3.3函数的应用（一）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一次函数、二次函数、分段函数的实际应用，通过生活中的阶梯计费、利润计算等实例导入，衔接前期函数图像与性质知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模为核心，结合上海阶梯水价、出租车计费等实例，落实数学建模、数学运算素养。采用建模五步法梳理流程，分题型典例分析，小结提炼核心思想，帮助学生建立解决实际问题的思维体系，教师使用可系统推进教学，提升学生应用能力。

第三章 函数 3.3函数的应用（一） 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握利用一次函数、二次函数、分段函数解决生活中简单实际问题的方法，熟练掌握函数建模的基本流程。 能够准确分析实际问题中的变量关系，自主设定自变量、确定合理定义域，正确列出函数解析式，并利用函数性质求解问题。学会解决阶梯计费、最值求解、成本与收益计算等常见实际题型，能对求解结果进行实际意义检验与合理解释。 聚焦数学建模核心素养，落实数学运算、逻辑推理、数据分析素养，帮助学生初步建立用函数模型解决实际问题的思维体系。 同学们，前面我们已经系统学习了一次函数、二次函数、分段函数的图像与性质，掌握了函数的基本概念和变化规律。但我们学习数学的最终目的，是用数学知识解决真实生活中的问题。 用函数工具解决实际问题 在日常生活中，大家会遇到很多和函数相关的实际场景：生活中的水电燃气阶梯收费、超市商品定价与销售利润、租车计费方案选择、几何图形的面积周长最值问题、日常出行的费用核算等等。这些问题中都存在两个相互变化的量，一个量随着另一个量的变化而变化，完全符合函数的本质特征。 比如：阶梯电价中，用电量是自变量，电费是因变量，不同用电量区间对应不同的计费标准，这就是典型的分段函数模型；商品销售中，销量随定价变化，总利润随销量变化，我们可以借助二次函数求解最大利润。 这些贴近我们生活的问题，无法用简单的算术方法精准解决，而函数就是解决这类问题最有效的数学工具。今天，我们就正式学习3.3 函数的应用（一），一起探究如何将生活实际问题转化为函数模型，用我们学过的函数知识精准解决实际问题。 目标一：函数模型 建立函数模型解决实际问题的步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 函数模型的应用,一方面是利用已知函数模型解决问题;另 一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现 象,或对某些发展趋势进行预测. 设变量 研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量 建立函 数模型 将变量y表示成x的函数,在中学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,要注意函数的定义域 求解函 数模型 根据已知条件求解函数模型题的解 还原问 题的解 将数学模型的解还原为实际问题的解 5 已知函数模型解决实际问题的常见方法 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)依据题意转化为由解析式求函数值或自变量的值; (2)函数解析式中含有参数,需根据题中提供的数据,利用待定系数法求出参数,确定函数解析式,再解决其他问题. 6 1、𝐴,𝐵 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 𝐴 地到达 𝐵 地,在 𝐵 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 𝐴 地. (1)试求出汽车与 𝐴 地的距离𝑦(单位:千米)关于时间𝑥(单位:时)的函数表达式; (2)求汽车行驶 5 小时时与 𝐴 地的距离; (3)根据(1)中的函数表达式,求出汽车距离 𝐴 地 100 千米时 𝑥 的值. 对点体验 解析 ▶ (1)由题意得 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 地到达 地,可得从 到 需要 2.5 小时,以 50 千米/时的速度返回 地,从 到 需要 3 小时, 当 时,; 当 时,; 当 时,.故 当 时,, 即汽车行驶5小时时距离A地75千米. 当 时, 或 ,解得 或 . 即当 或 时,汽车距离A地100千米. 常见的函数模型 知识讲解 互动探究 新课引入 函数模型 特征 一次函数模型 形如 的函数模型是一次函数模型 二次函数模型 形如 的函数模型是二次函数模型 分段函数模型 一次函数、反比例函数(形如 )、二次函数等的综合 对勾函数模型 一次函数与反比例函数(形如 )模型的综合 8 建立函数模型时，求解函数解析式的方法 知识讲解 互动探究 新课引入 待定系数法 已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型,可用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值 归纳法 先让自变量 取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式 方程法 用 表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式 9 2、大气中的温度随着高度的上升而降低,温度的降低大体上与升高的距离成正比,上升至一定高度后,温度不再变化 根据实测的结果:当高度上升到12 km后温度不再改变,保持在− (1)当地球表面大气中的温度是时,设上空的温度为,求0≤𝑥≤12时,𝑦关于𝑥的函数关系式; (2)当地球表面大气中的温度是时,3上空的温度是多少? 对点体验 解析 ▶ (1)由题意知,即. 当时,,则,解得, 故所求的函数关系式为. (2)当时,,即当地球表面大气中的温度是时,上空的温度是. 目标二：典型例题 题型 1 一次函数模型 例1 为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中某市用户所使用的“如意卡”与“便民卡”的通话费用(单位:元)与每月(30 天)的通话时间𝑥(单位:分)的关系分别如图所示. (1)分别求出通话费用与通话时间𝑥之间的函数解析式; (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1)由图象可设 , 把分别代入 , 得 . . (2)令 , 即 , 则 . 当 时, , 两种卡收费一致; 当 时, , 使用“便民卡”便宜； 当 时, , 使用“如意卡”便宜. 题型 1 一次函数模型 例2 城镇化是国家现代化的重要指标, 据有关资料显示, 1978—2013年, 我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿, 假设每一年城镇常住人口的增加量 都相等, 记1978年后第t (限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿, 写出f(t)的解 析式, 并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 典例分析 牛刀小试 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等, 所以f(t)是一次函数, 设f(t)=kt +b, 其中k, b是常数 注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年, 因此 解得k=0.16, b=1.7. 因此 f(t)=0.16t+1.7, t∈N且t<40 又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年,而且 f(39)=0.16×39+1.7=7.94, 所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿. 解题通法 利用一次函数模型解决实际问题时,需注意以下 两点. (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法. (2)当一次项系数为正时,一次函数单调递增;当 一次项系数为负时,一次函数单调递减. 题型2 二次函数模型 例3 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产1百台时,另需增加投入0.25万元.市场对此商品的年需求量为5百台,销售的收入(单位:万元)函数为𝑅(𝑥)=5𝑥− (0≤𝑥≤5),其中𝑥是年产量(单位:百台). (1)将利润表示为关于年产量的函数; (2)年产量是多少时,企业所得利润最大? 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1)依题意得,设利润为 , 则 (). (2)由(1)可知, 5),结合二次函数的性质可知,当时,有 最大值. 故当年产量为4.75百台时,企业所得利润 最大. 题型2 二次函数模型 例4 某渔场中鱼群的最大养殖量为𝑚(𝑚>0),为保证鱼群的生长空间,实际养殖量𝑥应小于𝑚,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量𝑦和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为𝑘(𝑘>0). (1)写出𝑦关于𝑥的函数关系式,并指出该函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大值时,求𝑘的取值范围. 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ (1)根据题意知,空闲率是,故关于的 函数关系式是. (2)由(1)知,,则当 时,取得最大值, 所以鱼群年增长量的最大值为. 题型2 二次函数模型 例4 某渔场中鱼群的最大养殖量为𝑚(𝑚>0),为保证鱼群的生长空间,实际养殖量𝑥应小于𝑚,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量𝑦和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为𝑘(𝑘>0). (1)写出𝑦关于𝑥的函数关系式,并指出该函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群年增长量达到最大值时,求𝑘的取值范围. 典例分析 牛刀小试 (3)由题意得,,即,解得.又,所以. 故的取值范围为. 解题通法 二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题,解题时,建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题. 题型 3 对勾函数模型 例5 某工厂有 一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面 建造一个平面图形为矩形,占地面积为的厂房,工程条件是:①建 1 m 新墙的费用为 𝑎 元;②修 1 m 旧墙的费用为元;③拆去1 m 旧墙,用所得的材料建 1 m 新墙的费用为元. 经讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段 (𝑥<14) 为矩形厂房 的一面; (2)矩形厂房利用旧墙的一面的边长𝑥≥14. 问如何利用旧墙,即𝑥为多少时,建墙总费用 最省? (1)(2)两种方案哪个更好? 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 易知矩形厂房中与旧墙相邻的一面的边长为 设建墙总费用为元. 方案(1)利用旧墙的一段为矩形厂房的 一面,则修旧墙的费用为元,将剩余的旧墙拆得 的材料建新墙的费用为元,其余建新墙 的费用为元. 故总费用为 题型 3 对勾函数模型 例5 某工厂有 一段旧墙长 14 m,现准备利用这段旧墙为一面 建造一个平面图形为矩形,占地面积为的厂房,工程条件是:①建 1 m 新墙的费用为 𝑎 元;②修 1 m 旧墙的费用为元;③拆去1 m 旧墙,用所得的材料建 1 m 新墙的费用为元. 经讨论有两种方案: (1)利用旧墙的一段 (𝑥<14) 为矩形厂房 的一面; (2)矩形厂房利用旧墙的一面的边长𝑥≥14. 问如何利用旧墙,即𝑥为多少时,建墙总费用 最省? (1)(2)两种方案哪个更好? 典例分析 牛刀小试 根据对勾函数的单调性可知, 函数在 上为增函数. 故当时,取得最小值, 综上可知,采用方案(1),利用12 m的旧墙为矩形厂房的一面时,建墙总费用最省,为元. 题型 3 对勾函数模型 例6 已知某产品的总成本C与年产量之间的关系为C=aQ²+3000,且当年 产量是100时,总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q). (1)求f(Q)的解析式; (2)求年产量为多少时,平均成本最小,并求最小值. 