3.1.2 第1课时 函数的单调性及函数的平均变化率-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长 度，即得y=+的图象.如图3，其值域为(-0,1)U x-1 (1,+∞). 图3 变式训练5答图 例4解：由-5e(-0,-2],-V3e(-2,2),-号e (-0,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f-V3)=(-V3)42x(-V3)=3-2V3. 3）3+13,-2x2. 川-32°2x-3 变式训练6解：函数，。 ·f1)=12+1- 1=1.fx)>f1)→fx)>1台 0≥0， 台-2<x<0或 x+3>1x2+x-1>1 x>1,:f(x)>f1)的解集为(-2,0)U(1,+∞)： 例5解：(1)函数f(x)图象如图1所示，由图象知， fx)的定义域是(0，+∞)，值域是[1，+∞). (2)函数g(x)图象如图2所示，由图象知，gx)的 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. -20 图2 例5答图 3,≤x≤3， 变式训练7解：f(x)=lx+1+2x-1= 2,-1≤K分 -3x,-3≤x<-1, 故f(x)图象如图： 参考答案。 9以 8 765 3 1- 4本32可1234 变式训练7答图 由图象，可知/a(x分-号，)f3)f-3) 9,函数的值鼓为[3,9 数学文化 例A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗， 所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加得快，中 间增加得慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合.故选A 31.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 要点精析 例1证明：Hx,e[2,+∞)，且x<, 则-f+tr 4 =(6+4xx出_xrx-4 X12 X比2 .2≤x1<x, x-x2<0,x2>4,x-4>0, fx)-fx2)<0,即f)f2), 函数f(x)=+4在[2，+0)上是增函数 H,与∈(0,2]，且x<, 则fx)-fx2)=（x)x4) X1X2 .0<x1<x2≤2 x-2<0,0<x2<4,xG2-4<0, :f(x)-fx2)>0,即fx)>f). 函数x)=x+4在(0,2]上是减函数 变式训练1解：当a>0时，函数f(x)在(-1,1)上单 调递增； 当a<0时，函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 证明如下：①当a心0时，Hx,2∈(-1,1)，且x<2, 则)02， 43 N 高中数学必修第一册人教B版 -1<x<2<1 ∴.-1<xw2<1,1-x2>0,(1+)(1+G)>0,-x>0, .a1=t2>0,即fK), (1+x)(1+) 故函数f(x)在(-1,1)上单调递增. ②当a<0时，H1,2∈(-1,1)，且<x2, 则2， -1<x1<x2<1, ∴.-1<x<1,1-x心2>0，(1+x)(1+x)>0,2-x>0, :a==l<0,即f>), (1+)(1+2) 故函数fx)在(-1,1)上单调递减. 例2(1)A【解析】y=x和y=-6在(0，+0)上 都是减函数，.a<0,b<0,f(x)=bx+a为减函数且 f(0)=a<0.故选A. e解a3n 的图象如图所示， -2-1 0112 例2答图 由图象，可知函数的单调递减区间为(-∞，1]和 (1,2],单调递增区间为[2，+∞). (3)①(-∞，-4]②-4【解析】fx)=-x2-2(a+ 1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞，--1]. ①由f(x)在(-∞，3]上是增函数，知3≤-a-1,即 a≤-4. ②由题意，得--1=3，a=-4. 