3.1.3 第1课时 画数奇偶性的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 .∴fx)=-(x+1)(x-1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5). 令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，.f(t)=-(t+3)(t-5)=16- (t-1)2≤16，故f(x)的最大值为16. 例4D【解析】由x<gx)=x2-2,得x2-x-2>0,则x<-1 或>2. 因此x≥g(x)=x2-2的解集为-1≤x≤2， 于是fx)= x2+x+2,x<-1或x>2, x2-x-2,-1≤x≤2 当x<-1或x>2时，fx)>2. 当1≤2时，-23-号 可得-？≤e)≤0. 因此)的值域是-是，0]U(2。+。 故选D. 变式训练4B【解析】由题可得y=min(2x-1,-x+5}= |2x-1,x≤2， .当=2时，ym=3.故选B -+5,2, 例5ACD【解析】A选项，对于f(x+1),令t=x+l,则 x=t-1∈[-2,2)，则t∈[-1，3)，.f(t),即f(x)的定 义域为[-1,3)，A选项正确；对于B,f(x)的定义域 为{≠O,g(x)的定义域为R,不是同一个函数，B选 大≤子，即雨 项不正确；对于C,+3≥3，.0<1 数y=3的值域为0，号]，C选项正确：对于D, 由2f(x)-f(-x)=x+1,可得2f(-x)-f(x)=-x+1,由 2f(x)-f-x)=x+1, 2f(-x)-fx)=-x+1 可得f八x)=专+l,D选项正确.故选 ACD 数学文化 例B【解析】由高斯函数的定义，可得 当0≤x<1时，[x]=0,则x-[x]=x; 当1≤x<2时，[x]=1,则x-[x]=x-1: 当2≤x<3时，[x]=2,则x-[x]=x-2; 当3≤<4时，[x]=3,则x-[x]=x-3. 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示 例题答图 46 观察可得函数有最小值0，没有最大值.故选B. 3.1.3函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 要点精析 例1解：(I)xeR,-xeR. 又f(-x)=-x+1l--x-11 =x-1-lx+1l=-(lx+1l-x-1l) =-f(x), fx)为奇函数. (2)函数fx)的定义域为{-1,1， 关于原点对称，且f(x)=0, .f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数。 (3)fx)的定义域为(-0,1)U(1,+∞)，不关于原点 对称， ·fx)为非奇非偶函数 (4)f孔x)的定义域是(-∞，0)U(0,+∞)，关于原点对 称 当x>0时，-x<0,f-x)=1-(-x)=1+xfx); 当x<0时，-x>0,f-x)=1+(-x)=1-x=fx). 综上可知，对于x∈(-∞，0)U(0,+∞)，都有f(-x)= f(x),f(x)为偶函数. 变式训练1ACD【解析】对于A,定义域为(-，0)U o).-H-0 =-f(x),∴f(x)是奇函数，故A正确；由1-x2≥0，lx+ 2-2≠0，得-1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称， gx)=Y=Y=V,满足g-x=-g. lx+2-2x+2-2 故g(x)是奇函数，故B错误；F(-x)=f(-x)f(x)=F(x), 故C正确；h(x)的定义域为{-2,2}，且h(x)=0, ∴h(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确.故选ACD. 例2解：(1)由题意，作出函数f(x)图象如图所示. 2个2x 111-11111 例2答图 (2)据图可知，单调递增区间为(-1,0)，(1，+). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0) U(0,2) 变式训练2C【解析】由f(x)是R上的偶函数，g(x) 是R上的奇函数，f-x)=fx),g(-x)=-g(x),∴f-x) ·g(-x)=-fx)g(x),.函数f(x)g(x)为奇函数，其图象 关于原点对称，A,B错误；由图象，可得当x>0时， f(x)>0,g(x)>0,∴.f(x)g(x)>0,D错误.