第1章 专题拓展 全等三角形中三垂直基本模型-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

1.4 全等三角形 【典型例题】 例1 DE=BD-BE=2cm. 变式练习1 (1)△ABC≌△DBE 对应边: AB 与DB,AC 与DE,BC 与BE;对应角: ∠A 与∠D,∠ABC 与∠DBE,∠ACB 与 ∠E (2)垂直;理由提示:延长AC 交ED 于 点F,证∠CFD=90°. 变式练习2 ∠DFB=90°,∠DGB=65°. 例2 C 变式练习3 7 【巩固练习】 1.C 2.D 3.①②④ 4.2.5 5.20 6.80° 7.略 8.A 9.提示:证∠QAP= 90° 10.∠C= 1 2 (∠1+∠2) 1.5 三角形全等的判定 【典型例题】 例1 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE 或AB =DE) 变式练习1 答案不唯一,如AB=CD. 例2 △ABF≌△CDE,△ABC≌△CDA. 变式练 习 2 有 4 对,分 别 是 △ADF ≌ △ABF,△CDF ≌ △EBF, △ACD ≌ △AEB,△ACF≌△AEF;证明略. 例3 △BEC≌△CDA(AAS). 变式练习3 略 例4 提示:先证△ABD≌△ACE(SSS). 【巩固练习】 1.D 2.C 3.D 4.A 5.AB=DC 6. n(n+1) 2 7.AG=AD ;AG⊥AD 证明 略 8.a-b 9.(1)提示:先证C1B∥CA, 再 证 △AA1C ≌ △C1CB,得 ∠AA1C = ∠C1CB,而∠AA1C=∠BB1C1,∴∠C1CB =∠BB1C1,在△C1B1E 和△BCE 中,可得 ∠B1C1C= ∠B1BC. (2)相 等.提 示:证 ∠BCC1=∠A. 专题拓展 全等三角形中 三垂直基本模型 【夯实基础】 1.C 2.C 3.D 4.∠E=∠DBC(答 案不唯一) 5.90° 【典型例题】 例1 △ACD≌△CBE(AAS) 变式练习1 略 变式练习2 略 例2 根据三垂直基本模型可得△ACD≌ △CBE;∴AD=CE,CD=BE,∴DE=AD +BE. 变式练习3 提示:先证△ACD≌△CBE (AAS) 例3 特例探究:根据三垂直基本模型易证 △ABD ≌ △CAF (AAS) 归 纳 证 明: △ABE≌△CAF(AAS) 拓展应用:△ACF 与△BDE 的面积之和为5. 变式练习4 (1)①= = ②∠α+∠BCA =180°,证明过程略 (2)EF=BE+AF 【巩固练习】 1.D 2.B 3.A 4.13 5.3 6.10 7.(1)△ACD≌△CBE(AAS),证明过程略 (2)9 8.(1)略 (2)△DEF 为等边三角 形,证明略 9.(1)1,3 (2) OC-BD OA =1 ,证 明过程略 专题拓展 构造三角形全等 证明结论 【夯实基础】 1.提示:连结AD. 2.提示:连结AC. 3.提示:连结AB. 4.62-6,提示:过点D 作DE⊥AB,垂足为E,证△DCB≌△DEB. 5.CH=1,提示:先证△AEH≌△CEB. 【典型例题】 例 提示:过点B 作BE∥AC 交AD 的延长 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·4· 数学 八年级上册 15 专题拓展 全等三角形中三垂直基本模型 1.下列各组条件中,能判断两个直角三角形全 等的是 ( ) A.两组锐角对应相等 B.一组边对应相等 C.两组直角边对应相等 D.一组锐角对应相等 2.如图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D.下列结论中正确的是 ( ) A.∠ACD=∠A B.∠ACD+∠B=90° C.∠BCD=∠A D.∠A=∠B 3.如图,已知AB=DC,BE⊥AD,CF⊥AD, 垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一个就可以 判定Rt△ABE≌Rt△DCF 的是 ( ) ①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF =DE. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 4.如图,A,B,C 三点在同一条直线上,∠A= ∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件 ,使得△EAB≌△BCD. 5.如图,在正方形ABCD 中,如果AF=BE, 那么∠AOD 的度数是 . 例1 如图,AC=BC,AC⊥BC,DE 经过点C,AD ⊥DE 于点D,BE⊥DE 于点E. 求证:△ACD≌△CBE. 点拨:(1)本题考查全等三角形的判定; (2)本题存在三个垂直条件,是一个典型的三 垂直问题,三垂直问题的解决关键是角度的转化. 变式练习1 如图,AC=BC,AC⊥BC,CD 经过点 C,AE⊥CD 于点E,BD⊥CD 于点D. 求证:△ACE≌△CBD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 16 变式练习2 如图,AC=BC,AC⊥BC,EB⊥BC 于点B,AD⊥CE 交BC 于点D,交CE 于点F.求 证:△ACD≌△CBE. 例2 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE⊥MN 于 点E,求证:DE=AD+BE. 点拨:(1)本题考查全等三角形的判定与性质; (2)认清三垂直基本模 型 是 这 个 问 题 解 决 的 关键. 变式练习 3 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE ⊥MN 于点E,求证:DE=AD-BE. 例3 问题情境:如图①,在直角三角形 ABC 中, ∠BAC=90°,AD⊥BC 于点D,可知:∠BAD= ∠C(不需要证明). 特例探究:如图②,∠MAN=90°,射线AE 在 这个角的内部,点B,C 在∠MAN 的边AM,AN 上,且AB=AC,CF⊥AE 于点F,BD⊥AE 于点 D.证明:△ABD≌△CAF; 归纳证明:如图③,点 B,C 在∠MAN 的边 AM,AN 上,点 E,F 在∠MAN 内部的射线AD 上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF 的外角.已知 AB =AC,∠1= ∠2= ∠BAC.求 证:△ABE ≌△CAF; 拓展应用:如图④,在△ABC 中,AB=AC,AB >BC.点D 在边BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段 AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为15, 则△ACF 与△BDE 的面积之和为 . 点拨:(1)本题考查全等三角形的判定与性质; (2)本题是三垂直基本模型的一个拓展,将三 垂直变式为三等角. 变式练习4 CD 经过∠BCA 顶点C 的一条直线, CA=CB.E,F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC= ∠CFA=∠α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 17 (1)若直线CD 经过∠BCA 的内部,且E,F 在 射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图①,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE CF;EF |BE-AF|(填“>”“<” 或“=”); ②如图②,若0°<∠BCA<180°,请添加一个 关于∠α与∠BCA 关系的条件,使①中的两个结论 仍然成立,并证明两个结论成立; (2)如图③,若直线CD 经过∠BCA 的外部, ∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF 三条线段数量 关系的合理猜想(不要求证明). 1.如图,Rt△ABE≌Rt△ECD,点B,E,C 在 同一直线上,则结论:①AE=ED;②AE⊥DE; ③BC=AB+CD;④AB∥DC 中成立的是 ( ) A.① B.①③ C.①③④ D.①②③④ 2.如图,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B, C,AB=BC,E 为BC 的中点,且AE⊥BD 于点F, 若CD=4cm,则AB 的长度为 ( ) A.4cm B.8cm C.9cm D.10cm 3.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线 所围成的阴影部分的面积S 是 ( ) A.50 B.62 C.65 D.68 4.如图,直线a 经过正方形ABCD 的顶点A, 分别过正方形的顶点B,D 作BF⊥a 于点F,DE⊥ a 于点E,若 DE=8,BF=5,则EF 的长为 . 5.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC= 2cm,CD⊥AB 于点D,在AC 上取一点E,使EC =BC,过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F, 若EF=5cm,则AE= cm. 6.如图,已知点P(5,5),点B,A 分别在x 的 正半轴和y 的正半轴上,∠APB=90°,则OA+OB = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 18 7.直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上,AC=BC,现过A,B 两点分别作直线l的垂线, 垂足分别为D,E. (1)请你在图中找出一对全等三角形,并写出 证明过程; (2)若BE=4,DE=5,求出AD 的长. 8.如图1所示,在四边形ABCD 中,DC∥AB, AD=BC,BD 平分∠ABC. (1)求证:AD=DC; (2)如 图2所 示,在 上 述 条 件 下,若∠A = ∠ABC=60°,过点D 作DE⊥AB,过点C 作CF⊥ BD,垂足分别为点E,F,连结EF,判断△DEF 的 形状并证明你的结论. 图1 图2 9.OM,ON 是两条相互垂直的直线,四边形 OABC 的顶点A、C 分别在OM,ON 上,且∠ACB =90°,AC=BC. (1)如图1,当OA=2,OC=1时,点B 到OM, ON 的距离分别为 ; (2)如图2,当点C 在射线OM 上运动,点A 在 射线ON 上运动,射线 AB 在∠DAC 内部时,作 BD⊥y 轴于点D,试判断 OC+BD OA 与OC-BD OA 哪一 个是定值,并说明定值是多少? 请证明你的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