变式训练2AD【解析】y=-3x+1在(-∞，0)上是减 函数，y=x在[0，+0)）上为增函数，且(1，+∞)(0， +),放A正确：)是在(，0)，(0，+)上单调递 减，故B错误；y=2-4x+5在(-∞，2)上单调递减， 在(2，+∞）上单调递增，故C错误；y=c-1I+2= 1.≥1，则yk-1+2在(1，+0)上为增函数，故 l3-x,x<1, D正确.综上，A,D正确. 例3(1)(-∞，1)【解析】：函数yf(x)在(-∞， +∞)上是增函数，且f2x-3)>f5x-6), .2x-3>5x-6,解得x<1, 44 即实数x的取值范围为(-∞，1). (2)①证明：任取1∈R,x2∈R,x<x2, 则△=2-x>0,△y=f(x2)-fx), 由已知，得f()=f(-x1+x1)=f(-x)+f(x)-1, ∴△y=fx2)-fx1)=f(x2-)-1. .x<x2,.x2-x>0,∴.f(x2-x1)>1, ∴fx2x)-1>0,∴△y>0, ∴fx)是R上的增函数. ②解：令a=b=2,则f(4)=f2)+f2)-1=5,f2)=3. .原不等式可化为f3m2-m-2)<f2). 由(1)得3m2-m-2<2, ..3m2-m-4<0,.(3m-4)(m+1)<0 1sm<等，原不等式的解集为1，号)】 变式训练3C【解析】函数y=(x)是定义在[-4,4] 上的减函数，且f(a+1)>f2a),.-4≤a+1<2a≤4，解得 1<a≤2.故选C. 例4解：假设存在满足要求的实数入，则由f(x)=x+1, g(x)=ff代x),得g(x)=(x2+1)2+1, ∴F(x)=g(x)-fx)=x+(2-A)x2+2-入. 令t=x2,则t=x2在(-∞，0)上递减，且当x∈ -,竖时，3：当，0时，0s号 2 2 放要使R)在到，Y上递减，在Y子，0 上递增，则函数()=+(2-A)+2-A在(3，+∞)上递 增，在0，)上递减，函数()-+(2-A+2-A的图 象的对称轴小号为=分，即4号分，则3 2 故存在这样的实数3，使F)在区间-，-2 上是减函数且在区间-Y2,0上是增函数。 2 变式训练4解：fx)=x2,g(x)=x+a, .f（g(x))=fx+a)=(x+a)2. 若使fg(x))=(x+a)2在[-1，+∞)上单调递增，则 对称轴x=-a≤-1，即a≥1. a的取值范围为[1，+∞) 数学文化 例ABC【解析】若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区 间，：f(x)=x2-2x+2在区间[1，b]上为增函数，故 其值域为[1，b2-2b+2],根据题意，有b2-2b+2=b,解得 b=1或b=2..b>1,故b=2.故A正确. 函数f(x)=1+上在区间(-0,0)与(0，+0)上 均为减函数，故若f(x)=1+1存在跟随区间[a,b],则 1+1 a=y5 有 解得{ 2 b=1+V5 故存在，B正确。 b=1+ a 2 若函数fx)=m-Vx+I存在跟随区间[a,b],fx)= m-V+I为减函数，故由跟随区间的定义，可知 (b-m-Va+l, ab-VaT-VbT,b, am-Vb+T 即(a-b)(Va+1+Vb+I)=(a+1)-(b+1)=a-b. .a<b,..Va+T+Vb+T=1. 易得0≤Va+I<Vb+I≤1. ∴.a=m-Vb+1=m-(1-Va+1).令t=Va+I,代入化 简，可得P-t-m=0,同理t=Vb+1也满足2-t-m=0, 即2-m0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根。 故小40解得me人子，0，故C正确， -m≥0， 若x)=了+x存在“3倍跟随区间”，则可设定义 域为[a,b],值域为[3a,3b].当a<b≤1时，易得fx) =-了+x在定义域上单调递增，此时易得a,b为方 程-子+=3x的两根，解得x=0或=-4.故存在定义域 [-4,0],使得值域为[-12,0]，故D不正确.故选 ABC. 第2课时函数的最大值、最小值 要点精析 例1解：()函数f八x)=r-x的对称轴方程为x=号， :函数fx)在区间[1，+∞)上是增函数，号≤1，a≤2 (2)①当号≤1，即a≤2时，函数fx)在区间[1,2] 上是增函数，fx)mf1)=1-a; ②当号≥2，即a≥4时，函数fx)在区间[1,2]上 是减函数，f孔x)mf(2)=4-2a; ③当1k号2，即24时，函数f)在区间1，号)】 上是减函数，在号，2上是增函数，(x)mf受 经 综上所述，当a≤2时，fx)mf式1)=l-a, 当a≥4时，f(x)mf(2)=4-2a; 参考答案。 当2a4时.fx)号-子 变式训练1解：fx)=-x2+4-1=-(x-2)2+3. 当t+1≤2，即t≤1时，f(x)在区间[t,t+1]上为增 函数，·g(t)=ft+1)=-子+2t+2; 当t2<t+1,即1<t<2时，g(t)=f2)=3: 当t≥2时，f(x)在区间[t,t+1]上为减函数， .∴g(t)f(t)=-+4t-1. -t+2t+2,t≤1， 综上所述，g(t)=3,1<1<2, -t+4t-1,t≥2. 例2解：任取x1,2e[1,+∞)，且< fx1)-f(x2) =(x-)+212 11 urol-2 =(r6)2l 2x1X2 1≤x<2,x1-x<0,x>1, 2x-1>0,∴fx)-fa)<0. 即x)2),∴fx)在区间[1，+∞)上单调递增， 六当1时，)有最小值子 变式训练23【解析】由x1≥0，得x≥1，又y=Vx-I 在[1，+0)上是增函数，y=3x在[1，+∞)上也是增 函数，∴f(x)=3x+Vx-I在[1，+∞)上是增函数，则 f八x)mn=3. 例3解：(1)设t=x2-2,则=+4. 对t=x2-2xxeR，,te[-1,+∞)， 对y=2+4t,当te[-1,+∞)，得ye[-3,+∞). y的最小值为-3. (2)x2-2x≠0，x≠0且x≠2， 2定义域为t≠0且≠2外 设1=2-2x,则)= te[-1,+∞）， ye(-∞，-1]U(0,+∞). 注：画数)x无最大值也无最小值。 变式训练316【解析】点(1,0)，(-1,0)在 f(x)图象上，这两点关于直线x=-2的对称点(-5,0)， f-5)=(1-25)(25-5a+b)=0, (-3,0)必在fx)的图象上， f(-3)=(1-9)(9-3a+b)=-0 ja=8, 2b15 45第三章函数。 3.1.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 两种情况下，都称函数在1上具有单调 学习目标 性（当I为区间时，称I为函数的单调区间， 1.理解函数单调性的概念，能够准确求： 也可分别称为单调递增区间或单调递减区 出一次函数、反比例函数、二次函数的单调 间) 区间. 例1证明：函数fx)=+4在[2，+0) 2.能够利用单调性的定义判断简单函数 上是增函数，在(0,2]上是减函数. 的单调性 3.能够判断复合函数的单调性 要点精析 川要点1函数单调性的判定与证明 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D, 且ICD: (1)如果对任意1,2∈I,当x<x2时， 都有f(x)sf(),则称yf(x)在I上是增函 数（也称在I上单调递增）.其充要条件是函 数yfx)在区间[x1,x2](x<x2时)或[x2, ](x>x2时)上的平均变化率Ay=2-Y= fx)-fx>0在1上恒成立. 反思感悟 X2一X1 判断函数单调性的一般步骤： (2)如果对任意x1,2∈1，当x1<x2时， (1)在定义域内任取两个变量1<x2, 都有f(x1)>f(),则称y=f(x)在I上是减函 则△x=x2x1>0; 数（也称在I上单调递减）.其充要条件是函： (2)通过因式分解、配方、根式有理 数yfx)在区间[x1,2](x<x2时)或[x2, 化等方法，比较△yf(x2)-f(x)与0的大小 ](x>时)上的平均变化率Ay=2山= △Xx2-x1 关系； fx)-fx)<0在1上恒成立. 、 （3)根据△x和△y“同号”还是“异 X2一X1 号”判断函数的单调性 学 59 N 高中数学必修第一册人教B版 (3)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3. 变式训练1 ①若函数f(x)在区间(-0,3]上是增函 已知函数fx)=(a≠0).