典例分析 牛刀小试 将Q=100, C=6000代入C=aQ²+3000中,可得 100²a+3000=6000, 从而a=,于是C=+3000. 因此 f(Q)==+,Q>0 因为 且,即时,上述等号成立. 因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60. 题型 4 分段 例7 空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数. 当 AQI 大于 200 时, 表示空气重度污染, 不宜开展户外活动. 某地某天 0~24 时 的空气质量指数 𝑦 随时间 𝑡 变化的趋势由函数 𝑦= 描述, 则该天适 宜开展户外活动的时长至多为 ( ) A. 5 小时 B. 6 小时 C. 7 小时 D. 8 小时 典例分析 牛刀小试 解析▶由题意知,当0≤ t ≤12时,令-10t + 290≤ 200,解得9≤t≤12;当12<t≤24时,令56√t-24≤ 200,解得12<t≤16. 故该天适宜开展户外活动的时长至多为3+4=7(时). (第一段适宜时长为3小时,第二段适宜时长为4小 时) 答案▶C 题型 4 分段 例8 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 交通状况,一般情况下,大桥上的车流速度v(单 位:千米/时)是关于车流密度x(单位: 辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 280辆/千米时,会造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过40辆/千米时,车流速度 为60千米/时,研究表明:当40≤x≤280时,车 流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤280时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间 内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时) f(x)=x・v(x)可以达到最大?并求出最大值. 典例分析 牛刀小试 思路点拨(1)利用待定系数法求得分段函数v(x) 的表达式;(2)依题意,易知车流量f(x)=x.v(x)也 是分段函数,分别求出每段函数的最大值,比较后得 出f(x)的最大值. 解析(1)由题意知,当0≤x≤40时,v(x) = 60; 当40≤x≤280时,设v(x) = ax + b, 280a+b=0, a = -, 由已知得40a+b=60, 解得b=70. 故函数v(x)的表达式为 v(x) = 题型 4 分段 例8 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 交通状况,一般情况下,大桥上的车流速度v(单 位:千米/时)是关于车流密度x(单位: 辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 280辆/千米时,会造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过40辆/千米时,车流速度 为60千米/时,研究表明:当40≤x≤280时,车 流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤280时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间 内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时) f(x)=x・v(x)可以达到最大?并求出最大值. 典例分析 牛刀小试 (2)依题意并结合(1)可得 当 时, 单调递增, 故当 时, 在 区间 上取得最大值, 最大值为 . 当 时, , 当且仅当 时, 等号成立. 所以当 时, 在区间 上取得最大 值 .综上可得,当x=140时,f(x)在区间[0,280]上取得 最大值4900. 即当车流密度为140辆/千米时,车流量可以达到最 大,最大值为4900辆/时. 题型 4 分段 例9 为了鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度, 其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示, 典例分析 牛刀小试 不难看出,f(x)是一个分段函数,而且: 当0<x≤220时,有f(x)=3.45x; 当220<x≤300时,有 f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6; 当x>300时,有 f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6. 因此 分档 户年用水量/m³ 综合用水单价/(元·m-3) 第一阶梯 0-220(含) 3.45 第二阶梯 220-300(含) 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m³时应缴纳的水费为f(x)元. (1)写出f(x)的解析式; 题型 4 分段 例9 为了鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度, 其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示, 典例分析 牛刀小试 因为220<260≤300,所以 f(260)=4.83×260-303.6=952.2. 因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元. 分档 户年用水量/m³ 综合用水单价/(元·m-3) 第一阶梯 0-220(含) 3.45 第二阶梯 220-300(含) 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m³时应缴纳的水费为f(x)元. (2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m³,则张明一家2015年应 缴纳水费多少元? 解题通法 (1)分段函数的解析式由几个不同的函数解析式 组成,根据自变量取值范围的不同,由题设条件确 定出不同的函数解析式. (2)应用分段函数模型的关键是确定分段的边界 点,即明确自变量的取值区间,根据取值区间进行 分类讨论,从而写出函数解析式,需注意求分段函 数的最值时,先求函数在每一段范围内的最值, 然后比较这几个最值的大小,最后求出分段函 数的最值. 目标三：针对训练 举一反三 1.某灯具商店销售一种节能灯,每件进价8元,每月销售量y(单位:件)与销售 价格x(单位:元)之间满足如下关系式:y=-8x+400 (20<x≤40且x∈N),则 灯具商店每月的最大利润为() A.2560元 B.3496元 C.3520元 D.3528元 解析:设灯具商店每月的利润为f(x),则 f(x)=(x-8)(-8x+400) = -8x²+464x-3200 =-8(x²-58x)-3200=-8(x-29)²+3528,故当x=29时, f(x)的最大值为3528 所以灯具商店每月的最大利润为3528元.故选:D. 举一反三 2、为了节约能源,某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”,计费方式如下表: 解析:设天然气使用量为xm³,天然气费为f(x)元, 由于ƒ(400)=1000<1360<f(600)=1720,则400<x<600, 所以3.6(x-400)+1000=1360,解得x=500,所以天然气使用量为500m³, 故选:D. 若某户居民一年的天然气费为 1360 元，则此户居民这一年使用的天然气为() A.610B.600 C.544 D.500 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过400m³的部分 2.50元/m³ 超过400m³但不超过600m³的部分 3.60元/m³ 超过600m³的部分 4.50元/m³ 举一反三 3.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外 每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每 年的维护费都比上一年增加2万元,为使该设备年平均费用最低,该企业需要更 新设备的年数为() A.8 B.10 C.12 D.13 解析:设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N゜),设备年平均费用为y万元, 则x年的设备维护费用为2+4+6++2x = x(2+2x) 2 = x(x+1), 所以y = (万元), 当且仅当x=10时,等号成立,因此,为使该设备年平均费用最低, 该企业需要更新设备的年数为10.故选 B. 举一反三 4.一件工艺品的进价为100元,标价为135元,每天可售出100件.根据销售统计, 可知若一件工艺品每降价1元,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大, 则每件需降价() A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元 解析:设每天的销售量为m件,每件工艺品的售价为x元,则m关于x的函数 为一次函数,设m=ax+b.由题意可得 解得 则 m=-4x+640.设每天获得的利润为y元,则 y = (-4x+640)(x-100) = −4x² +1040x-64000,可知当x=- 1040 -8 =130时,每天 获得的利润最大,此时每件需降价135-130=5(元). 举一反三 5.某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气,出台两套出租车计价方案, 方案一:2公里以内收费8元(起步价),超过2公里的部分每公里收费3元, 不足1公里按1公里计算:方案二:3公里以内收费12元(起步价),超过3 公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元,超过10公里的部分每公里收费3.5 元,不足1公里按1公里计算,以下说法正确的是(C) A.方案二比方案一更优惠 B.乘客甲打车行驶4公里,他应该选择方案二 C.乘客乙打车行驶12公里,他应该选择方案二 D.乘客丙打车行驶16公里,他应该选择方案二 解析:A.应付车费与公里数有关,故错误; B.乘客甲打车行驶4公里,方案一:应付车费为8+(4-2)×3=14;方案二应付 车费为12+(4-3)×2.5=14.5,他应该选择方案一,故错误; C.乘客乙打车行驶12公里,方案一:应付车费为8+(12-2)×3=38;方案二应 付车费为12+(10-3)×2.5+(12-10)×3.5=36.5,他应该选择方案二,故正确; D.乘客丙打车行驶16公里,方案一:应付车费为8+(16-2)x3=50; 方案二应付车费为12+(10-3)×2.5+(16-10)×3.5=50.5,他应该选择方案一,故 错误;故选:C. 举一反三 6.已知某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系 是y=3000+20x-0.1 (0<x<240, x∈N),若每台产品的售价为25万元, 则能使生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是 150 台. 解析:由题意知,销售收入为25x万元,总成本为(3000+20x-0.1x²)万元, .. 25x≥3000+20x-0.1x²,解得x≥150或x≤-200,又x∈(0,240), χ∈Ν, ..x≥150, x∈N,最低产量是150台. 目标四 ：小结 学海拾贝 本节课我们重点学习了函数在实际问题中的简单应用，核心内容可总结为以下三点： 1. 核心思想：函数建模思想 所有生活中的变量问题，都可以通过数学建模转化为函数问题。本节课主要运用一次函数、二次函数、分段函数三种基础函数模型，解决计费、最值、成本、收益等常见实际问题。 学海拾贝 2. 解题通用步骤（建模五步法） 第一步：审题，分析实际情境，找出问题中的自变量、因变量及隐藏限制条件； 第二步：设元，合理设定变量，结合实际情况确定自变量定义域；第三步：建模，根据变量关系列出对应的函数解析式； 第四步：求解，利用函数图像、性质、公式进行数学运算，求出最值、对应数值等结果； 第五步：作答，检验结果是否符合实际意义，回归问题写出完整答案。 学海拾贝 3. 易错重点与注意事项 解决实际应用问题，定义域是核心易错点，自变量的取值必须符合生活实际，不能单纯照搬函数解析式的取值范围；同时，二次函数最值问题要优先判断对称轴是否在定义域区间内，避免解题失误。 总的来说，本节课的本质就是用数学语言翻译生活问题，用函数知识解决生活问题，希望大家熟练掌握建模流程，树立函数应用意识，为后续更复杂的函数应用问题学习打下坚实基础。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $