3.3 函数的应用(一)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

Q=之+子≤0实数a的取值范围为(-0,0 变式训练2D【解析】方程太=m2有三个不同的 根，即方程(x+2)有三个不同的根.记函数gx) Ixl(x+2)= +2,≥0由题意y与y=g)有三个 -x2-2x,x<0, 不同的交点，由图象可知0<<1，>1.放选D 例3解：设fx)=x2-2x-1.·f(2)=-1<0,f3)=2>0,又 f(x)在(2,3)内递增， .∴.在区间(2,3)内，方程x2-2x-1=0有唯一实数根， 记为xo 取区间(2,3)的中点x=2.5, f2.5)=0.25>0,0e(2,2.5). 再取区间(2,2.5)的中点x=2.25, f2.25)=-0.4375<0,∈(2.25,2.5). 同理，可得x0∈(2.375,2.5). .2.375-2.5=0.125<0.2, 故方程x2-2-1=0的一个精确度为0.1的近似正数 解可取为2.375+2.5=2.4375. 2 变式训练3C【解析】根据二分法，结合表中数据， 由于f(1.438)=0.165>0,f(1.4065)=-0.052<0, .方程x2+x2-2x-2=0的一个近似根所在区间为 (1.4065,1.438),.符合条件的解为1.4.故选C. 例4(1)证明：函数f(x)=2x-1是R上的增函数， 且在区间[0.5,1]上连续 又f1-2-1=0,05)=1k0. .函数fx)在(0.5,1)内有一个零点. (2)解：由(1)知f0.5)<0,又f1)>0, .方程23-1=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区 间，如下表： (a,b) (a,b) f(a) f(b) +b 的中点 八2 (0.5,1) 0.75 f0.5)<0 f(1)>0 f0.75)<0 (0.75.1) 0.875 f(0.75)<0 f(1)>0 f(0.875)>0 .0.75-0.875l=0.125<0.2,..方程2x3-1=0的一个近 似解可取为075+0875=0.8125. 2 参考答案⊙ 数学文化 例解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正 常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段 正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，； 如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一 半，经过7次查找，可将故障范围缩小到50~100m之 间，即可迅速找到故障所在 A C D E B 例题答图 ●m3.3函数的应用（一） 要点精析 例1解：火车匀速行驶的总时间为(277-13)÷120= 号.0≤号 .火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm,.∴.火 车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系 式为s=13+120r0≤t≤ 5 火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2-上 6 (h),此时火车行驶的路程s=13+120x-23(km). 6 6 变式训练1B【解析】由题意，手机所存话费余额 y(元)与主叫时间t(min)之间的函数关系满足一次 函数，不妨设为y=at+b,可知当t=0时，y=100+3.5-20= 83.5,故b=83.5,且主叫每分钟02元，故a=-0.2,故 函数关系为y=83.5-0.2t.故选B. 例2解：设小矩形的长为x,宽为y,窗户的面积为S, 则由题图可得9x+Tx+6y=l, .6=l-(9+T)x, S号r4受r+号-9mx]=-36r是 6 (0) 21122P 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最 大 由6y>0,得0Kg+m 0<21< 36+T9+T 636+,即± ·当=2，y=mx=(18-π) 6 y 2P 2时，窗户的面积S有最大值，且Sm-336+T) 变式训练20.6【解析】y与(x-0.4)成反比，.可设 51 N 高中数学必修第一册人教B版 y=64信0，把-065，y08代人上式.得08= 06点4解得02，y品-之根据愿京，得 +52-03)-lx0.8-03x1+20%),整理，得 1.1x+0.3=0,解得x=0.5(舍去)或x2=0.6,.当电价调 至0.6元/(kWh)时，电力部门本年度的收益将比上一 年增加20%. 例3解：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)=60: 当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b, 1 由已知，得 200a+b=0, -3 解得 20a+b=60. /6200 3 故函数(x)的表达式为 60,0≤x≤20， w号2w-0.2≤20 (2)依题意，并结合(1)可得 60x,0≤x≤20， 九专20-.20c≤20 当0≤x≤20时，f代x)为增函数，故当x=20时，f(x) 在区间[0,20]上取得最大值60x20=1200; 当20<x≤200时，fx)=3x(200-x)=-}(x-10024 10000≤10000，当且仅当x=100时，等号成立， 3 3 .当=100时，f代x)在区间(20,200]上取得最大值 10000 3 综上可得，当x=100时，f(x)在区间[0,200]上 取得最大值1000≈3333. 3 即当车流密度为100辆m时，车流量可以达到最 大，最大值约为3333辆h. 变式训练3解：(1)：当0≤t≤8时，图象过点 (8,206),.206=8a+118,.a=11. .函数连续，2×82-64×8+b=206,b=590..a=11, b=590. (2)该同学应该戴防雾霾口罩」 .:当t=7时，y=11×7+118=195>150, ..该同学应该戴防雾霾口罩 例4解：(1)汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 子，全程运输成本为=0：音+b加·音s号b0,故所 52 求函数及其定义域为)=g+b,ue(0,c]. (2)依题意，知s,a,b,v都为正数，故有s只+b加） ≥2sVab. 当且仅当号加，即√号时，上式巾等号成立. 若√号≤c,则当=√号时，全程运输成本y最 小 若V号>c,当ue0,c]时， 有sgbe-g+bc=s[(g名+bu-bc)]=c (c-v)(a-bcw）. .c-v≥0，且a>bw2,故有a-bcw≥a-bc2>0, :g+b加≥g+bc且仅当=e时，等号成立. 