第五章 二元一次方程组【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了二元一次方程组的概念、两种解法、四大应用题、与一次函数的数形结合及三元一次方程组，通过全章知识点汇总构建从概念到应用的逻辑脉络，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于设置高频易错集锦培养数学思维的严谨性，分类型应用题（如鸡兔同笼、增收节支）强化模型意识，分层习题从基础计算到综合应用适配不同学生，教师可借助结构化知识框架和典型例题提升复习效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月30日 章末小结 第五章 二元一次方程组 第五章 二元一次方程组 全章知识点汇总+习题 第五章 二元一次方程组【全章总复习】 本章全部内容：概念→两种解法→四大应用题→函数数形结合→三元一次方程组，是八年级上册核心重难点，期末必考大题、计算题。 --- 5.1 认识二元一次方程组 一、核心概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 2. 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，共含两个未知数的方程组。 3. 方程组的解：同时满足两个方程的一组未知数的值，必须用大括号联立。 二、关键判断标准 ① 只有2个未知数；② 未知数次数为1；③ 整式方程（分母不含未知数）。 二元一次方程有无数组解；二元一次方程组一般有唯一一组解。 --- 5.2 求解二元一次方程组 5.2.1 代入消元法 1. 适用场景 方程中有未知数系数为 $$1$$ 或 $$-1$$，变形简单。 2. 步骤 变（用一个未知数表示另一个）→代（代入另一方程）→解（一元一次方程）→回代→写解 5.2.2 加减消元法（重点） 1. 核心规则 系数相同相减，系数相反相加；系数不同先配平（同乘最小公倍数）。 2. 标准步骤 看未知数→配平系数→加减消元→解一元方程→回代求元→写解检验 3. 口诀 同系数减，反系数加；系数不同先配平，每项同乘不落下。 --- 5.3 二元一次方程组的应用（四大必考应用题） 通用解题六步法 审题意→设两未知数→找两组等量关系→列方程组→求解→验答（实际问题必检验） 5.3.1 古算问题 常见模型：鸡兔同笼、盈不足、持钱问题、和差倍分。 关键：翻译文言文，提取和、差、盈、不足、倍等量关系。 5.3.2 增收节支问题 核心公式： $$\text{收入}-\text{支出}=\text{结余}$$ $$\text{现量}=\text{原量}\times(1\pm\text{增长率/降低率})$$ 通用设元：设去年/原来的收入为x，支出为y。 5.3.3 几何与行程问题 1. 几何问题 依托周长、边长和差、角度和差（内角和180°、互余互补）列等量。 2. 行程问题 相遇：路程和=总路程；追及：路程差=距离差； 航行：$$\text{顺水}=v_\text{静}+v_\text{水}$$，$$\text{逆水}=v_\text{静}-v_\text{水}$$ --- 5.4 二元一次方程组与一次函数（数形结合） 5.4.1 二元一次方程与一次函数 1. 二元一次方程 $$ax+by=c$$ 可化为一次函数 $$y=kx+b$$，图像是直线。 2. 方程的解 ↔ 直线上点的坐标。 3. 两直线位置与方程组解的关系： 相交（k不同）→唯一解；平行（k同b不同）→无解；重合（k、b都同）→无数解。 5.4.2 用方程组确定一次函数表达式 必考五步法：设 $$y=kx+b$$ → 代入两点坐标 → 列二元方程组 → 解k、b → 回代写解析式。 --- 5.5 三元一次方程组 核心思想：消元：三元 → 二元 → 一元 核心要求：两次消去同一个未知数，不乱消元。 最优技巧：优先消系数为±1、系数最小的未知数。 解题口诀：三消二、二消一，固定消元不乱移；两次同消一个元，回代三数全解齐。 --- 全章高频易错汇总（期末防扣分） 1. 方程组的解必须加大括号，单独写x=、y=会扣分。 2. 加减消元配平时，所有项含常数项必须同乘。 3. 两式相减时，后式全部变号，不是只变第一项。 4. 应用题必须检验：人数、钱数、边长、速度均为正数整数。 5. 平行直线方程组无解，重合直线有无数组解，不要混淆。 6. 三元方程组必须两次消同一个元，否则无法求解。 --- 全章综合基础习题 一、计算题 1. 代入法：$$\begin{cases} y=2x-1 \\ 3x+2y=12 \end{cases}$$ 2. 加减法：$$\begin{cases} 2x+3y=11 \\ 3x-2y=8 \end{cases}$$ 3. 三元一次：$$\begin{cases} x+y+z=9 \\ x-y=1 \\ z-x=2 \end{cases}$$ 二、应用题 1. 鸡兔同笼：上有40头，下有112足，求鸡兔数量。 2. 增收节支：去年结余20万，今年收入增10%，支出减15%，结余45万，求去年收入、支出。 3. 行程问题：甲乙相距60km，相向3小时相遇，同向6小时甲追上乙，求甲乙速度。 三、函数题 已知一次函数过(2,4)、(-1,-5)，求函数表达式。 --- 综合习题参考答案 一、计算题 1. $$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$$ 2. $$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$$ 3. $$\begin{cases}x=2\\y=1\\z=6\end{cases}$$ 二、应用题 1. 鸡24只，兔16只。 2. 去年收入200万，支出180万。 3. 甲速15km/h，乙速5km/h。 三、函数题 $$y=3x-2$$ 全章终极总结 本章所有题型只有一个核心：找两个等量，列两个方程，消元求未知数。 计算优先：有±1用代入，无±1用加减； 应用优先：读懂题意抓和差、倍分、收支、路程关系； 几何函数：掌握数形对应，两点定一线，交点即方程组解。 二元一次方程组 学习思路 概念 解法 应用 联系 学习方法 方程思想 消元思想 化归思路 模型思想 类比思想 学习内容 二元一次方程、二元一次方程组 基本思路：消元 实际应用 二元一次方程(组)与一次函数、 三元一次方程组 一、二元一次方程组 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程. 解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解. 一、二元一次方程组 2.二元一次方程组 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组. 解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解. 二、解二元一次方程组 1.代入消元法 将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程. 代入法解二元一次方程组的步骤： 1. 变形：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 2. 代入：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 4. 代回：将求出的未知数的值代入原方程组，求另一个未知数的值. 5. 写解：把求得的两个未知数的值用“{”联立，就是方程组的解. 二、解二元一次方程组 2.加减消元法 通过两式相加(或相减)消去其中一个未知数. 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1. 变形：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等. 2. 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数得到一个一元一次方程. 3. 求解：解这个一元一次方程，求得一个未知数的值. 4. 代回：将求出的未知数的值代入原方程组，求出另一个未知数的值. 5. 写解：把求得的两个未知数的值用“{”联立起来，就是方程组的解. 三、列二元一次方程组解决实际问题 检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解 解方程组 列出二元一次方程组 实际问题 分析题意 找出两个 等量关系 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1) 审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量. (2) 找：找出能够表示题意的两个等量关系. (3) 设：用字母表示题中的两个未知数. (4) 列：根据找出的两个等量关系列出所需的代数式，从而列出方程组. (5) 解：解方程组. (6) 验：检验所得的解是不是方程组的解，并且要检验是否符合题意，不符合的要舍去. (7) 答：写出答案，包括单位名称. 三、列二元一次方程组解决实际问题 从甲调出一部分给乙，则乙增加了这部分， 甲就相应地减少了这部分. 收入增长：现收入=原收入×(1+增长率) 支出节约(负增长)：现支出=原支出×(1-节约率) 调配问题 “增收节支”类问题 三、列二元一次方程组解决实际问题 抓住几何量(边长、周长、面积)的不变性或 组合关系. 图形类问题 1. 总量不变关系 2. 成分含量不变关系：混合前甲成分含量+混合 前乙成分含量=混合后总成分含量 核心是围绕“物品之间的配套比例”建立等量关系 配制问题 配套问题 三、列二元一次方程组解决实际问题 三、列二元一次方程组解决实际问题 火车完全过桥路程关系： 桥长+火车长=火车速度×过桥时间 火车完全在桥上路程关系： 桥长-火车长=火车速度×完全在桥时间 火车过桥火车交汇类问题 考点1 二元一次方程(组)的有关概念 1.下列方程组： ① ② ③ ④ 其中是二元一次方程组的是(　　) A.①②　　 B.③④ C.①②④　 D.①②③ 返回 C 思想方法 整合 2.已知(m－1)x｜m｜＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝　　　. 返回 0 思想方法 整合 3.若关于x，y的二元一次方程组的解是则 关于x，y的方程组的解是　　　　　. 返回 思想方法 整合 【点拨】将方程组整理得又因为关于x，y的二元一次方程组的解是 所以关于x，y的方程组的解满足解得 返回 思想方法 整合 考点2 三元一次方程组 4.下列方程组中是三元一次方程组的是(　　) A. 　　B. C.　　D. 返回 C 思想方法 整合 5.已知三角形的周长为30，三边长分别是a，b，c，且a＋2b－c＝13，2a＝c＋3，则三角形的三边长分别为　 　　　. 返回 8，9，13 思想方法 整合 【点拨】因为三角形的周长为30，三边长分别是a，b，c，所以a＋b＋c＝30.联立，得解得所以三角形的三边长分别为8，9，13. 返回 思想方法 整合 考点3 方程组的解法 6. 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定＝ad－bc，已知x，y同时满足＝5，＝1，则x＋y＝　　　. 返回 －1 核心考点 整合 【点拨】因为＝5，＝1，所以联立可得①×3－②，得7x＝14，解得x＝2.将x＝2代入①，得8＋y＝5，解得y＝－3.所以x＋y＝2－3＝－1. 返回 核心考点 整合 7.解下列方程组： (1) 返回 【解】把①代入②，得2(4y＋1)－5y＝8，解得y＝2.把y＝2代入①，得x＝4×2＋1＝9. 所以方程组的解为 思想方法 整合 (2) 返回 【解】原方程组整理得 思想方法 整合 ②×5，得－5x＋25y＝40，③ ①＋③，得14y＝28，解得y＝2. 把y＝2代入②，得－x＋5×2＝8，解得x＝2， 所以原方程组的解为 返回 思想方法 整合 考点4 二元一次方程(组)的应用 8.中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，问绳索、竹竿各有多长？该问题中的竹竿长为 　　尺. 返回 15 思想方法 整合 【点拨】设绳索长为x尺，竹竿长为y尺.根据题意，得 解得所以竹竿长为15尺. 返回 思想方法 整合 9. 某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A，B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1 300元. (1)A，B两种航模每件的价格分别为多少元？ 返回 【解】设每件A型航模的价格为x元，每件B型航模的价格为y元， 思想方法 整合 根据题意得解得 所以每件A型航模的价格为200元，每件B型航模的价格为300元. 返回 思想方法 整合 (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？ 返回 【解】设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得200×0.9m＋300×0.9n＝990， 所以m＝. 思想方法 整合 又因为m，n均为正整数， 所以或 所以张老师共有2种购买方案： 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模. 返回 思想方法 整合 考点5 二元一次方程(组)与一次函数的关系 10.点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 D 思想方法 整合 11. ［2026青岛期末］一次函数y1＝kx＋5与一次函数y2＝2x＋k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P(2，m)，与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点.则下列结论： ①一元一次方程kx＋5＝m的解为x＝2； ②k＝－； ③方程组的解为 ④四边形AODP的面积为. 其中正确的是(　　) A.①②③　　 B.②③④　 C.①②④ D.①③④ 返回 D 思想方法 整合 【点拨】因为一次函数y1＝kx＋5与一次函数 y2＝2x＋k在同一坐标系中，两条直线交于点 P(2，m)，所以一元一次方程kx＋5＝m的解 为x＝2，2k＋5＝4＋k，故①正确；由2k＋5 ＝4＋k，解得k＝－1，故②错误；因为k＝－1，所以y1＝－x＋5，y2＝2x－1. 返回 思想方法 整合 把P(2，m)的坐标代入y1＝－x＋5，得－2＋5＝m，所以 m＝3，所以P(2，3)，所以方程组的解为 故③正确；因为y1＝－x＋5，y2＝2x－1 ，所以 当x＝0时，y1＝5；当y2＝0时，由2x－1＝0，得x＝.所以A(0，5)，D.连接OP，所以四边形AODP的面积＝×5×2＋××3＝，故④正确.综上，正确的是①③④，故选D. 返回 思想方法 整合 思想1 建模思想 12.［2026上海嘉定区期末］在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分.则小丽的4次飞镖总分是　　　分. 返回 30 思想方法 整合 思想2 整体思想 13. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法. 解：将②变形，得4x＋10y＋y＝5， 即2(2x＋5y)＋y＝5.③ 把①代入③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1. 把y＝－1代入①，得2x－5＝3，解得x＝4. 所以原方程组的解为 返回 思想方法 整合 请你解答以下各题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 返回 【解】将②变形，得3(3x－2y)＋2y＝19，③ 把①代入③，得3×5＋2y＝19，解得y＝2. 把y＝2代入①，得3x－4＝5，解得x＝3. 所以原方程组的解为 思想方法 整合 (2)已知x，y满足方程组 求x2＋4y2和xy的值. 返回 【解】由②，得2(x2＋4y2)＋xy＝36， 所以xy＝36－2(x2＋4y2).③ 由①，得3(x2＋4y2)－2xy＝47，④ 把③代入④，得3(x2＋4y2)－2［36－2(x2＋4y2)］＝47， 所以x2＋4y2＝17， 把x2＋4y2＝17代入③，得xy＝2. 思想方法 整合 $