判断函数 数，则实数a的取值范围是 x2+1 ②若函数fx)的单调递增区间是(-0,3]， f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性的 则实数a的值为 定义加以证明. 分析以下结论可以直接使用. (1)k>0时，f(x)=kx+b在R上为增函 数；k<0时，f(x)=kx+b在R上为减函数 (2)k>0时，f(x)=k在(-0,0)， (0,+∞)上为减函数；k<0时，f(x)=k在 (-0,0),(0,+∞)上为增函数. (3)心0时，)-usne在-，品 上为减画数，在品+上为增西数 a0时，f)=a4bi+e在-，会上为 增函数，在 要点2一次函数、反比例函数、二次 -b,+0上为减函数。 -2a 函数的单调性 思考一次函数、 反比例函数、二次 函数的单调性与哪些因素有关？ 例2 (1)已知函数y=x和y=-b在 (0,+∞)上都是减函数，则函数f(x)=bx+a 在R上是( A.减函数且f(0)<0 B.增函数且f(0)<0 C.减函数且f(0)>0 D.增函数且f0)>0 -x-3,x≤1， (2)作出函数f(x)= 的图 (x-2)2+3,x>1 象，并指出函数的单调区间. 60)学 第三章函数。 注意“函数的增区间为A”和“函 数在A上为增函数”不是同一个意思，前 者说的是完整的增区间，后者的A可能是 增区间的子集 ⑧变式训练2 (多选题)下列函数中，在区间(1，+∞) 上为增函数的是() -3x+1,x<0, A.,x≥0 B足 C.y=x2-4x+5 D.y=lx-1l+2 川要点3抽象函数的单调性 例3(1)已知函数y=f(x)是(-∞， +∞)上的增函数，且f2x-3)>f5x-6),则实 数x的取值范围为 (2)函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(a+b)=fa)+fb)-1,且当x>0时，fx)>1. ①求证：f(x)是R上的增函数 ②若f(4)=5,解不等式f3m2-m-2)<3. 反思感悟 分析对于没有解析式、没有图象的 利用抽象函数的单调性解不等式， 这类抽象函数的单调性问题，一定要牢牢 定要注意函数的定义域以及自变量是否在 把握单调性的定义， 同一个单调区间， ⑧变式训练③ 已知函数y=f(x)是定义在[-4,4]上 的减函数，且f(a+1)>f(2a),则实数a的取 值范围是() A.[-4,1) B.(1,4] C.(1,2] D.[-5,2] 学(61 高中数学必修第一册人教B版 要点4复合函数的单调性 变式训练④ *例4设f代x)=x+1,g(x)=ff代x),F(x) 已知fx)=x2,g(x)=x+a.若yf(g(x)）在 =g(x)-f(x).是否存在实数入，使F(x)在区 [-1,+∞)上单调递增，求a的取值范围. 间-，-2上是减函数且在区间 2 ,0上是增函数 分析对于定义在区间A上的函数 f(g(x),g(x)的取值范围为B. 若g(x)在A上为增函数，f(x)在B上 为增函数，则f八g(x)在A上为增函数. 若g(x)在A上为增函数，f(x)在B上 为减函数，则f(g(x)在A上为减函数. 数学文化 若g(x)在A上为减函数，f(x)在B上 为增函数，则f(g(x)在A上为减函数. 例 (多选题)一般地，若函数f(x)的 若g(x)在A上为减函数，f(x)在B上 定义域为[a,b],值域为[ka,b],则称 为减函数，则f(g(x)在A上为增函数. [ka,kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数 的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称 [a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正 确的有( A.若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区 间，则b=2 B.函数fx)=1+1存在跟随区间 C.若函数f代x)=m-Vx+1存在跟随区间， 则me4,0 D.二次函数x)+x不存在3倍 跟随区间” 分析根据“倍跟随区间”的定义， 分析函数在区间内的最值与取值范围逐个 判断即可. 62)学