故选C 例3()号0【解析】：偶函数的定义域关于原点 对称，1-24，解得了 又：函数x)写4bxb+1为二次函数，结合偶函 数图象的特点，易得b=0 (2)解：f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数， 0)-0,即0-0.d-0 1 2a2 4 变式训练3-1【解析】y=f(x)+x2是奇函数，f(-x) +(-x)2=-[f(x)+x2],f(x)+f(-x)+2x2=0,f(1)+f(-1)+ 2-0.f1)=1,:f-1)=-3.g(x)=fx)+2,g(-1)=f-1)+ 2=-3+2=-1. 例4解：当x<0时，->0， f-x)=(-x2-2(-x)-1=x2+2-1, 函数fx)是奇函数，f(x)=f(-x), x<0时，fx)=-x2-2x+1, x2-2-1,>0, 故fx)=0,x=0, -x2-2x+1,x<0. 变式训练4-2x2+4【解析】fx)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ ab)x+2d是偶函数，图象关于y轴对称，值域为(-∞， 4],2a+ab=0,b<0,2d=4,.fx)=-2x2+4 数学文化 例B【解析】首先该函数是偶函数，排除A,其次该 函数x≠±1，排除D,最后该函数过点(0,1)，排除 C.故选B. 第2课时函数奇偶性的应用 要点精析 例1解：)本 .任取x∈(-1,1)，则-x∈(-1,1)， -清本. 故)本为奇函数 参考答案。 任取，2∈(-1,1)且x<, fe杂 31 =(G+1)-x(+1) (x+1)(x+1) =（o-x)(1-x2) (x+1)(x+1) x2x>0,1-x>0,且分母x+1>0,+1>0, f2)>fx), 故)幸在(-山，1D止为增函数 (2).定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数， 由ft-1)+f代2t)<0,得ft-1)<-f(2t)=f(-2t). 0k1<2, -1<t-1<1, 1 .有{-1<-2t<1,即 27'解得0<兮 t-1<-2t, 放不等式f1-1)+2)<0的解架为40<兮} 变式训练1(0,2)【解析】2-1和x+1的取值不 确定，而已知条件中f(x)在[0，+∞)上单调递增，. 将2x-1和x+1取绝对值，这样就转化到同一个单调递 增区间[0，+∞)，即2x-1l<lx+ll→2x-1P<x+1P→x2-2x< 0→0kx<2. 例2D【解析】f代x)是定义在R上的奇函数， f(x)图象关于原点(0,0)对称， .f(x-1)图象关于点(1,0)对称. 又f(x)在(-∞，0)上单调递减 :fx-1)在(-∞，1)上单调递减， 且fx-1)在(1，+∞)上也单调递减. 又f2)=0,yfx)图象过点(2,0). yf(x)是奇函数，f(-2)=-f2)=0, ∴yf(x)图象过点(-2,0)， y=fx-1)图象过点(-1,0)和(3,0). 画出yf(x-1)的示意图. 例2答图 当-1≤x≤0时，f(x-1)≤0，：fx-1)≥0； 当1≤x≤3时，fx-1)≥0，f(x-1)≥0. 综上，满足(x-1)≥0的x的取值为[-1,0]U 47高中数学必修第一册人教B版 3.1.3 函数的奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 例1判断下列函数的奇偶性. 学习目标 (1)fx)=x+1-x-1l. 1.能够结合具体函数，了解函数奇偶性 (2)f(x)=Vx2-1+V1-x. 的概念及几何意义，明确奇偶性就是函数图 (3)fx)=2x 象的对称性。 x-1 2.能够正确判断简单函数的奇偶性， x+1,x>0, (4)f(x)= 3.能够利用奇偶性求函数的解析式 1-x,x<0. 分析 一定要注意奇、偶函数的定义 要点精析 域是关于原点对称的. 要点1函数奇偶性的判断 1.偶函数 (1)定义：一般地，设函数y=f(x)的定 义域为D,如果对D内的任意一个x,都 有-x∈D,且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶 函数. (2)图象特征：函数图象关于y轴对称. 2.奇函数 (1)定义：一般地，设函数yf(x)的定 义域为D,如果对D内的任意一个x,都 有-x∈D,且f-x)=f(x),则称yf(x)为奇 函数， (2)图象特征：函数图象关于原点对称. 思考在研究函数的奇偶性时，函数 的定义域应该满足什么条件？ 66)学 第三章函数。 