3.1.1 第1课时 函数的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 图2的面积为ab,题图3的面积为(a+b)x :题图2和题图3的面积相等，则有ab=(a+b)x, 解得中。，故内接正方形的边长为 b :内接正方形的面积为1， .内接正方形的边长x=1,则有a+b=ab. 利用均值不等式，可得a+b=ab≥2Vab,故ab≥4， 当且仅当a=b=2时，取等号. .两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三 角形的面积总和为ab-2≥2. 故题图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有 “青”的三角形的面积总和的最小值为2. 第三章 "3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时函数的概念 要点精析 例1(1)D(2)B(3)D【解析】(1)观察图 象可知，选项A,B,C中任取一个x的值，y有可能有 多个值与之对应，..这三项不是函数图象.故选D. (2)①错误.若函数的值域只含有一个元素，则定 义域不一定只含有一个元素.②正确.f(x)=5,这个数 值不随x的变化而变化，f(π)=5.③错误.函数是两个 非空数集之间的对应关系.故选B. (3)对于A中的任意一个元素，在对应关系f:x→ g:厅=：一y=2下，在B申都有唯 一的元素与之对应，故能构成函数关系.对于A中的元 素8，在对应关系f:x→y=x下，在B中没有元素与之 对应，故不能构成函数关系.故选D. 变式训练1D【解析】从集合M到集合N能构成函数 关系时，对于集合M=x0≤x≤2}中的每一个x值，在 N=b0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应.图 象A不满足条件，：当1<x≤2时，N中没有y值与之 对应；图象B不满足条件，，·当=2时，N中没有y值 与之对应；图象C不满足条件，·对于集合M中的每 一个x∈(0,2]，在集合N中有2个y值与之对应，不满 足函数的定义；只有D中的图象满足对于集合M中的每 一个x值，在N中都有唯一确定的一个y值与之对应.故 选D. 40 例2BC【解析】由均值不等式，可得y≤， ≤以告w.又 2 2 告≥字，1≥岁w≤2.≤ 2,lx+y≤2，选项B和C正确.取x=y=1,满足x2+ 产1，但+y-2选项A不正确取=写， 写，满足矿l,但广号进项D不正 确.故选BC 函 数 例2解：(1)要使函数解析式有意义，自变量x的取 [x+1≠0， 值必须满足 解得x≤1且x≠-1， 1-x≥0， 即函数的定义域为{xlx≤1且x≠-1}. (2)要使函数解析式有意义，自变量x的取值必须 3-x≥0，解得x≤3且x大-5， 满足 xl-5≠0， 即函数的定义域为{x≤3且x≠-5. 变式训练2(-∞，0)U(0,1]【解析】由 11-x≥0， 解得x≤1且x≠0，.函数的定义域为 1-V1-x≠0， (-∞，0)U(0,1]. 例3(1)B(2)③⑤【解析】(1)①错误.函数 f(x)=x°的定义域为{xlx≠0)，函数g(x)=1的定义域 是R,不是同一个函数 ②正确.yf(x),x∈R与yf(x+1),xeR两函数定 义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数. ③正确.两个函数定义域相同，对应关系完全一致， 是同一个函数 .正确的说法有2个.故选B (2)①定义域不同，fx)的定义域为{xlx≠0}，g(x) 的定义域为R ②对应关系不同，fx)= =,g(x)=Vx. V ③定义域、对应关系都相同. ④对应关系不同，f(x)=lx+3引，g(x)=+3. ⑤fx)=x与g(a)=a定义域都是R,对应法则相同， 故是同一个函数.要注意f代x)=a表示的是常函数. 综上，③⑤中两个函数表示同一个函数 变式训练3ABD【解析】A选项y=V=lx与函数y=x 对应法则不同，不是相同函数；B选项y=(Vx)2定义 域为[0，+∞)与函数=x定义域不同，不是相同函数； C选项y=V=x与函数y=x定义域和对应法则相同， 是相同函数：D选项y=√医定义域为(0，+)与函 数y=x定义域不同，不是相同函数.故选ABD 例4解：方法一： (1)）y=3+7-3x-2)+13=3+13 x-2 -2 x-2 “20,y≠3. .13 .函数的值域为(rlyER,且y≠3. (2=41-2=1-2 x2+1 x2+1 11,0名≤21s1<1, .函数的值域为b-1≤y<I 方法二： (1)由y=3+7(x≠2)， x-2 可得x(y-3)=2y+7(x≠2，y≠3)， .函数的值域为b∈R,且y≠3). 2)由)岩aeR 可得产出≥0，解得-1≤1， .函数的值域为[-1,1). 变式训练4解：（①+1=+号户+子≥子0 ≤号值域为0，告] 1 (2)由-x2+4x≥0，得x2-4x≤0，解得0≤x≤4， 设t=-x2+4x=-(x-2)2+4,则0≤t≤4 .y=2-Vt∈[0,2]，即函数y=2-V-x2+4x的值域 是[0,2]. 数学文化 例CD【解析】当x=4时，y=8V,故A错误；当x= 2时，y=5N,故B错误；任取x∈eM,总有y=leV, 故C正确；任取x∈M,总有y=x2∈N,故D正确.故 选CD 参考答案。 第2课时函数的表示方法 要点精析 例1解：(1)列表法： x/台 y/元 x/台 y/元 x台 y/元 1 3000 5 15000 9 27000 6000 6 18000 10 30000 3 9000 > 21000 4 12000 8 24000 (2)图象法：如图所示。 ◆y/元 39888 520 000 9000 人。 O 12345678910合 例1答图 (3)解析法：y=3000x,x∈{1,2,3，…，10}. 变式训练1B【解析】：顾客在该商场购物可以获得双 重优惠，∴.顾客购买一件标价为1000元的商品，实际 应付800元，优惠200元：再按表中办法获得130元的 奖券，共获得优惠额330元.故选B. 例2解：(1)待定系数法：设代x)=kx+b(k≠0)， 则f代f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4. k2=9，解得 k=3, k=-3, 或 kb+b=4, b=1b=-2. f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2. (2)方法一（配凑法）： :f(Vx+1)=x+2Vx=(Vx+1)2-1(Vx+1≥1)， fx)=x2-1(x≥1). 方法二（换元法）： 令V龙+1t(t≥1)，则=(t-1)2(t≥1)， ·.ft)=(t-1)2+2(t-1)=2-1(t≥1) .f(x)=x2-1(x≥1). (3)构建方程组：由题知fx)+2=x,① 用上代x,得士+2x)② 41N高中数学必修第一册人教B版 第三章函 数 3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 为函数的值域 学习目标 思考函数f代x)的值域就是集合B吗？ 1.能够在初中用变量之间的依赖关系描 例1(1)选项中可作为函数yf(x)的 述函数的基础上，理解用集合语言和对应关： 图象的是() 系刻画函数，能够准确表述函数概念。 2.能够正确求出简单函数的定义域 3.能够准确判断两个函数是不是同一个 个 函数. : A 4.能够正确求出函数值以及简单函数的 值域， 要点精析 l要点1函数的概念 (2)下列三个说法： ①若函数的值域只含有一个元素，则定 一般地，给定两个非空实数集A与B,义域也只含有一个元素； 以及对应关系f,如果对于集合A中的每一 ②若f(x)=5(x∈R),则f(π)=5一定 个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数：成立； y与x对应，则称∫为定义在集合A上的一 ③A={中国，巴西，英国}，B={亚洲， 个函数，记作y=f(x),x∈A,其中x称为自：南美洲，欧洲}，则A到B的对应关系：国 变量，y称为因变量，自变量的取值范围家所在的洲，是A到B的一个函数。 (即数集A)称为这个函数的定义域，所有 其中正确说法的个数为() 函数值组成的集合∈By=f(x),x∈A}称 A.0B.1C.2D.3 50)学 第三章函数。 (3)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4], 例2求下列函数的定义域. 则下列对应关系中，不能看作是从A到B (1)=+02-VT=. 的函数关系的是() x+1 1 A.f:xy=- (2)y=V3- Ixl-5 1 分析根据解析式得出式子有意义的 B.f:xy=4x 条件，比如偶次根式的被开方数为非负数、 C.J: 分式的分母不能为零等，列出相应的不等 式进行解答 D.f:xy=x 分析紧扣函数的定义，两个非空实 数集A与B,集合A中元素具有任意性， 集合B中元素具有唯一性 B变式训练① 设集合M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}， 给出如下四个图象，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的是() D 川要点2求函数的定义域 函数的定义域即式子有意义的自变量取 变式训练2 值的集合 思考根据函数解析式求定义域，应 函数f代x)= 一的定义域为 该注意哪些方面的限制条件？ 1-V1-x 学 51 N 高中数学必修第一册人教B版 川要点3同一个函数 A.y=Vr B.y=(Vx)2 如果两个函数表达式表示的函数定义域 C.y=Vx D.y-V 相同，对应关系也相同（即对自变量的每一 川要点4求函数值和值域 个值，两个函数表达式得到的函数值都相 等)，则称这两个函数表达式表示的就是同 函数的值域即为所有的函数值组成的 一个函数 集合 思考能否通过两个函数的值域相同， 思考你能写出一次函数、二次函数、 来判断两个函数是不是同一个函数呢？ 反比例函数的值域吗？ 例3(1)给出下列三个说法： 例4求下列函数的值域。 ①f(x)=x与g(x)=1是同一个函数； (1)y=3x+7 ②y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可 x-2 能是同一个函数： (2)=1 x2+1 ③y=f(x),xeR与yf(t),teR是同一 个函数 其中正确说法的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 (2)下列各组函数： ①fx)=-x,g(x)=-1; 2✉，8- ③fx)=Vx+ΠV-x,g(x)=V1-x; ④fx)=V(x+3)2,g(x)=x+3; ⑤f(x)）=x,g(a)=a. 其中表示同一个函数的是 (填 序号) 分析 严格按照同一个函数的定义进 行判断。 变式训练3 (多选题)在下列函数中，与函数y=x 不是同一个函数的有() 52)学 第三章函数。 变式训练④ 数学文化 求下列函数的值域， 例（多选题）中国清朝数学家李善兰 1) 在1859年翻译的《代数学》一书中，首次 将“function'”译作“函数”，沿用至今.为 (2)fx)=2-V-x2+4x. 什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函 彼变数者，则此为彼之函数”.1930年，美 国人给出了我们教材中所学的集合论的函数 定义.已知集合M={-1,1,2,4},N= {1,2,4,16,给出下列四个对应法则，请 由函数定义判断，其中能构成从M到N的 函数的有（ A.y=2x B.y=x+3 C.y=lxl D.y=x2 学(53