第3章幂、指数与对数单元检测（提高卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1.（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中）在实数范围内，的四次方根是______． 【详解】由指数运算可知，， 所以的四次方根是或， 故答案为：. 2．（2024春•黄浦区期中）计算：　　． 【分析】先进行积的乘方运算，再应用幂的乘方运算法则进行计算，再应用负指数幂法则进行计算，再用乘方运算即可得出答案． 【解析】原式 ． 故答案为：． 3.（2023-24高一上上海闵行期中）化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 4. （2024-25金山中学高一上期中）将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【详解】 故答案为： 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 6.（2023-24高一上上海校级阶段练习）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把对数式化为指数式即可得出． 【详解】方程，化为：x． 故选：D． 7.（2023-24高一上上海校级阶段练习）计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 8. （2023学年控江中学高一上期中）已知，用表示=_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算公式化简，求得所求表达式. 【详解】依题意. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【解题思路】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【解答过程】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 10.（2023-24高一上上海校级阶段练习）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由 ， 所以 故选：A 11．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】给先平方再开方计算即可. 【详解】，所以． 故答案为:． 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【解题思路】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【解答过程】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：. 二、选择题 13．（2023-24高一上上海校级阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根及n次方根可进行求解． 【详解】解：A、由可得，故原计算错误； B、由可知，故原计算错误； C、由可得，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查立方根及n次方根，正确计算是解题的关键． 14. （2024-25洋泾中学高一上期中）若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【详解】由，，，，知： 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 15．（2024-25高一上上海校级阶段练习）已知，且，，则等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析： 故选D. 考点：对数的运算 16.（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 【解题思路】根据对数的运算性质即可求解. 【解答过程】， 所以是15位数. 故选：B. 三、解答题 17.（2023-24高一上上海校级阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【解题思路】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【解答过程】（1）; （2）； （3）. 18.（2023-24高一上上海校级阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【解题思路】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【解答过程】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 19．（2023-24高一上上海校级阶段练习）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【解答过程】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 20．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【解答过程】（1） ， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 21.（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1.（2024-25上海交大附中嘉定分校高一（上）期中）在实数范围内，的四次方根是______． 2．（2024春•黄浦区期中）计算：　　． 3.（2023-24高一上上海闵行期中）化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 4. （2024-25金山中学高一上期中）将（其中）化为有理数指数幂的形式为______. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2023-24高一上上海校级阶段练习）方程的解为（　　） A． B． C． D． 7.（2023-24高一上上海校级阶段练习）计算：的值为（    ） A． B． C．1 D． 8. （2023学年控江中学高一上期中）已知，用表示=_______ 9．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 10.（2023-24高一上上海校级阶段练习）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 11．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的值为 ． 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 二、选择题 13．（2023-24高一上上海校级阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14. （2024-25洋泾中学高一上期中）若，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 15．（2024-25高一上上海校级阶段练习）已知，且，，则等于 A． B． C． D． 16.（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 三、解答题 17.（2023-24高一上上海校级阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 18.（2023-24高一上上海校级阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 19．（2023-24高一上上海校级阶段练习）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 20．（24-25高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 21.（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $