2.1.1 等式的性质与方程的解集-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N高中数学必修第一册人教B版 第二章 等式与不等式 2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 例1化简：(2x+1)2-(x-1)2. 学习目标 分析解本题有两种方法：一是利用 1.会用量词和逻辑语言梳理等式的性质 两数和（差）的平方公式展开，合并同类项； 2.理解恒等式的概念，掌握常用的恒等 二是利用原式A2-B2的结构，考虑平方差公 式，会进行恒等变形 式.方法二较为简便，利用了整体思想 3.熟练掌握“十字相乘法”分解因式。 4.理解方程解集的概念，会求常见方程 以及含参的一次方程、二次方程的解集。 5.通过对等式推理的基本形式和规则的 训练，探索出解方程的核心方法，培养学生 逻辑推理和数学运算的核心素养， 要点精析 反思感悟 方法二是将2x+1看成平方差公式A2 要点1恒等式的运用 B2=(A+B)(A-B)中的A,将x-1看成B. 含有字母的等式，如果其中的字母取任 意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也 ③变式训练① 称等式两边恒等， 设a,b,c,x,y,z是正数，且2+b2+ 恒等式是进行代数变形的依据之一，如 c2=10,x2+y2+:2=40,am+by+ca=20,则+b+c x+Y+3 (x-y)2=[x+(-y)]2 =( =x2+2x(-y)+(-y)2 =x2-2xy+y2. A.1 B. 3 上式即利用了代换的思想，根据两数和 的平方公式推导出了两数差的平方公式 c D.3 22)学 第二章等式与不等式。 例2若4x2-3(a-2)x+25是完全平方式， 则a的值为() 变式训练3 A号 B. 利用十字相乘法分解因式 3 (1）2x2-7x+3. C.-14或26 D.不存在 3 (2)5x2-4xy-y2. 分析依据平方项的特点，写出完全 (3)10(x+2)2-29(x+2)+10. 平方公式，再通过解方程求出未知量， 变式训练2 若x2+(a-2)x+9是一个完全平方式，则 a的取值集合为 思考你能写出“立方和”与“立方 差”公式吗？ 川要点2十字相乘法 二次三项式x+Cx+D的因式分解： C=a+b,D=ab=x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 二次三项式Ex+Fx+G的因式分解： E=ac,F=ad+be,G=bd=Ex2+Fx+G= (ax+b)(cx+d). 例3分解因式：x2+2x-15. 分析0>-15=ab,0<2=a+b,从而a,b 一正一负 5-15=(-3)x5,2=(-3)+5. 反思感悟 利用十字相乘法分解因式的步骤： (1)竖分二次项与常数项； (2)交叉相乘再相加； (3)检验确定，横写因式 学 23 N 高中数学必修第一册人教B版 川要点3方程的解集 B变式训练④ 把一个方程所有解组成的集合称为这个 求下列关于x的方程的解集， 方程的解集 (1)x(x+2)=2x+4. 例4分别解关于x的方程. (2)ax=x-1(a为实数)， (1)ax=2. (3)x2-x-2+a=0(a为实数). (2)x2+(a+2)x+2a=-0,其中a∈R是常数， 分析(1)分类讨论，讨论a与0的 关系.(2)利用十字相乘，对(x+2)(x+a)=0 分类讨论，讨论a与2的关系. 反思感悟 求含参数的一元一次方程的解集时， 需注意讨论一次项系数是否为0. 例5若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b 2)-8=0,则a+b= 分析整体法，把a+b看作一个整体， 构造出方程，进一步求解 24)学 第二章等式与不等式。 变式训练⑤ 数学文化 例我国古代数学著作《九章算术》中 求方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24的 有如下问题：“今有人持金出五关，前关二 解集。 而税一，次关三而税一，次关四而税一，次 关五而税一，次关六而税一，并五关所税， 适重一斤，问本持金几何”其意思为：今 有人持金出五关，第一关收税金为持金的 乃，第二关收税金为剩余金的？，第三关 收税金为剩余金的}， 第四关收税金为剩余 金的，第五关收税金为剩余金的行，五 关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持 金() A.2斤 C.6斤 5 D斯 分析设总共持金x斤，再根据题意 列式求解即可， 学(25参考答案。 第二章等式与不等式 >"2.1等 式 当a=0时，解集为☑. (2)x2+(a+2)x+2a=0=(x+2)(x+a)=0. 2.11等式的性质与方程的解集 当a=2时，解集为{-2}： 要点精析 当a≠2时，解集为{-2，-a小. 例1解：方法一： 变式训练4解：(1)x(x+2)=2x+4,x2+2-2x-4-0, (2x+1)2-(x-1)2 即x2-4-0,∴=±2.故原方程的解集为-2,2. (2)由ax=x-1,得(a-1)x=-1. =(4x2+4x+1)-(x2-2x+1) 当a-1=0,即a=1时，方程的解集为☑； =3x2+6x. 方法二： 当a-1≠0，即a≠1时，方程的解集为a (2x+1)2(x-1)2 (3).x2-x-+a=x2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)], =[(2x+1)+(x-1)][(2+1)-(x-1)] ∴.原方程即为(x-a)[x+(a-1)]=0,解得=a或=1-a =3x(x+2) =3x2+6x. 当1-a,即a分时，方程的解集为分。 变式训练1C【解析】由题知，x+2+z2-2(ax+bycz)=2a+ 当a≠1-a,即a≠时，方程的解集为{a,1-a. 2b+2cz①，㎡+b2+c2-10②， 2 ①+②可得(x-a)2+(0y-b)2+(c-z)2=10. 例5一分或1【解析】设a+b=, x-=a, x=2a, 则原方程可化为4x(4x-2)-8=0」 由已知，不妨令y-b=b,→y=2b, 整理得(2x+1)(x-1)=0, z-c-c z=2c. 则x+y+z=2(a+b+c), 解得=-2，l. 即年分放选 则a6=了或1. 例2C【解析】4x2-3(a-2)x+25 变式训练5解：(x+1)(x+4)=x2+5x+4,(x+2)(x+3)= =(2x)2-3(a-2)x+(±5)=(2±5)2， x2+5x+6. 即4x2-3(a-2+25=(2,+5}或4x2-3(c-2)x+25=(2x-5月 利用整体法，设x2+5x=t. .∴-3(a-2)=20或-3(a-2)=-20. 则原方程可化为(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x2+5x+4)· 解得华或a故远C (x2+5x+6)=(t+4)(t+6)=24. 31 即P+10t=0,解得t=0或t仁-10. 变式训练2{-4,8}【解析】x2+(a-2)x+9是一个完 当t0,即x2+5x=0时，解得x=0或=-5. 全平方式，x2+(a-2)x+9=(x±3)2，.a-2=±6，∴.a=-4或 当t=-10,即x245=-10时，此方程无解. a=8,故a的取值集合为{-4,8}. 故原方程的解集为{0，-5. 例3解：x2+2x-15=(-3)(x+5). 变式训练3解：(1)22-7x+3=(x-3)(2x-1). 数学文化 (2)5x2-4xy-y2-(x-y)(5x+4y). 例C【解析】设总共持金x斤，再根据过五关后剩 (3)10(x+2)2-29(x+2)+10=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]= (x-1)斤列式计算即可. (2-1)(5x+8). 由题意，得1-2131-41-： 例4解：(1)当a≠0时，等式两侧同除以a,得x= 名，解集为名引： 当a=0时，方程变为0=0x=2,无解，解集为0. 6.故选C. 综上，当a≠0时，解集为2 : 31