变式训练1 (多选题)下列说法正确的有() A不)+1士-是奇函数 Bg)-二既不是奇两数也不是偶 函数 C.F(x)=f(x)f(-x)(x∈R)是偶函数 D.h(x)=Vx2-4-V4-x既是奇函数又是 偶函数 川要点2奇、偶函数的图象 例2已知函数yf(x)是定义在R上的 偶函数，且当x≤0时，f(x)=x+2x.现已画 出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. 变式训练2 已知f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上 -t-r-r-r -- 的奇函数，它们的部分图象如图所示，则 1-2八1八012！！ix f(x)g(x)的图象大致是（) 图3-1-3 (1)请补充完整函数y=f(x)的图象. f() g(x) (2)根据图象写出函数y(x)的增区间. (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值 图1 图2 集合 图3-1-4 分析奇函数图象关于原点对称，是 中心对称图形；偶函数图象关于y轴对称， 是轴对称图形 学(67 N 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 要点3利用函数的奇偶性求函数值、函 数解析式 (1)对于函数f(x)=ao+ax+a2x2+…+ ax”(n∈N). 例3(1）若函数f(x)=ax2+bx+3a+b 若其为奇函数，则f八-x)=-f八x),即ao 是偶函数，且定义域为[a-1,2a],则 ax+a2x2+…+an（-x)=-a0-ax-a2x2-…-ax,所 a= ,b= 以ao+a2x2+a4x4+…=0,即x的偶次项的系数 (2)若已知函数f(x)=r+b是定义在 为零 1+x2 若其为偶函数，则f(-x)=f(x),即ao (1,1)上的奇函数，且分)=号，求函数 ax+ax2+…+an(-x)P=a+ax+a2x2+…+ax”,所 f(x)的解析式 以a1+a2x3+asx+…=0,即x的奇次项的系数 为零 (2)f(x)为奇函数，如果f(0)有意义， 由f(-0)=-f(0),则f(0)=0. 但是一定要注意，函数f(x)为奇函数 不是f0)=0的充分条件，比如f(x)=1 (3)一般地，在定义域存在的情况下， 对于函数f(x)和g(x),它们的奇偶性与它 们之间进行四则运算或复合得到的新函数 的奇偶性，有如下结论： 奇函数±奇函数是奇函数； 偶函数±偶函数是偶函数； 奇函数±偶函数一般情况是非奇非偶 函数； 奇函数×奇函数是偶函数； 奇函数×偶函数是奇函数； 偶函数×偶函数是偶函数」 若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则 f(g(x),g(f(x))为奇函数； 若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则 f八g(x)),g(f(x)为偶函数； 若f(x)为偶函数，g(x)为偶函数，则 f八g(x),g(f(x)为偶函数 68)学 第三章函 数⊙ 变式训练③ P变式训练④ 已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1, 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a, 若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= b∈R)是偶函数，且它的值域为(-0， 例4若函数f(x)是定义在R上的奇函 4],则该函数的解析式f(x)= 数，当x>0时，f(x)=x2-2x-1,求函数f(x) 数学文化 的解析式。 分析要注意f(0)=0,对于x<0时解 例我国著名数学家华罗庚曾说：“数 析式的求法，可以通过取具体的数去体会， 缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合 比如求f(-2),由具体到一般. 百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习 和研究中，常用函数的图象来研究函数的性 质，也常用函数的解析式来研究函数图象的 特征.“北”字的甲骨文为个，其可抽象 出一个图象如图3-1-5所示，则其对应的函 数可能是( -1011 图3-1-5 A.f)- B.f(x)=Jl-IT 1 C. D.f(&)=-1 2+1 分析通过函数解析式判断图象，第 看定义域，第二看特殊点，第三看对称 性，第四看单调性。 学(69