函数定义域与解析式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数定义域与解析式 知识梳理 一．函数的定义域 1. 定义：使得函数解析式有意义时，自变量x的取值范围就叫做函数的定义域。 2. 表示：定义域必须用集合或区间表示。若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接． 3. 求函数定义域的原则 ①用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合； ②用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合； ③当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集. 【考点一 函数的定义域】典例剖析 【题型一 求函数的定义域】 【归纳总结】函数定义域的求解方法 1. 具体函数的定义域 （1）思路：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 【注意】不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化 （2）常见“有意义的条件” ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0（，只要求） ③零次幂、负整数指数幂：底数； 2. 抽象函数的定义域 （1）两个原则：①定义域（永远）指的是x的取值范围 ②同一个下括号内的范围是 （2）求解步骤：①已经定义域→②由已知定义域求已知括号的范围 →③要求括号的范围与已知括号的范围一致 →④解③中的不等式，求得定义域x的范围 （具体函数） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 【练习】函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． （抽象函数） 2．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解即可； （2）先求出的范围，可得的定义域，然后根据抽象函数定义域的解法，列出不等式求解的定义域． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）函数的定义域为， 则，可得的定义域为． 由，即且， 即且，解得或． 所以函数的定义域为． 【练习】若函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为， 所以，所以， 所以由，且， 解得， 故答案为： 【题型二 根据函数定义域求参】 【总结归纳】根据函数的定义域求参 求解思路：①根据函数本身定义域D的求解，列出式子，得出其解集为D ②根据端点对应或利用该式子恒成立或有解，从而求解参数 （定义域是某区间→解集为谁，端点对应） 3．若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出. 【详解】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B 4．函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式】函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据的定义域为，可得和是一元二次方程的实数根，即可利用韦达定理求解， （2）将问题转化为对任意的均成立，对系数进行讨论，结合判别式即可求解. 【详解】（1）由于的定义域需要满足， 结合的定义域为，故和是一元二次方程的两个不相等实数根， 因此， 解得， （2）的定义域为，则对任意的均成立， 当时，，此时不等式为，则解不是全体实数，不符合，舍去， 当时，，此时不等式为，则解是全体实数，符合， 当且，此时，不等式为一元二次不等式， 要使解为全体实数，则， 解得或， 综上可得或， （转化为恒成立、有解问题） 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 6．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由题设得在上恒成立，再由一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算即可得解. 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 二．函数解析式知识梳理 1. 定义：把变量x，y之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值. 2. 求函数的解析式的常用方法 （1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 已知的函数类型时，先根据函数类型设出函数的表达式，再根据已知条件代入，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 （2）配凑法、换元法：适用于复合函数 配凑法——把的表达式配成的运算形式时。 换元法——设，用t表示x，再把x代入的表达式，得到的表达式，再把t换为x，即为的表达式 【注意】不论是配凑法还是换元法，都要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 （3）方程组法：适用于出现自变量互为相反数或倒数的式子 如出现与、与，用一个括号代替另一个括号，从而再构造出另外一个等式组成方程组，通过消元解方程组求解。 典例剖析 【考点二 求函数的解析式】 （待定系数法） 7．（1）已知是一次函数，且满足，求； 【答案】（1）； 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）已知二次函数满足：对任意，均有，且，求的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】设（）， 对任意均有成立， 则， 即恒成立，则有，解得， 又，得， 所以． （换元法、配凑法） 8．（多选）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 9．已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ （1）求f(g(2))与g(f(2))； （2）求f(g(x))与g(f(x))的表达式. 【答案】（1）0，2；（2），. 【分析】（1）根据函数解析式，从内至外求函数值即可求得结果； （2）根据的定义域，分类讨论，即可求得结果. 【详解】（1）由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3， 因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. （2）当x＞0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x＜0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝ 当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2. 所以g(f(x))＝. 【点睛】本题考查分段函数的函数值求解，以及函数嵌套解析式的求解，属综合基础题. 【练习】已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 设 【详解】由题设，时，时，时， 所以. （方程组法） 11．（1）已知，求的解析式； 【答案】（1）； 【分析】（1）利用函数关系，列方程组求解析式即可； 【详解】（1）由题 ，联立， 所以，则，故； （2）已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 12．已知方程（且），且，则的解为 ． 【答案】 【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解. 【详解】∵（且）………①， 易知①中的x与取值范围相同， 于是将①中的x代得， 整理得： （且）………②， 再将①中的x代替得 , 整理得（且）………③ 可消去项得到： 则（且）， 由此，解得. 故答案为：． 【变式】已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 课后训—函数定义域+解析式- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 求函数定义域】 1．已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 2．（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考查函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必有，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 【题组二 根据函数定义域求参】 3．若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 【分析】利用函数的定义域求解即可. 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 4．设函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意知的解集为，进而对分类讨论求解即可. 【详解】由题意知的解集为， （ⅰ）当时，若，则，符合题意； 若，则，的解集不为，舍去． （ⅱ）当时，必须有，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 5．“函数的定义域为R”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由函数的定义域为R，即对任意恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以对任意恒成立， ①当时，对任意恒成立； ②当时，只需，解得：； 所以. 记集合，. 因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【题组三 求函数解析式】 6．（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． （5）若，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （5）（且） 【分析】（1）将代入即可求解； （2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解； （3）设，利用待定系数法即可求解； （4）利用方程组法即可求解. （5）令，构造关于的方程组求解即可． 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． （5）由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函数定义域与解析式 知识梳理 一.函数的定义域 1.定义：使得函数解析式有意义时，自变量x的取值范围就叫做函数的定义域。 2.表示：定义域必须用集合或区间表示。若用区间表示，不能用“或连接，而应用并集符号“U”连接， 3.求函数定义域的原则 ①用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合： ②用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合； ③当函数y=x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不 等式（组）求其解集 ☒ 典例剖析 【考点一函数的定义域】 【题型一 求函数的定义域】 【归纳总结】函数定义域的求解方法 1. 具体函数的定义域 (1)思路：剥洋葱原理→一层一层→交集（同时成立）→最后把求定义域转化成解不等式。 【注意】不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化 (2)常见“有意义的条件” ①分式：分母不能为零： ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0（√A,只要求A≥0） ③零次幂、负整数指数幂：底数x≠0： 2.抽象函数的定义域 (1)两个原则：①定义域（永远）指的是x的取值范围 ②同一个∫下括号内的范围是 (2)求解步骤：①已经定义域→②由已知定义域求已知括号的范围→③要求括号的范围与已知括号 的范围一致→④解③中的不等式，求得定义域x的范围 (具体函数) 第1页 1.函数y=+1的定义域为() A.（-∞，1]U[2,+∞) B.[1,2) C (-∞，1]U(2,+0) D.[1,2] 【练可1函数f(x)=+2x-的定义蚊为— (抽象函数) 2.(1)己知函数f(x)的定义域为[-3,3]，则函数f(2x+1)的定义域为 (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[-3,3]，则函数f(x2-2x-8)的定义域为 第2页 【练习1若页数f(2x-1)的定义坡为机-31小，则y=的定义蚊为 【题型二根据函数定义域求参】 【总结归纳】根据函数的定义域求参 求解思路：①根据函数本身定义域D的求解，列出式子，得出其解集为D ②根据端点对应或利用该式子恒成立或有解，从而求解参数 (定义域是某区间→解集为谁，端点对应) 3.若f(x)=V1-x+V8+a-1的定义域为{x-3≤x≤1}，则实数a=(） A.2 B.3 C.4 D.5 4.函数(x)=5的定义城为(1,2)，则b=（) A.2 B.-2 C.-1 D.1 第3页 【变式】函数f(x)=V(m2-m-6)x2+(m+2)x+8. (1)若f(x)的定义域为[-1,2]，求实数m的值： (2)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围， (转化为恒成立、有解问题) -3 5.若函数f(x)=a-4ax一的定义域为R,则实数a的取值范围为(）. A.(-3-1)B.[-3,-1]C.（-3,1] D.[-3,1) 第4页 6.函数f(x)=√一x2+ax-1在[支，3]上有意义，则实数a的取值范围为 知识梳理 二。函数解析式 1.定义：把变量x,y之间的关系用一个关系式y=f(x)来表示 2.求函数的解折式的常用方法 (1)待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 已知∫(x)的函数类型时，先根据函数类型设出函数的表达式，再根据已知条件代入，列方程或 方程组，从而求出待定的参数，求得∫(x)的表达式。 (2)配凑法、换元法：适用于复合函数f[g(x)] 配凑法—把f[g(x)]的表达式配成g(x)的运算形式时。 换元法一设t=g(x),用t表示x,再把x代入f(g(x)的表达式，得到f()的表达式，再把 t换为x,即为f(x)的表达式 【注意】不论是配凑法还是换元法，都要注意所求函数∫(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而 是g(x)的值域。 (3)方程组法：适用于出现自变量互为相反数或倒数的式子 如出现fx)与f白、f()与f(-)时，用一个括号代替另一个括号，从而再构造出另外一个 第5页 等式组成方程组，通过消元解方程组求解。 典例剖析 【考点二求函数的解析式】 (待定系数法) 7.(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x+2)-f(x)=X+7,求f(x); (2)已知二次函数f(x)满足：对任意x∈R,均有f(x+1)=f(x)+2x+2,且f(-1)=1, 求f(x)的解析式. 第6页 (换元法、配凑法) 8.(多选)已知函数f(x)的定义域为[1，+∞)，且f(V区+1)=x+2及，则() A.f(x)=x2+1(x21) B.f(x)的值域为[0，+∞) C.f(2x-3)的定义域为2，+∞)D.f(安)的值域为(0，+∞) 9.已知函数f(x)满足：对任意非零实数x,都有f(x-京)=x3-意，则f(x)的解析式 为 第7页 (x-1,x>0 10.已知=x2-1,g6)={2-xx<0 (1)求g(2)与g2): (2)求gx)与g(x)的表达式. 【1已r0)-{18到-5 (是，x<0，求f(g(x)): 第8页 (方程组法) 11,(1)已知f(x)+2f(-x)=x2+3x+1,求f(x)的解析式； (2)己知函数f(x)满足f(x)+3f(意)=4x+是，则f(x)在区间[2,5]内的最小值是 12.已知方程f(x)+f(1-京)=1+x(x≠0且x≠1)，且g(x)=f(x)+,则 g(x)≥50的解为一 第9页 【变式】已知一次函数fx满足f2x-1)+f(x+1)=2(x-3),则() A.f(x=x-3 B.f(=x-3 C.fx8)=x+3 D f(x)=x+3 第10页