3.1.3 第2课时 函数奇偶性的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

U(0,2) 变式训练2C【解析】由f(x)是R上的偶函数，g(x) 是R上的奇函数，f-x)=fx),g(-x)=-g(x),∴f-x) ·g(-x)=-fx)g(x),.函数f(x)g(x)为奇函数，其图象 关于原点对称，A,B错误；由图象，可得当x>0时， f(x)>0,g(x)>0,∴.f(x)g(x)>0,D错误.故选C 例3()号0【解析】：偶函数的定义域关于原点 对称，1-24，解得了 又：函数x)写4bxb+1为二次函数，结合偶函 数图象的特点，易得b=0 (2)解：f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数， 0)-0,即0-0.d-0 1 2a2 4 变式训练3-1【解析】y=f(x)+x2是奇函数，f(-x) +(-x)2=-[f(x)+x2],f(x)+f(-x)+2x2=0,f(1)+f(-1)+ 2-0.f1)=1,:f-1)=-3.g(x)=fx)+2,g(-1)=f-1)+ 2=-3+2=-1. 例4解：当x<0时，->0， f-x)=(-x2-2(-x)-1=x2+2-1, 函数fx)是奇函数，f(x)=f(-x), x<0时，fx)=-x2-2x+1, x2-2-1,>0, 故fx)=0,x=0, -x2-2x+1,x<0. 变式训练4-2x2+4【解析】fx)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ ab)x+2d是偶函数，图象关于y轴对称，值域为(-∞， 4],2a+ab=0,b<0,2d=4,.fx)=-2x2+4 数学文化 例B【解析】首先该函数是偶函数，排除A,其次该 函数x≠±1，排除D,最后该函数过点(0,1)，排除 C.故选B. 第2课时函数奇偶性的应用 要点精析 例1解：)本 .任取x∈(-1,1)，则-x∈(-1,1)， -清本. 故)本为奇函数 参考答案。 任取，2∈(-1,1)且x<, fe杂 31 =(G+1)-x(+1) (x+1)(x+1) =（o-x)(1-x2) (x+1)(x+1) x2x>0,1-x>0,且分母x+1>0,+1>0, f2)>fx), 故)幸在(-山，1D止为增函数 (2).定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数， 由ft-1)+f代2t)<0,得ft-1)<-f(2t)=f(-2t). 0k1<2, -1<t-1<1, 1 .有{-1<-2t<1,即 27'解得0<兮 t-1<-2t, 放不等式f1-1)+2)<0的解架为40<兮} 变式训练1(0,2)【解析】2-1和x+1的取值不 确定，而已知条件中f(x)在[0，+∞)上单调递增，. 将2x-1和x+1取绝对值，这样就转化到同一个单调递 增区间[0，+∞)，即2x-1l<lx+ll→2x-1P<x+1P→x2-2x< 0→0kx<2. 例2D【解析】f代x)是定义在R上的奇函数， f(x)图象关于原点(0,0)对称， .f(x-1)图象关于点(1,0)对称. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减 :fx-1)在(-∞，1)上单调递减， 且fx-1)在(1，+∞)上也单调递减. 又f2)=0,yfx)图象过点(2,0). yf(x)是奇函数，f(-2)=-f2)=0, ∴yf(x)图象过点(-2,0)， y=fx-1)图象过点(-1,0)和(3,0). 画出yf(x-1)的示意图. 例2答图 当-1≤x≤0时，f(x-1)≤0，：fx-1)≥0； 当1≤x≤3时，fx-1)≥0，f(x-1)≥0. 综上，满足(x-1)≥0的x的取值为[-1,0]U 47 高中数学必修第一册人教B版 [1,3].故选D 变式训练2(-1,0)U(1,+∞)【解析】f(x)是偶函 数，且f-1)=0,.f1)=f(-1)=0.又f(x)在(0，+) 上是减函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数。 ①当>0时，由fx)-<0,得fx)<0,又由于 f(x)在(0，+∞）上为减函数，且f(1)=0,∴f(x)f(1), 得>1. ②当x0时，由)=0，得fx>0,又-1)= 0,fx)在(-∞，0)上是增函数，fx)>f-1),-1< x<0.综上所述，不等式解集为(-1,0)U(1,+∞). 例3解：(1)g(-x)=f-)f=gx), 2 h(-x)=fxf=-h(x),g(x)是偶函数，h(x) 2 是奇函数 (2)gx)+h(x)=fx)-)+fx)-f-)fx). 2 (3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这 个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 变式训练3号【解析】)+8)-3华+5，① f-)*g-)345 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， xgx-3440+5,@. 联立①②，解得fx)=3+5,gx)=- x2+9 …f-1)+g(3)=3(-1)45-4x3=22 32+93 例4B【解析】由题意，可得x)=-1+,对 1+x 于A,fx-1)-1=2-2不是奇函数；对于B,fx-1)+1= 是是奇两数：对于C,九+ll2,定义域不关于 原点对称，不是奇函数：对于D,九++12，定义 域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 变式训练42【解析】·子+x)乃-2，即自变量 (分++分1时，222，面g+冬 1,g尽2 数学文化 例C【解析】当x为有理数时，f(x)=1;当x为无理数 48 时，fx)=0..当x为有理数时，ff(x)=f1)=1;当x为 无理数时，ff(x)=f(0)=1,.无论x是有理数还是无理 数，均有ff(x)=1,故①不正确.有理数的相反数还 是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴.对任意x∈ R,都有f代-x)=-f(x),故②正确.当T∈Q时，若x是有 理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是 无理数，.根据函数的表达式，任取一个不为零的有理 数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立，故③正确.取= ,0,-9,f0.1.f0. 4Y3,0,B0,1,C-,0,△ABc拾好 为等边三角形，故④正确.故选C m3.2函数与方程、不等式之间的 关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 要点精析 例1解：(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, ∴函数f(x)存在零点，且零点为-2. (2)令-I)4+3》=0,解得=l, x-3 ..函数f代x)存在零点，且零点为1. 变式训练1解：（)当m=4时，+生4，得到士 4x+4=0,方程有两个根x=+2,故零点个数为2.(2)fx)= +受4有四个零点，即m-0有四个根，40，解得 m<4且m≠0.或者画函数g(x)=x+的图象进行分析】 例2解：(1)4=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为 =-3,7,作出函数y2+5x-3的图象，如图1所 示.由图可得原不等式的解集为-3<<分。 图1 图2 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，△=12>0，解方N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时函数 学习目标 1.能够利用奇偶性判断函数的单调性. 2.能够利用函数的奇偶性，研究对称区 间上函数的性质 3.能够将函数的奇偶性推广到一般函数 的对称性来研究问题， 要点精析 要点1函数的奇偶性与单调性的综合 问题 例1已知定义在(-1,1)上的函数 ) (1)试判断fx)的奇偶性及其在(-1,1) 上的单调性」 (2)解不等式：ft-1)+f(2t)<0. 分析奇函数f(x)如果在R上为增函 数，则a+b>0等价于f(a)+fb)>0. (70)学 奇偶性的应用 P变式训练① 已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递 增，则满足f(2x-1)<f(x+1)的x的取值范 围是 例2若定义在R上的奇函数f(x)在 (-0,0)上单调递减，且f(2)=0,则满 足xf(x-1)>0的x的取值范围是() A.[-1,1]U[3,+∞) B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+∞) D.[-1,0]U[1,3] 分析若偶函数f(x)在(0，+∞)上为 增函数，则其在(-∞，0)上为减函数； 若偶函数f(x)在(0，+0)上为减函数， 则其在(-0,0)上为增函数； 若奇函数f(x)在(0，+∞)上为减函数， 则其在(-，0)上为减函数； 若奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数， 则其在(-∞，0)上为增函数. B变式训练2 已知偶函数fx)在(0，+∞)上为减函 数，且f(-1)=0,则不等式fx)f=x)<0 的解集为 要点2任意一个定义域关于原点对称的· 函数怎么构造奇函数和偶函数 例3已知f(x)是定义在R上的函数， 设g(x)=fx)±f-=x）,h(x)=fx)f-x) 2 2 (1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性， (2)试判断g(x),h(x)与fx)的关系 (3)由此你能猜想出什么结论？ 分析任意一个定义域关于原，点对称 的函数都可以构造成一个奇函数和一个偶 函数之和 第三章函 数⊙ 变式训练3 已知偶函数f(x)和奇函数g(x)均定义 在R上，且满足)*g)=3-+5,则 f-1)+8(3)= 要点3一般的中心对称函数和轴对称 函数 例4 设函数)， 则下列函数中 为奇函数的是( A.fx-1)-1 B.f(x-1)+1 C.fx+1)-1 D.fx+1)+1 分析(1)函数f代x)关于x=a对称等 价于f(a+x)=f(a-x)[或f(2a+x)=f(-x)或 f(2a-x)=f(x),其实都是一个意思]，特殊 地，当a=0时，f(x)为偶函数 函数f(x)与函数f(x+a)有如下关系： f八a+x)是偶函数←一f代a+x)关于=0对称 >0,左移动a个单位长度 a<0,左移动ldl个单位长度 f八a+x)=f(a-x)一f八x)关于x=a对称 (2)函数f(x)关于(a,b)对称等价 于f(a+x)+f(a-x)=2b[或f2a+x)+f(-x)=2b 或f(2a-x)+f(x)=2b,其实都是一个意思]， 特殊地，当a=b=0时，f(x)为奇函数. 函数f(x)与函数fx+a)有如下关系： f八a+x)是奇函数一f(a叶x)关于(0,0)对称 、a>0,左移动a个单位长度 a<0,左移动1d个单位长度 f(a+x)=fa-x)→f(x)关于(a,0)对称 学 N 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 在给出的函数关系式中，当自变量的 和为定值时，可以考虑函数是否具有对 称性 B变式训练④ *已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有 f3++分-x-2成立，则f日+好 (72)学 数学文化 例德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet, 1805一1859)在数学领域成就显著.19世 纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”： L,x∈Q,其中R为实数集，Q yf)=0.x 为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命 题：①f(f(x)=0;②函数f(x)是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)f(x) 对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x, fx),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3)),，使得 △ABC为等边三角形.其中真命题的个数 是() A.1B.2C.3D.4