第5章二元一次方程组 重点例题与习题2025～2026学年北师大版（2024）八年级上册数学

回归教材系列 2025～2026学年北师大版八年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：北师大版八年级上册数学第5章 二元一次方程组 1.甲种物品每个，乙种物品每个现有甲种物品个，乙种物品个，共． 列出关于，的二元一次方程          ； 若，则          ； 若乙种物品有个，则甲种物品有          个． 2.如图中的两条直线，的交点坐标可以看作方程组          的解． 3.解下列方程组： 4.下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组的解？ 5. 找到几组适合方程的，的值； 找到几组适合方程的，的值； 找出一组，的值，使它们同时适合方程和； 根据上面的结论，请直接写出二元一次方程组的解． 6. 小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了苹果和梨，共花了元；小丽买了同样品种的苹果和同样品种的梨，共花了元．这种苹果和梨的价格各为多少？ 根据题意，小明列出方程组 而小丽列出的是 交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的．他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ 7. 解二元一次方程组 你可以用哪些方法得到方程组的解？请你对这些方法进行比较． 8. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干？选自算法统宗 题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？ 9. 一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？选自算法统宗题目大意：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？ 回顾雉兔同笼问题和上述问题，比较它们列出的方程组，说说两者的共同点． 10. 今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？选自九章算术 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．甲、乙两人各带了多少钱？ 11.小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．你能确定小明在时看到的里程碑上的数吗？ 是一个两位数，它的两个数字之和为． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个． 12.一、二两班共有名学生，他们的体育达标率达到标准的百分率为如果一班学生的体育达标率为，二班学生的体育达标率为，那么一、二两班各有多少名学生？ 设一班有名学生，二班有名学生，填写下表并求出，的值． 人数 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 13.已知方程组的解是试求直线与交点的坐标． 14.已知直线与交点的坐标为，试确定方程组的解和的值． 15.对于密闭容器内的气体，其压强单位：是温度单位：的一次函数．现测得某密闭容器内气体的压强与温度之间的关系如图所示． 求时该容器内气体的压强； 通常情况下，当压强不超过时，该容器是安全的否则会有破裂甚至爆炸的风险，求该容器的安全温度超过该温度就有安全风险． 16. 汽车出发前油箱内有油，行驶一段时间在加油站加油若干升．汽车出发后，油箱中的剩余油量单位：与行驶时间单位：之间的关系如图所示． 汽车行驶          在加油站加油          L. 求加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式． 如果加油前、加油后汽车都以的速度匀速行驶，加油站距离目的地，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 17.一个三位数，各数位上的数字和是，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的倍比个位数字、十位数字的和大求这个三位数． 18.一个三位数，十位数字比个位数字大，百位数字是十位数字的倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小求原来的三位数． 19.已知和都是方程的解，求与的值． 20.在代数式中，当，，时，代数式的值依次是，，． 求，，的值； 当时，求这个代数式的值． 21. 今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？选自九章算术 将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出钱，则多出钱；若每人出钱，则又少钱．求总人数及物品总价．如果设有人，物品总价为，那么可列出二元一次方程组 求解这个二元一次方程组； 查阅资料，了解九章算术的求解方法． 22. 如图单位：，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起． 设个这种盘子摞在一起的高度为，求与之间的关系式； 求个这种盘子摞在一起的高度． 答案和解析 1.【答案】【小题】 【小题】    【小题】   2.【答案】  3.【答案】【小题】 解：，得， 解得将代入，得． 所以原方程组的解是 【小题】 将代入，得，解得． 将代入，得． 所以原方程组的解是 【小题】 由，得 将代入，得，解得． 将代入，得． 所以原方程组的解是 【小题】 ，得，解得． 将代入，得． 所以原方程组的解是 【小题】 将分别代入，得 解由组成的方程组，得 将，代入，得． 所以原方程组的解是   4.【答案】【小题】 解：满足第一个方程，不满足第二个方程； 【小题】 既满足第一个方程，也满足第二个方程； 【小题】 既不满足第一个方程，也不满足第二个方程； 【小题】 不满足第一个方程，满足第二个方程．   5.【答案】【小题】 解：适合方程的，的值有 ，； ，； ，等． 【小题】 适合方程的，的值有 ，； ，； ，等． 【小题】 ，同时适合方程和． 【小题】 方程组的解为   6.【答案】解：若设每千克苹果元，每千克梨元，则小明列出的方程组正确．若设每千克梨元，每千克苹果元，则小丽列出的方程组正确．他们产生分歧的原因是设的未知数不同．  7.【答案】【小题】 解： ，得，即 ，得，即 ，得，解得． 将代入，得． 所以原方程组的解是 【小题】 可以将方程组中括号内各项展开得到方程组解得 另解：直接利用的结论得 解得 比较：另解运用了整体思想和化归思想．   8.【答案】解：设绳长尺，井深尺，根据题意，得 ，得，解得． 将代入，得． 所以绳长尺，井深尺．   9.【答案】【小题】 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意，得 解得 所以大和尚有人，小和尚有人． 【小题】 方程组中都含有两个方程，且每个方程中都含有两个未知数，含未知数的项的次数为合理即可   10.【答案】解：设甲带了钱，乙带了钱，则 解得 所以甲带了钱，乙带了钱．   11.【答案】解：设小明在时看到的数的十位数字是，个位数字是， 根据题意，得 解这个方程组，得 所以，小明在时看到的里程碑上的数是．   12.【答案】解：学生人数从左向右依次填，，达标学生人数从左向右依次填，，． 根据题意，得 化简，得 解得 所以甲班有名学生，乙班有名学生．   13.【答案】解：因为方程组的解是 所以直线与的交点坐标为．   14.【答案】解：因为直线与的交点坐标为， 所以方程组的解为 把点的坐标代入中，得， 所以．   15.【答案】【小题】 解：设压强与温度之间的函数表达式为， 把，分别代入，得 解得则． 当时，，即时该容器内气体的压强为． 【小题】 由题图知，随着温度的增加，压强变大，当时，，解得． 所以该容器的安全温度是．   16.【答案】【小题】     【小题】 设加油前油箱剩余油量与行驶时间的函数关系式为． 根据题意，得解得 所以函数关系式为． 【小题】 够用．理由：加油前汽车行驶所用时间为，此时用油量为，而中途加油后油箱中剩余油量为． 因为汽车加油前与加油后行驶的速度相同， 所以行驶相同的路程所用的油量也相同， 所以加油后行驶的用油量也是． 因为，所以油箱中的油够用．   17.【答案】解：设这个三位数的个位数字为，十位数字为，百位数字为， 根据题意，得解得 所以这个三位数是．   18.【答案】解：设原来的三位数的个位数字为，十位数字为，百位数字为， 根据题意，得 解得所以原来的三位数是．   19.【答案】解：把和分别代入方程， 得解得   20.【答案】【小题】 解：由题意，得解得 【小题】 由可知，当时，．   21.【答案】解： 将代入，得， 由题意知，解得． 把代入，得． 所以这个二元一次方程组的解为   22.【答案】【小题】 解：设与之间的关系式为． 根据题意，得解得 所以与之间的关系式为． 【小题】 当时，． 所以个这种盘子摞在一起的高度是． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $