专题01 集合11类核心题型讲义【期中大突破】-2025-2026学年高一上学期期中数学复习（人教A版必修第一册）

专题01 集合11类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1 核心题型二：根据元素与集合的关系求参数 4 核心题型三：列举法与描述法相互转化 8 核心题型四：根据集合中元素的个数求参数 11 核心题型五：判断子集，真题集的个数 13 核心题型六：根据两个集合包含关系求参数（核心核心核心考点） 15 核心题型七：并集，交集、补集综合计算 19 核心题型八：根据并集运算结果求参数（核心核心核心考点） 21 核心题型九：根据交集运算结果求参数（核心核心核心考点） 24 核心题型十：根据补集运算结果求参数（核心核心核心考点） 27 核心题型十一：容斥原理的应用 30 核心题型一：判断元素与集合，集合与集合的关系 知识扫描 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合与集合的关系： （1）子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的（2）真子集; 记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) 常考题型 单选题 例题1-1（25-26高一上·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【详解】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 例题1-2（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 【答案】B 【分析】将每个集合中的元素表达式统一为分母为 6 的形式，研究分子即可判断. 【详解】对于集合 A：，其中 ， 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 6 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 B：，其中 . 因此，， 分子集合为 . 化简：，令 ， 则 ，即所有除以3 余 1 的整数组成的集合； 对于集合 C：，其中 . 因此，. 分子集合为 ，即所有除以 3 余 1 的整数. 和 都表示除以3 余 1 的整数集合，因此 。 由于分母相同（均为 6），所以 ； 是除以 6 余 1 的整数集合， 因为， 所以除以6 余 1 的数一定除以3 余 1， 但除以3 余 1 的数不一定除以6 余 1， 所以且. 故选：B 对点训练1-1（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】验证各选项可得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于BC，，B，C错误； 对于D，因为，且，D正确. 故选：D 对点训练1-2（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，然后利用元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 对点训练1-3（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集、空集、元素属于等概念的定义来逐一判断选项即可. 【详解】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误； 集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则成立，故B正确； 空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误； 因为空集中不含任何元素，，故D错误． 故选：. 核心题型二：根据元素与集合的关系求参数 知识扫描 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2、常与集合元素互异性搭配考察 常考题型 单选题，多选题 例题2-1（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 例题2-2（2025高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 【答案】(1)，，2. (2)不是；当时，A中的元素是3，，，． (3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解. （2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可. （3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可. 【详解】（1）由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． （3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由（2）知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 对点训练2-1（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 对点训练2-2（2023高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 对点训练2-3（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 核心题型三：列举法与描述法相互转化 知识扫描 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 常考题型 单选题 例题3-1（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 例题3-2（23-24高一上·河南商丘·期中）集合中的元素个数为 ． 【答案】6 【分析】利用4的因数结合集合的描述法一一计算即可. 【详解】因为，即， 所以的可能取值为，分别代入可得， 所以集合中共有6个元素. 故答案为：6 对点训练3-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 故答案为： 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题. 对点训练3-2（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 对点训练3-3（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 核心题型四：根据集合中元素的个数求参数 方法总结 （1）一元二次方程的根通常使用判别法 （2）解题时注意不要忽略了空集 常考题型 单选题、多选题、解答题 例题4-1（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 例题4-2（2025高一·全国·专题练习）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】． 【分析】分当时与当时讨论，当时相当于二次函数有解. 【详解】当时，,符合题意； 当时，要使集合中至少有一个元素， 则关于的方程有实数根，则，得,且. 综上所述，若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围为． 对点训练4-1（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 对点训练4-2（24-25高三上·河南·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 【答案】0或 【分析】由题意知中只含有一个元素，分和两种情况讨论即可； 【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：或． 对点训练4-3（23-24高三上·江苏南通·期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】二次项系数进行分类讨论，结合方程的根的性质计算即可得. 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 核心题型五：判断子集，真题集的个数 知识扫描 1、公式法 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2、列举法：将集合的子集（真子集）一一列举出来 常考题型 单选题、填空题 例题5-1（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成， 所以满足的集合有（个）． 故选：B． 例题5-2（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 【答案】15 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】是自然数集，，需要舍去， 所以满足“， 若，则”的集合是集合的非空子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， 所以将集合看作有4个元素，其非空子集个数为. 故答案为：15. 对点训练5-1（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由集合相等分情况讨论得到所求集合，再求子集可得. 【详解】由题意可得，当时，，此时； 当时，或，此时； 所以集合， 所以非空子集的个数为3个. 故选：B. 对点训练5-2（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 对点训练5-3（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 核心题型六：根据两个集合包含关系求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、子集关系空集优先考虑 2、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题6-1（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【分析】根据集合的包含关系，建立不等式即可解出结果. 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得.    综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以.    综上所述，的取值范围为. 例题6-2（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程有唯一解列式计算即可； （2）先求解一元二次方程化简集合A，由得，结合判别式分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以关于的方程有两个相等的实数根， 则，解得，故实数的取值范围为. （2）， 因为，所以，则， 所以可能为. ①若，则，解得或； ②若，则，所以，解得； ③若，则，无解，即； ④若，则，无解，即. 综上，或. 对点训练6-1（24-25高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 对点训练6-2（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 对点训练6-3（2025高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 核心题型七：并集，交集、补集综合计算 例题7-1（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则整数集可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得真包含于，真包含于，结合韦恩图求解即可. 【详解】由， ， 则真包含于，真包含于，如图，    由韦恩图可知，，，，. 故选：C. 例题7-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合B，再根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， 结合全集，集合， 得， 故选：B 对点训练7-1（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的描述确定集合中的元素，再根据补集的定义求出 【详解】已知,表示是自然数,表示也是自然数 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,,不满足 所以集合 已知全集,根据补集的定义：对于一个集合,它的全集中的补集是由所有不属于但属于的元素组成 集合,在全集中去掉集合中的元素 得到. 故选: 对点训练7-2 （2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可. 【详解】由题，是偶数， 对于，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故错误； 对于D，，， 则，故D正确. 故选：D 对点训练7-3（25-26高三上·北京·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合A的补集，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由，得， 结合，得. 故选：A 核心题型八：根据并集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题8-1（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 例题8-2（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据得到，根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 对点训练8-1（2024·湖北·一模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可； 【详解】由解得， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：C. 对点训练8-2（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知集合，. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集和交集定义直接求解即可； （2）根据并集结果可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）， 又，. （2），，又，，解得：， 即实数的取值范围为. 对点训练8-3（24-25高一上·江西南昌·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据交集的定义即可求解, （2）由或，即可根据求解. 【详解】（1）由，得，所以． （2）依题意，或， 因为，所以解得， 故的取值范围为． 核心题型九：根据交集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题9-1（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 例题9-2（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由补集及并集运算即可求解； （2）由和两类情况讨论，列出不等式求解即可. 【详解】（1）或. 或. （2）由， 则①当时，由，解得； ②当时，或 解得或． 综上，实数的取值范围为． 对点训练9-1（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【详解】（1）因为集合 ， 所以 ， 解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. （2）因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 对点训练9-2（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 对点训练9-3（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可； （2）由，分和两种情况讨论求参数即可； 【详解】（1）因为，所以． 当时，，解得； 当时，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）由题意，需分和两种情形进行讨论： 当时，由（1）得； 当时，因为，所以解得，或无解． 综上所述，的取值范围为． 核心题型十：根据补集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题10-1（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知，应用集合的交补运算求； （2）由交集结果列不等式组求参数范围即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以或，则. （2）因为或，又，且， 所以，解得，故实数的取值范围为. 例题10-2（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 对点训练10-1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）化简集合，根据集合的交并补运算求解； （2）要分M等于空集和不等于空集两种情况讨论．再根据已知求出a的取值范围． 【详解】（1）， 集合，故或， 则. （2）或， 当时，，，合题意； 当时，或， 所以， 综上可得，的取值范围为. 对点训练10-2（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知. (1)若，求及； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先得到集合，再根据交集、并集的定义计算可得； （2）先求出，在分别讨论与两种情况下，即可求解. 【详解】（1）当时， 故，； （2）由题意知 ①当时，则，即，此时 ②当时，即， 因为，所以，故 综上知， 对点训练10-3（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)若，求实数的值； (2)若写出集合的所有真子集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后结合集合包含关系即可求解； （2）结合集合的基本运算及子集的求法即可求解． 【详解】（1）由题意得，， ，解得，实数的值为； （2）因为所以 集合的所有真子集为：． 核心题型十一：容斥原理的应用 方法总结 一般地，对任意两个有限集, 常考题型 单选题、填空题 例题11-1（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 例题11-2（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 对点训练11-1（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 对点训练11-2（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 对点训练11-3（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合11类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：判断元素与集合，集合与集合的关系 1 核心题型二：根据元素与集合的关系求参数 2 核心题型三：列举法与描述法相互转化 4 核心题型四：根据集合中元素的个数求参数 5 核心题型五：判断子集，真题集的个数 5 核心题型六：根据两个集合包含关系求参数（核心核心核心考点） 6 核心题型七：并集，交集、补集综合计算 8 核心题型八：根据并集运算结果求参数（核心核心核心考点） 9 核心题型九：根据交集运算结果求参数（核心核心核心考点） 10 核心题型十：根据补集运算结果求参数（核心核心核心考点） 12 核心题型十一：容斥原理的应用 14 核心题型一：判断元素与集合，集合与集合的关系 知识扫描 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2集合与集合的关系： （1）子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的（2）真子集; 记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) 常考题型 单选题 例题1-1（25-26高一上·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 例题1-2（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）若集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B．AB=C C．B=CA D．BC=A 对点训练1-1（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 对点训练1-2（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 对点训练1-3（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 核心题型二：根据元素与集合的关系求参数 知识扫描 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 2、常与集合元素互异性搭配考察 常考题型 单选题，多选题 例题2-1（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ． 例题2-2（2025高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 对点训练2-1（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 对点训练2-2（2023高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 . 对点训练2-3（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 核心题型三：列举法与描述法相互转化 知识扫描 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 常考题型 单选题 例题3-1（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 例题3-2（23-24高一上·河南商丘·期中）集合中的元素个数为 ． 对点训练3-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）用列举法表示集合 ． 对点训练3-2（23-24高一上·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 对点训练3-3（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 核心题型四：根据集合中元素的个数求参数 方法总结 （1）一元二次方程的根通常使用判别法 （2）解题时注意不要忽略了空集 常考题型 单选题、多选题、解答题 例题4-1（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题4-2（2025高一·全国·专题练习）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 对点训练4-1（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 对点训练4-2（24-25高三上·河南·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 对点训练4-3（23-24高三上·江苏南通·期末）集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 核心题型五：判断子集，真题集的个数 知识扫描 1、公式法 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 2、列举法：将集合的子集（真子集）一一列举出来 常考题型 单选题、填空题 例题5-1（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 例题5-2（25-26高一上·全国·课后作业）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为 . 对点训练5-1（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 对点训练5-2（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 对点训练5-3（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 核心题型六：根据两个集合包含关系求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、子集关系空集优先考虑 2、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题6-1（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知或.若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 例题6-2（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 对点训练6-1（24-25高一上·广东江门·阶段练习）（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 对点训练6-2（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 对点训练6-3（2025高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 核心题型七：并集，交集、补集综合计算 例题7-1（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则整数集可以表示为（   ） A． B． C． D． 例题7-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 对点训练7-1（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 对点训练7-2 （2025高一上·全国·专题练习）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 对点训练7-3（25-26高三上·北京·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 核心题型八：根据并集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题8-1（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题8-2（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 对点训练8-1（2024·湖北·一模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对点训练8-2（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）已知集合，. (1)求集合； (2)设集合，且，求实数的取值范围. 对点训练8-3（24-25高一上·江西南昌·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 核心题型九：根据交集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题9-1（25-26高一上·全国·课后作业）设已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 例题9-2（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）设全集U=R,已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 对点训练9-1（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 对点训练9-2（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 对点训练9-3（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 核心题型十：根据补集运算结果求参数（核心核心核心考点） 方法总结 1、 2、子集关系空集优先考虑 3、借助数轴解决集合的包含关系 常考题型 单选题、填空题、解答题 例题10-1（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 例题10-2（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 对点训练10-1（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求； (2)已知集合，若，求实数a的取值范围. 对点训练10-2（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知. (1)若，求及； (2)若，求的取值范围. 对点训练10-3（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)若，求实数的值； (2)若写出集合的所有真子集． 核心题型十一：容斥原理的应用 方法总结 一般地，对任意两个有限集, 常考题型 单选题、填空题 例题11-1（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 例题11-2（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 对点训练11-1（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 对点训练11-2（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 对点训练11-3（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $