别为S1，S2，S3和S4，若S1＝8，S2＝3，S3＝16，则S4的值是 　 　 ． 【分析】连接AC，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，S2AB2，S3BC2，S1AD2，S4CD2，则AB2+BC2＝AD2+CD2，推出S1+S4＝S2+S3，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AC， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形， ∴AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，S2AB2，S3BC2，S1AD2，S4CD2， ∴AB2+BC2＝AD2+CD2， ∴S1+S4＝S2+S3， ∴S4＝3+16﹣8＝11， 故答案为：11． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 48．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ 　 　 ． 【分析】连接DE，先根据线段垂直平分线的性质得到DE的长，再判定DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，得到AC的长，最后根据勾股定理即可求出AD． 【解答】解：如图，连接DE， ∵DF⊥BE，BF＝FE， ∴ED＝BD＝5， ∵AD是BC边上的高线， ∴△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°， ∵BE是AC边上的中线， ∴DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线， ∴DEAC＝5， ∴AC＝10， 在Rt△ACD中， ∵AC＝10，CD＝8， ∴由勾股定理，得AD6， 故答案为：6． 【点评】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键． 题型十三 勾股定理的应用（3题） 49．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝AD，BD＝5，CD＝4，记AB长为x，AC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．x2+y2 D．x2﹣y2 【分析】先求出DE＝2，∠AED＝90°，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【解答】解：∵AC＝AD，CD＝4， ∴DE2，∠AED＝90°， ∵BD＝5， ∴BE＝BD+DE＝5+2＝7， 在Rt△ADE和Rt△ABE中， ∵AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2， ∴x2﹣72＝y2﹣22， ∴x2﹣y2＝45． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用及代数式求值，作出正确的辅助线是解题的关键． 50．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2a≤25 C．25﹣2a≤13 D．11≤a≤15 【分析】根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：∵将一根长为25cm的吸管，置于底面直径为10cm，高度为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，x＝12cm， 最长时等于杯子斜边长度是：x2（cm）， ∴a的取值范围是：25﹣2a≤25﹣12， 即25﹣2a≤13， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题． 51．（2024秋•鹿城区校级期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中AE＝4，AB＝5，则DE的值是　 　 ． 【分析】由全等三角形的性质得DE＝AE＝4，AD＝AB＝5，∠AHD＝∠DHE＝90°，由勾股定理求出AH＝3，得出HE＝1，然后再由勾股定理即可求出DE的值． 【解答】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD， ∴DE＝AE＝4，AD＝AB＝5，∠AHD＝∠DHE＝90°， 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：， ∴HE＝AE﹣AH＝1， 在直角三角形DEH中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 1．（2024秋•拱墅区校级期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC． （1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM＝EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形； （3）如图3，当∠ABC＝45°，且AE∥BC时，求证：BD＝2EF． 【分析】（1）利用SAS定理证明△ACF≌△AEF，根据全等三角形的性质得到∠E＝∠ACF，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ABE，等量代换证明结论； （2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证明△ABM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，进而证明△AMF为等边三角形； （3）延长BA、CF交于N，证明△BFN≌△BFC，得到CN＝2CF＝2EF，再证明△BAD≌△CAN，得到BD＝CN，等量代换得到答案． 【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAE， ∴∠EAF＝∠CAF， ∵AB＝AC，AB＝AE， ∴AE＝AC， 在△ACF和△AEF中， ， ∴△ACF≌△AEF（SAS）， ∴∠E＝∠ACF， ∵AB＝AE， ∴∠E＝∠ABE， ∴∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，在FB上截取BM＝CF，连接AM， ∵△ACF≌△AEF， ∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM， 在△ABM和△ACF中， ， ∴△ABM≌△ACF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°， ∵AM＝AF， ∴△AMF为等边三角形； （3）如图3，延长BA、CF交于N， ∵AE∥BC， ∴∠E＝∠EBC， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠ACF＝∠ABF＝22.5°， ∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°， ∴∠BFN＝∠BFC＝90°， 在△BFN和△BFC中， ， ∴△BFN≌△BFC（ASA）， ∴CF＝FN，即CN＝2CF＝2EF， ∵∠BAC＝90°， ∴∠NAC＝∠BAD＝90°， 在△BAD和△CAN中， ， ∴△BAD≌△CAN（ASA）， ∴BD＝CN， ∴BD＝2EF． 【点评】本题考查的是三角形的综合题，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（2024秋•台州期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 　 　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长． 综合应用 （3）如图3，已知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，F为CD的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①∠CAD+∠BAE的度数为 　 　 °； ②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程． 【分析】（1）根据新定义“偏等积三角形”可得出答案； （2）证明△ADB≌△EDC（AAS），得出AD＝DE，AB＝EC＝2，根据三角形三边关系可得出答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长AF至G，使GF＝AF，连接DG，证明△GDF≌△ACF（SAS），由全等三角形的性质得出∠DGF＝∠CAF，GD＝AC，证明△ADG≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质得出AG＝BE，则可得出结论． 【解答】解：（1）如图1中，在AC上截取AP＝3， ∵AC＝BC＝6， ∵AP＝PC＝3， ∴S△PAB＝S△PBC， ∵△ABP与△PBC不全等， ∴△ABP与△CBP为偏等积三角形， ∴当AP＝3时，△ABP与△CBP为偏等积三角形， 故答案为：3； （2）如图2， ∵△ABD与△ACD为偏积等三角形， ∴BD＝CD， ∵AB∥EC， ∴∠BAD＝∠E， ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ADB≌△EDC（AAS）， ∴AD＝DE，AB＝EC＝2， ∵AC＝4， ∴4﹣2＜AE＜4+2， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， ∵AD为正整数， ∴AD＝2， ∴AD的长为2； （3）①∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠CAD+∠BAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 故答案为：180； ②BE＝2AF， 理由如下：延长AF至G，使GF＝AF，连接DG， 如图3所示： ∵F为CD的中点， ∴DF＝CF， 在△GDF和△ACF中， ， ∴△GDF≌△ACF（SAS）， ∴∠DGF＝∠CAF，GD＝AC， ∴DG∥AC， ∴∠CAD+∠GDA＝180°， 由①得：∠CAD+∠BAE＝180°， ∴∠GDA＝∠BAE， ∵AC＝AB， ∴GD＝AB， 在△ADG和△EAB中， ， ∴△ADG≌△EAB（SAS）， ∴AG＝BE， ∵AG＝2AF， ∴BE＝2AF． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 3．（2024秋•绍兴期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点M运动到点C时，点N运动到什么位置？请通过计算说明； （2）点M、N运动几秒时，可得到等边△AMN？ （3）点M、N运动几秒时，可得到Rt△AMN？请直接写出结果． 【分析】（1）求出点N运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到AM＝AN，根据题意列方程，解方程即可； （3）分∠ANM＝90°、∠AMN＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【解答】解：（1）点N运动到点C， 理由：当点M运动到点C时，ts， ∵点N的速度为2cm/s， ∴点N的运动路程为12×2＝24（cm）， ∵AB＝AC＝12cm， ∴AC+AB＝24cm， ∴点N运动到点C． （2）由题意得，AN＝12﹣2t，AM＝t， ∵AB＝BC＝AC＝12cm， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴AM＝AN时，△AMN为等边三角形， ∴12﹣2t＝t， 解得，t＝4， 则点M，N运动4秒后，可得到等边△AMN； （3）当∠ANM＝90°时，∠A＝60°， ∴∠AMN＝30°， ∴ANAM，即12﹣2tt， 解得，t＝4.8， 当∠AMN＝90°时，∠A＝60°， ∴∠ANM＝30°， ∴AMAN，即12﹣2t＝2t， 解得，t＝3， 当t＝15秒时，点N是BC的中点，则AN⊥BC，△AMN为直角三角形， 当t＝18秒时，点M是BC的中点，则AM⊥BC，△AMN为直角三角形， 综上所述，M，N运动的时间为4.8秒或3秒或15秒或18秒时，△AMN为直角三角形． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． 4．（2024秋•鄞州区校级期中）【自主探究】（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B＝∠FDE＝∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以证明； 【拓展应用】（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图3．已知AC＝4，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值． 【分析】（1）利用三角形外角性质即可求解； （2）①利用线段和差及等量代换即可求解； ②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，先证明△BDF≌△MED（SAS），得到EM＝CM，在求出∠ECM＝∠MEC＝22.5°，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，在Rt△ANC中求出AN即可． 【解答】解：（1）∠BED＝∠CDF；理由如下： ∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠EDC＝∠FDE+∠CDF， ∴∠B+∠BED＝∠FDE+∠CDF， ∵∠B＝∠FDE＝∠C， ∴∠BED＝∠CDF； （2）①BD+BF＝CD；理由如下： ∵AB＝BC， ∴AF+BF＝BD+CD， ∵AF＝2BD， ∴2BD+BF＝BD+CD， ∴BD+BF＝CD； ②在CD上截取DM＝BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，如图3， ∵∠B＝45°，∠EDF＝45°， 由（1）可得∠BFD＝∠EDM， 在△BDF和△MED中， ， ∴△BDF≌△MED（SAS）， ∴BD＝EM，∠B＝∠DME＝45°， ∵CD＝BD+BF，CD＝DM+CM， ∴CM＝BD， ∴EM＝CM， ∴∠MCE＝∠MEC， ∵∠EMD＝45°， ∴∠ECM＝∠MEC＝22.5°， ∴E点在射线CE（固定）上运动， ∵G点与点N的关于CE对称， ∴EG＝EN， ∴EA+EG＝EA+EN≥AN， ∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN， ∵∠B＝45°，AB＝BC， ∴∠ACB＝67.5°， ∴∠ACE＝45°， 由对称性可知，∠ACE＝∠ECN＝45°， ∴∠ACN＝90°， ∵点G是AC的中点，AC＝4， ∴CG＝2， ∴CN＝2， 在Rt△ANC中，， ∴AE+EG的最小值为． 【点评】本题是三角形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，将军饮马问题，勾股定理，二次根式，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 5．（2024秋•杭州校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，在射线BC上有一动点P． （1）求BC长； （2）当△ABP为直角三角形时，求BP值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求BP值． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16， ∴BC＝4cm； （2）①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图1，BP＝BC＝4cm； ②当∠BAP为直角时，如图2，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝32+（BP﹣4）2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， 即：52+[32+（BP﹣4）2]＝BP2， 解得：cm， 故当△ABP为直角三角形时，BP＝4cm或； （3）①当AB＝BP时，如图3，AB＝BP＝5cm； ②当AB＝AP时，如图4，BP＝2BC＝8cm； ③当BP＝AP时，如图5，CP＝（4﹣BP）cm，AC＝3cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2， 所以BP2＝32+（4﹣BP）2， 解得：cm， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，BP＝5cm或BP＝8cm或． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题压轴题百练通关 压轴题 题型1 尺规作图痕迹考察 题型8 等腰三角形的性质 题型2 尺规作图之应用与设计作图 题型9 等腰三角形的性质与判定 题型3 三角形的“三线” 题型10 等边三角形的性质与判定 题型4 三角形的面积 题型11 直角三角形的中线 题型5 全等三角形的性质与判定 题型12 勾股定理 题型6 角平分线的性质 题型13 勾股定理的应用 题型7 线段垂直平分线的性质 题型一 尺规作图痕迹考察（共5小题） 1．（2024秋•诸暨市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 2．（2024秋•杭州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝25，则△ABD的面积为（　　） A．25 B．45 C．50 D．100 3．（2024秋•滨江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 4．（2024秋•宁波期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点D，使AD+BD＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 题型二 尺规作图之设计与应用作图（共4小题） 6．（2024秋•钱塘区校级期中）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是　 　 ；（每个小正方形的边长为1） （2）△ABC是格点三角形． ①在图2中画出一个与△ABC全等且有一条公共边BC的格点三角形； ②在图3中画出一个与△ABC全等且有一个公共点A的格点三角形． 7．（2024秋•西湖区校级期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件： （1）附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，需要作出 　 　 （填“角平分线”或“垂直平分线”）； （2）点P到两条道路OM，ON的距离相等，需要作出 　 　 （填“角平分线”或“垂直平分线”）； （3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置． 8．（2024秋•椒江区校级期中）如图，在14×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段ED和三角形ABC的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹（作图结果用实线表示，作图过程用虚线表示）； （1）画出△ABC的高BH； （2）在线段ED右侧找一点F，使得△ABC≌△DFE； （3）在（2）的条件下，在线段ED上找一点G，使∠EFG＝45°． 9．（2024秋•镇海区校级期中）如图，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形成为格点图形，图中△ABC为格点三角形，请按要求在给定网格中完成以下作图： （1）在图1中，画出△ABC的中线CE； （2）在图2中，找到格点D，使得△ABD与△ABC全等（标出一个即可）； （3）在图3中，仅用无刻度的直尺作出△ABC的高BH（保留作图痕迹）． 题型三 三角形的“三线”（1题） 10．（2024秋•吴兴区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠EBC＝∠HCB；④∠FAG＝2∠ACF，其中错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型四 三角形的面积（3题） 11．（2024秋•义乌市校级期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 12．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，D为BC的中点，连结AD，E为AD的中点，连结BE，其中G，F分别为BE，CD的中点，连结CG，GF，若S△ABC＝16，则△CFG的面积为 　 　 ． 13．（2024秋•浙江期中）如图，三角形ABC的面积为30，AD与BF交于点E，且AE＝ED，，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 题型五 全等三角形的性质与判定（4题） 14．（2024秋•象山县校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，点F在边AC上运动，作FG⊥AE，交AD于点G，交AE于点H，连结HD，DF．若此时满足HD＝HF，DF⊥AC．有以下结论：①∠AGH＝∠CAE+∠C；②HF＝HE；③∠DHG＝2∠HAF；④S△AHF＝S△AHD+S△FHD.其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024秋•金东区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从C运动到B的过程中，△BED周长的变化规律是（　　） A．先变大后变小 B．不变 C．先变小后变大 D．一直变小 16．（2024秋•江北区校级期中）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 　 　 ． 17．（2024秋•苍南县期中）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　 　 ． 题型六 角平分线的性质（4题） 18．（2024秋•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论： ①∠AOB＝90°∠C； ②AE+BF＝EF； ③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点； ④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab． 其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 19．（2024秋•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，且与BE交于点H，EF⊥BC于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①BF＝FC；②∠ABE＝∠ACD；③BH＝EH；④DB＝DG．其中正确结论的序号有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 20．（2024秋•钱塘区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝6，AC＝10，则△ABD的面积为（　　） A．4 B． C．2 D． 21．（2024秋•海宁市期中）如图，在∠AOB的内部找出一点P，使得PM＝PN，且满足点P到OA与OB的距离相等． 题型七 线段垂直平分线的性质（3题） 22．（2024秋•浙江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，BC于D，E两点，F是BE上一点，且FE＝CE，连结AE，AF．则下列说法正确的是①EA＝EF；②∠B＝2∠FAB；③AC＝BE．（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 23．（2024秋•秀洲区校级期中）如图，PE，EQ分别是AB和AC中垂线，EP，EQ分别交BC于点F，D．若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为 　 　 ． 24．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG． （1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB； （2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形． 题型八 等腰三角形的性质（2题） 25．（2024秋•慈溪市期中）（1）如图，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B的度数是　 　 ；（请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是　 　 ．（直接写出答案）． 26．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD＝AB． （1）设∠C＝α，∠ABD＝β． ①当α＝50°时，求β． ②请求出β与α的数量关系． （2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长． 题型九 等腰三角形的性质与判定（5题） 27．（2024秋•宁波期中）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝10，则AB的长为（　　） A． B． C．10 D． 28．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．（1）EF＝BE+CF；（2）∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2024秋•金东区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若，则△APD的面积为6．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 30．（2024秋•滨江区校级期中）如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 31．（2024秋•温州期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝13，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　 ． 题型十 等边三角形的性质与判定（3题） 32．（2024秋•舟山期中）如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（　　） A．直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形 B．直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等边三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等腰三角形一直角三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 33．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 34．（2024秋•石首市期中）如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒． （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 　 　 秒； （2）当t取何值时，△APQ也是等边三角形？请说明理由； （3）当0＜t＜2时，判断PQ与AC的位置关系． 题型十一 直角三角形的中线（6题） 35．（2024秋•萧山区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 36．（2024秋•西湖区校级期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（　　） A．