3.1.3 第1课时 画数奇偶性的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 4.若函数y=f(x)的定义域为R,则y= 效果评价 f(x)为偶函数的一个充要条件是()】 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的 A.对任意x∈R,都有f(x)=0成立 是（) B.函数y=f(x)的图象关于原点成中心 对称 C.存在某个x∈R,使得f(-xo)-f(xo)=0 D.对任意给定的x∈R,都有f-x)-f(x) =0 5.函数f(x)是定义域为R的奇函数，当 x>0时，f(x)=-x2+2x,则当x<0时，f(x)的 表达式为() A.f(x)=-x2+2x B.f(x)=x2+2x C.f(x)=x2-2x D.f(x)=-x2-2x 6.设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)》 为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则() 2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R, A1-3-0 B.f-1)=0 且不是常函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函 C.f2)=0 D.f4)=0 数，则下列结论中正确的是() 7.（多选题)下列函数中，在其定义域 A.fx)g(x)是偶函数 内既是奇函数又是减函数的有() B.f(x)g(x)是奇函数 A.y=xlxl B.y=-2x C.f(x)g(x)是奇函数 C.=1 D.y=-x3 D.f(x)g(x)1是奇函数 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数， 3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的 当x>0时，f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为 偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=(） 9.定义在[-a,a](a>0)上的函数 A.-3 B.-1 f(x)是奇函数，且f(x)的最大值为M,最小 C.1 D.3 值为m,则M+m的值等于 38)练 第三章函 数⊙ 10.设f(x)为定义在R上的偶函数，当 提升练习 0≤x≤2时，y=x;当x>2时，y=f(x)的图象 是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物 11.以下奇偶性判断正确的是() 线的一部分： A.函数f(x)=x2(-1<x≤1)是偶函数 (1)求函数f(x)在(-0，-2)上的解 B.函数fx)=Y4是奇函数 析式. 13-xl-3 (2)在图中的直角坐标系中画出函数 C函数x)-(-1V是偶函数 f(x)的图象 -x2+2x,x≤0， (3)写出函数f(x)的值域和单调区间， D.函数f(x)= 是奇函数 -x2-2x,x>0 12.(多选题)若y=f(x)(x∈R)是奇函 3 数，则下列点一定在函数yf(x)图象上的有 ( 01234 A.(0,0) 十一 t-2 B.(-a,-f(a)) 1+ 3 C.(-a,-f-a)) D.(a,f-a)) 第10题图 13.函数f(x)在(-∞，+0)上单调递 减，且为奇函数，若f1)=-1,则满足-1≤ f(x-2)≤1的x的取值范围是() A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 练(39高中数学必修第一册人教B版 数的图象如下」 1y=-x+6】 1y=-x2+4x+6 、 x 第9题答图 由图可知f(x)的图象是图中的实线部分，观察图 像可知此函数的最大值为6. 10.解：(1)设fx)=kx+b(k≠0). 则3f(x+1)-2f(x-1)=3k(x+1)+3b-[2k(x-1)+2b] =kx+5k+b. 3fx+1)-2f(x-1)=x+3,,kx+5k+b=x+3, k=1且5k+b=3,∴b=-2,fx)=x-2. (2):x∈[1,2]时，gx)=x2-2x-2a+2=x2-2(1+a)x+2, 对称轴=a+1. ①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x)mm=g(1)=1-2a, 则1-2-子，得各，此时不成立： ②当1<a+1<2,即0<a<1时， g(x)mn=g(a+l)=-d-2a+l, 期-2+1子，得a分或a=一号（舍去）： ③当a+1≥2，即a≥1时，g(x)m=g(2)=2-4a, 则24子，得名此时不成立。 综上可得，分 提升练习 11.A【解析】对Hx,∈R,且<2，则xx>0, x>0时，fx)<0,fx红x)<0. 又f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0, ∴fx2)f(x.f(x)是R上的单调递减函数 ∴f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3)f(1)+f(2)= 31)-3x号-2放选A 12.BCD【解析】当>1时，fx)=+4+a≥4+a, 当且仅当=2时，等号成立； 当x≤1时，f代x)=x2-2ax+9为二次函数，要想在x=l 处取得最小值， 则对称轴要满足x=a≥1，且f1)≤4+a, 即1-2a+9≤a+4,解得a≥2.故选BCD. 68 N 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 效果评价 1.B【解析】选项A中的图象关于x=-1对称，故 排除；选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于 原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关 于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B. 2.C【解析】f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， (x)川为偶函数，g(x)川为偶函数.再根据两个奇函数的 积是偶函数，两个偶函数的积还是偶函数，一个奇函数 与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)川为奇函数 故选C. 3.C【解析】f(x)-g(x)=x+x2+1,∴f八-1)-g(-1)= -1+1+1=1,又由题意，可知f-1)=f(1),g(-1)=-g(1), ∴.f(1)+g(1)=1.故选C. 4.D【解析】对任意x∈R,都有f(x)=0成立，可 得f代x)为偶函数且f(x)为奇函数，而当f代x)为偶函数时， 不一定有对任意x∈R,f(x)=0,A错误；当函数y= fx)的图象关于原点成中心对称，可知f(-x)=-f(x),函 数f(x)为奇函数，B错误；由偶函数的定义可知，对 于任意x∈R,都有f-x)=fx),即f-x)f(x)=0,.当 f(x)为偶函数时，任意x∈R,f(-x)-fx)=0,反之，当 任意x∈R,f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数，∴.C错误， D正确.故选D. 5.B【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=-(-x-2x, .∴.f(x)=-f-x)=x2+2x.故选B. 6.B【解析】函数f(x)的定义域为R,且f(2+1) 为奇函数，.f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)= -f2x+1). 令1-2x=t,则2x=1-t,∴.ft)=-f2-t), ∴f(x)=f2-x),① 又f(x+2)为偶函数，∴f(-x+2)=f(x+2),② 由①②，得fx)=f代x+2), ∴.f(-1)=-f(-1+2)=-f1)=0,故选B. 7.BD【解析】函数y=xlx是奇函数，但在(-∞， +∞)上单调递增，故排除A;函数y=-2x是R上的奇 函数也是减函数，故B正确；函数y=1在定义城上是 奇函数，但在(-∞，0)和(0，+∞)上是减函数，在 定义域上不具有单调性，故排除C;函数y=-x是R上 的奇函数也是减函数，故D正确.故选BD. x+x+1,x>0, 8.f(x)=0,=0,【解析】设x<0,则->0， x+x-1,x<0. f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1. f(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x.-x3-x+1=-f(x), 即fx)=x3+x-1.∴ax<0时，fx)=x+x-1. 又f(x)是奇函数，f0)=0, {x3+x+1,x>0, .fx)=0,=0, x3+-1,x<0. 9.0【解析】由于f(x)是奇函数，图象关于原点对 称，.∴.最高点和最低点也关于原点对称，M+m=0 10.解：(1)当>2时，设fx)=a(x-3)244. fx)的图象过点A(2,2), ∴a(2-3)244=2,∴.a=-2,fx)=-2(x-3)244. 设x∈(-∞，-2)，则-x>2,.∴.f(-x)=-2(-x-3)2+4 又f(x)在R上为偶函数 ∴.f-x)=fx),∴fx)=-2(-x-3)2+4, 即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞，-2)： (2)函数图象如图所示 5-4-3-2-1012345x 第10题答图 (3)观察图象，知f(x)的值域为yy≤4.单调递 增区间为(-∞，-3]和[0,3]；单调递减区间为[-3， 0]和[3，+∞). 提升练习 11.B【解析】A和C的定义域不关于原点对称，不 正确；B的定义域为[-2,0)U(0,2],函数可化为 f=V4e,f-x)=V4文，fx)=f-x),fx)为 一X 奇函数，B正确；D为偶函数.故选B. 12.AB【解析】yf(x)(xeR)是奇函数，∴f-x) =x).又xeR,∴.令x=0,则f-0)=-f(0),得f0)= 0,点(0,0)，(-a,fa)一定在f(x)的图象上. 故选AB. 13.D【解析】fx)为奇函数，f-x)=f代x). 1)=-1,f-1)=f1)=1 又由-1≤f代x-2)≤1，得f(1)≤fx-2)≤f(-1) 又fx)在(-，+∞)上单调递减，-1≤-2≤1. .1≤x≤3.故选D. 第2课时函数奇偶性的应用 效果评价 1.D【解析】根据题意，有f(x)+g(x)在(0，+∞)上 参考答案。 有最大值6，又f(x)和g(x)都是奇函数，.fx)+g(x)是 奇函数且f(x)+g(x)在(-∞，0)上有最小值-6，则F(x) 在(-∞，0)上有最小值-6+2=-4.故选D. 2.C【解析】f(x)为奇函数，fx)f-)<0,即 x<0,x)在(0，+∞)上为减函数且f1)=0, .当x>1时，fx)<0. ·奇函数的图象关于原点对称， .在(-∞，0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,即x<-1 时，fx)>0. 综上，fx-0<0的解集为(-0，-1)U(1,+0. 故选C. 3.A【解析】设g(x)=f(x-1)+x2, .·函数yf(x-1)+x2是定义在R上的奇函数，f(-2)=1, :g(-1)=f(-2)+1=1+1=2, 即g(-1)=-g(1)=2,则g(1)=-2, :∴g(1)=f(0)+1=-2,则f0)=-3.故选A. 4.D【解析】对任意的≠x,有x)>0恒 1-2 成立，可得fx)是R上的增函数，又f代x)是R上的奇函数， ∴.f2x+1)kf2-x)=fx-2),2+1<x-2,解得x<-3, .不等式f(2x+1)+f(2-x)<0的解集为(-∞，-3).故 选D 5.D【解析】f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-x) f(x).fx)f),f-x)f(.又fx)在(-∞，0) 上是增函数，且-<0,2<0，-x<,即+x2>0.故 选D. 6.D【解析】f(x)为偶函数，在区间[-3，-1]上 是增函数且有最大值5，∴f(-1)=5.fx)在[1,3]上 的单调性与[-3，-1]上相反，f(x)在[1,3]上单 调递减，.f代1)为最大值，.f(1)=f代-1)=5.故选D. 7.C【解析】f(x)是定义域为(-0，+∞)的奇函 数，.f0)=0,且f-x)=f(x),① 又f八1-x)=f代1+x),令1-x=t,∴x=1-t, ∴.f(t)=f2-t),即fx)=f2-x),② 由①②，得f(-x)=-f2-x), 即fx)=f2+x),③ 同理f2+x)=-f4+x),④ 由③④，得f(x)=f4+x), ∴.f4)=f0)=0,f3)=-f1)=-2,f2)=f0)=0, ∴f1)+f(2)+f3)+f(4)=0.故选C. 8.ACD【解析】f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a- 2=0,得a=2,故A正确；f(2)=4+2=6,故B错误；当 x≥0时，f(x)=x2+x在[0，+）上为增函数，利用奇函 数的对称性可知，f(x)在(-∞，O]上为增函数，故fx) 是R上的增函数，故C正确；f(-3)=f(3)=-9-3=-12, 69