也即当v=c时，全程运输成本y最小. 综上知，为使全程运输成本y最小，当Y而≤c 时，行驶速度应为=V励；当V>c时，行驶速度 b h 应为v=c. 变式训练4解：(1)利用利润等于收人减去成本， 可得 当0<x≤40时，W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384r-40; 当240时，W=Rx)-(16r+40)=-40000-16r+7360. -6x2+384x-40,0<x≤40， -W=_40000-16c+7360,x240. (2)当0<x≤40时， W=-6x2+384x-40=-6(x-32)2+6104, .x=32时，Wm=W(32)=6104; 当>40时 W=4000016+7360≤-21/40000.16+7360， 当且仅当40000=16x, 即x=50时，Wm=W(50)=5760. .6104>5760. .=32时，W的最大值为6104万元， 即当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产 中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.第三章函 数⊙ 3.3 函数的应用（一） 学习目标 B变式训练① 1.理解用函数构建数学模型解决实际问 9月1日小张的手机所存话费余额为3.5 题的基本过程， 元，他充值100元，其中用20元购买了一 2.能够在实际情境中，利用一次函数、： 个月的套餐服务，套餐内容为接听免费，主 二次函数、分段函数、双曲线函数等数学模：叫每分钟02元.这个月内，他手机所存话 型解决实际问题. 费余额y(元)与主叫时间t(min)之间的 函数关系是() 要点精析 A.y=103.5-0.2t B.y=83.5-0.2t 川要点1一次函数模型 C.y=103.5+0.2t D.y=83.5+0.2t 例1某列火车从北京西站开往石家庄， 川要点2二次函数模型 全程277km.火车出发10min开出13km, 例2有lm长的钢材，要 之后以120kmh的速度匀速行驶.试写出火： 做成如图3-3-1所示的窗框：上 车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间： 半部分为半圆形，下半部分为四 的函数关系式，并求火车离开北京2h时行 个全等的小矩形组成的矩形，则图3-3-1 驶的路程， 小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过 分析分析模型，构造一次函数y=kx+ 的光线最多？求出窗户面积的最大值 b(k≠0)，利用自变量取值范围以及一次 分析分析模型，构造二次函数y三 函数单调性求最值，或者通过一次方程或 ax2+bx+c(a≠0)，利用自变量取值范围以 不等式求范围」 及二次函数单调性求最值，或者通过二次 方程或不等式求范围」 学(81 N 高中数学必修第一册人教B版 分析构造分段函数，分段研究单调 B变式训练2 性并求出最值. 某地上年度电价为0.8元/(kW·h),年 用电量为1亿kW.h.本年度计划将电价 调至0.55~0.75元/(kW·h)之间[包含 0.55元/(kW.h)和0.75元/(kWh)].经测 算，若电价调至x元/(kWh),则本年度新 增用电量y(亿kWh)与(x-0.4)元/(kWh) 成反比，且当x=0.65时，y=0.8.若每度电 的成本为0.3元，则电价调至 元/(kW·h)时，电力部门本年度的收益将比 上一年增加20%.[收益=用电量×（实际电 价-成本价)] 川要点3分段函数模型 例3提高过江大桥的车辆通行能力可 改善整个城市的交通状况.在一般情况下， 大桥上的车流速度v(单位：kmh)是车流 密度x(单位：辆/km)的函数.当桥上的车 流密度达到200辆m时，造成堵塞，此时 车流速度为0；当车流密度不超过20辆km 时，车流速度为60kmh.研究表明：当 20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的 一次函数. (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表 达式。 (2)当车流密度x为多大时，车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位：辆/h)f(x)=xm(x)可以达到最大？ 请求出最大值.（精确到1辆h) (82)学 第三章函 数⊙ 变式训练3 川要点4双曲线函数 小明根据某市预报的某天(0~24时) 例4甲、乙两地相距skm,汽车从甲 空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连： 地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h. at+118,0≤t≤8， 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）》 续函数y= 来近似刻画空 2t2-64t+b,8<t≤24 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速 气质量指数y随时间t变化的规律，如图： 度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b: 3-3-2所示. 固定部分为a元. yA (1)把全程运输成本y(元)表示为速 206F 度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定 ● 义域。 (2)为了使全程运输成本最小，汽车应 024681012141618202224 以多大速度行驶？ 图3-3-2 分析 构造形如y=ar+b(b≠0)的 (1)求a,b的值. 函数，利用其单调性（或者条件可以的情 (2)当空气质量指数大于150时，有关 况利用均值不等式)求最值 部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口 罩.请你结合小明选择的函数模型，回答以 下问题： 某同学该天7：00出发上学，是否应该 戴防雾霾口罩？并请说明理由 学(83 N 高中数学必修第一册人教B版 B变式训练④ 已知某公司生产某款产品的年固定成本为 40万元，每生产1件产品还需另外投入16 元，设该公司一年内共生产x万件产品并全部 销售完，每万件产品的销售收人为R(x)万元， 400-6x,0Kx≤40， 且已知R(x)= 740040000 x2 ⊙40. (1)求利润W(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式. (2)当年产量为多少万件时，公司在该 款产品的生产中所获得的利润最大？请求出 最大利润 （84)学 N