12 B．12.5 C．15 D．24 37．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，线段DE的两个端点D，E分别在边AC和边BC所在的直线上滑动，且DE＝7，若点P，Q分别是AB，DE的中点，则下列有关PQ说法正确的是（　　） A．有最大值为13.5 B．有最大值为13 C．有最小值为3.5 D．有最小值为3 38．（2024秋•海宁市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△DEF的周长是8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于 　 　 ． 39．（2024秋•宁波期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 　 　 °． 40．（2024秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 题型十二 勾股定理（8题） 41．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AC＝2，AC边上的中线．过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．a2+b2 D．ab 42．（2024秋•丽水期中）如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 43．（2024秋•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝24，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 44．（2024秋•钱塘区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，记△GMN的面积为S1，△AMK的面积为S2，若AB＝2，AC＝4，△BCK的面积为5，则S1﹣S2的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 45．（2024秋•西湖区校级期中）若直角三角形的周长为21，则斜边上的中线长不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 46．（2024秋•江山市期中）如图，已知Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC，其中点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点，连接DG，AF，EH．则线段DG，AF，EH的数量关系是（　　） A．2AF2＝2DG2+EH2 B．2AF2＝DG2+2EH2 C．AF2＝DG2+EH2 D．2AF2＝DG2+EH2 47．（2024秋•温州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形，记阴影部分面积分别为S1，S2，S3和S4，若S1＝8，S2＝3，S3＝16，则S4的值是 　 　 ． 48．（2024秋•杭州期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ 　 　 ． 题型十三 勾股定理的应用（3题） 49．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝AD，BD＝5，CD＝4，记AB长为x，AC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．x2+y2 D．x2﹣y2 50．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．13≤a≤25 B．25﹣2a≤25 C．25﹣2a≤13 D．11≤a≤15 51．（2024秋•鹿城区校级期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中AE＝4，AB＝5，则DE的值是　 　 ． 1．（2024秋•拱墅区校级期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC． （1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF； （2）如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M，使BM＝EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形； （3）如图3，当∠ABC＝45°，且AE∥BC时，求证：BD＝2EF． 2．（2024秋•台州期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 　 　 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，求AE的长． 综合应用 （3）如图3，已知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝90°，F为CD的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①∠CAD+∠BAE的度数为 　 　 °； ②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程． 3．（2024秋•绍兴期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点M运动到点C时，点N运动到什么位置？请通过计算说明； （2）点M、N运动几秒时，可得到等边△AMN？ （3）点M、N运动几秒时，可得到Rt△AMN？请直接写出结果． 4．（2024秋•鄞州区校级期中）【自主探究】（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，若∠B＝∠FDE＝∠C，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以证明； 【拓展应用】（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝45°，点D、F分别是边BC、AB上的动点，AF＝2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，∠EDF＝45°，连接CE． ①试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由； ②如图3．已知AC＝4，点G是AC的中点，连接EA、EG，直接写出EA+EG的最小值． 5．（2024秋•杭州校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，在射线BC上有一动点P． （1）求BC长； （2）当△ABP为直角三角形时，求BP值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求BP值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $