精品解析：河北省部分高中2025-2026学年高一上学期9月阶段性联合测评数学试题

河北省2025级高一年级阶段性联合测评 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（ ） A. 87 B. 90 C. 93 D. 96 6. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 7. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 8. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合为有理数集，则下列式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：________．（填“>”或“<”） 13. 已知集合，若集合中只含有一个元素，则实数m的取值范围为________． 14. 若命题“任意”为假命题，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，且． （1）求a的值及集合B； （2）设全集，求； （3）设全集，若非空集合，求所有集合P的元素之和的总和． 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）求x的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2025级高一年级阶段性联合测评 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定可知， 命题“，有”的否定是，有. 故选：C. 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 3. 若集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的互异性对进行分类讨论即可. 【详解】当时，，违反集合互异性； 当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 故选：B. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 5. 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（ ） A. 87 B. 90 C. 93 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图表示集合，可求解. 【详解】根据题意，设参加动漫社的同学组成集合， 参加志愿者社的同学组成集合，参加篮球社的同学组成集合， 用韦恩图表示集合，可得下图： 所以此次意向调查的总人数为：人. 故选：A 6. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 7. 已知集合，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合B中的元素，从而判断出C中可能的元素，结合子集的个数计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 由于，则C中元素必有，且C中元素多于2个， 其余可能有的元素可从中选取， 故C的个数等于集合的非空子集的个数，为个， 故选：D 8. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为，根据题意得，故， 所以， 则当，解得， 当,时，，符合题意， 当时，此时，不满足集合互异性，故舍去. 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合为有理数集，则下列式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合集合的求解结果和有理数集的性质，对每个选项逐一分析元素与集合、集合与集合的关系，得出答案. 【详解】，由，解得或， 所以. 因为，不在集合中，所以，选项A正确； 是一个集合，所以，选项B错误； 集合中的元素和都是有理数，所以，选项C正确； 集合中的元素都在集合中，所以，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由特例可判断；对B，由平方差公式结合可判断；对C，讨论符号，由不等式性质可判断；对D，由绝对值的定义可判断. 【详解】对于A：若，则，但，A错误； 对于B：，因为，所以， 所以，得，且，B正确； 对于C：若，则由可知，所以； 若，则，由不等式性质可得； 若，则，且由可知，所以. 综上可知，C正确； 对于D：因为，所以，所以， 又，所以，D错误. 故选：BC. 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：________．（填“>”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】通过作差法，将两式相减后分析其符号即可. 【详解】 令函数，其图象为开口向上的抛物线， 故对所有实数成立. 因此， 所以 故答案为：>. 13. 已知集合，若集合中只含有一个元素，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个集合的交集只含有1个元素，可求的取值范围. 【详解】因为，且集合中只含有一个元素， 所以. 故答案为： 14. 若命题“任意”为假命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求全称量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质求得 的取值范围． 【详解】由于“任意”为假命题， 所以“”为真命题， 所以 ， 在区间 上，当 或4 时， 取得最大值为 ，所以 ． 故答案为： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，且． （1）求a的值及集合B； （2）设全集，求； （3）设全集，若非空集合，求所有集合P的元素之和的总和． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得出2是集合B的元素，是方程的解，代入解得a，再解B即可，注意验证； （2）根据A与B求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）求出，列举出 的所有情况，再求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 把 代入方程，解得 ， 当 时，方程 的解为 或， 此时集合，符合 ， 所以，. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为非空集合， 所以可能为 ， 所以所有集合P的元素之和的总和为 . 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【小问1详解】 因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 17. 已知． （1）求x的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据不等式的性质即可求得答案； （3）设，解方程组可求得的值，再结合不等式性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由于， 将两不等式相加可得； 【小问2详解】 由，得， 结合，可得， 即； 【小问3详解】 设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. ， 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由元素在集合中得不等式组，解不等式即可求参数的范围； （2）当时，先求出和两种情况下取值，再求其补集可得； （3）先由题意得到是的真子集，再分和两种情况，当时利用集合的包含关系解不等式组可得. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 所以时可取其补集为. 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以到是的真子集， 当时，由（2）可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得， 又，所以. 综上，实数m的取值范围为. 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）2或10 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与1,4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数. 【小问1详解】 根据差倍集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且. 当时，的可能取值为2或3. 当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，根据，，可得，，. 由于且，所以且，且. 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10. 【小问3详解】 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设 ，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，这6个值分别记为： ，，，，，. 从而有： ，即， ，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果差倍集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时. 再看： 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即； 若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时，即. 再看，将代入，可得. 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，而在时，，与矛盾，故. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数. 因此差倍集中元素个数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $