3.3一元一次方程的应用 讲义2025-2026学年沪科版数学七年级上册

3.3 一元一次方程的应用 学习目标 1. 能正确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系。 2. 能根据等量关系列出一元一次方程解决不同类型的实际应用问题。 3. 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。 4. 提高运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学的应用价值。 知识点讲解 列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1. 审：审题仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设：设未知数选择一个适当的未知量设为未知数，通常用字母 ( x ) 表示。设未知数时要写明单位。 3. 列：列方程根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。 4. 解：解方程求出所列方程的解。 5. 验：检验检验所求得的解是否符合原方程，同时还要检验是否符合实际意义。 6. 答：作答写出答案，包括单位名称。 常见的等量关系类型： · 和差倍分关系：即部分量之和等于总量，或一个量是另一个量的几倍多（少）几。 · 行程问题：路程 = 速度 × 时间。常见有相遇问题（路程和 = 速度和 × 相遇时间）、追及问题（路程差 = 速度差 × 追及时间）。 · 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。 · 销售盈亏问题：利润 = 售价 - 成本（进价）；利润率；售价 = 成本 × (1 + 利润率) 或 售价 = 标价 × 折扣率。 · 配套问题：某几种部件搭配成一套，部件数量之间满足一定的比例关系。 · 比赛积分问题：总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分（或根据具体比赛规则确定）。 · 方案选择问题：根据不同的优惠方案或策略，通过计算比较，选择最优方案。 · 数字问题：表示一个多位数时，各数位上的数字与其数位值有关（如：一个两位数，十位数字为 ( a )，个位数字为 ( b )，则这个两位数可表示为 ( 10a + b )）。 · 几何问题：涉及图形的周长、面积、体积等公式的应用（注意题目要求，本章避免图形题，侧重数量关系）。 · 电水费问题：通常涉及分段计费，不同阶段单价不同。 知识点讲解 列一元一次方程解应用题，关键在于准确找到题目中的等量关系。等量关系是指题目中描述的数量之间具有相等关系的语句。找到等量关系后，用含未知数的代数式表示出相关的量，即可列出方程。 在设未知数时，可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 例题解析 一、配套问题 例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 二、工程问题 例题2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要几天完成这项工程？ 三、销售盈亏 例题3：某商店将一件商品按进价提高50%后标价，再打八折销售，售价为240元。这件商品的进价是多少元？ 四、比赛积分 例题4：某足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分。这支球队在前8场比赛中，胜了多少场？ 五、方案选择 例题5：某通讯公司推出两种移动电话计费方式： 方式一：月租费30元/月，本地通话费0.30元/分钟。 方式二：月租费0元/月，本地通话费0.40元/分钟。 设一个月内本地通话时间为 x 分钟，两种计费方式的费用分别为元和元。 （1）分别写出、 与 x 之间的函数关系（不用写 x 的取值范围）。 （2）一个月内通话多少分钟，两种方式的费用相同？ （3）若某人预计一个月内使用本地通话费120元，则选择哪种方式更合算？ 六、数字问题 例题6：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的。求这个两位数。 七、几何问题 (避免图形，侧重数量关系) 例题7：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长是宽的2倍。求这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 八、和差倍问题 例题8：某班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人。这个班男生和女生各有多少人？ 九、电水费问题 例题9：某市居民生活用电基本价格为每千瓦时0.50元，若每月用电量超过a千瓦时，超出部分按基本电价的120%收费。 （1）某户居民5月份用电100千瓦时，共交电费56元，求a的值。 （2）若该户居民6月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？ 十、行程问题 例题10：A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为80千米/小时，乙车速度为70千米/小时，经过多少小时两车相遇？ 十一、其他问题 (年龄问题) 例题11：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。求今年父亲和儿子的年龄。 巩固练习 一、配套问题 1. 某工厂生产一批零件，甲车间单独生产需要10天完成，乙车间单独生产需要15天完成。若两车间同时生产，多少天可以完成这批零件的？ 二、工程问题 2. 一项工作，甲单独做需8小时完成，乙单独做需12小时完成。甲先做2小时后，剩下的由甲乙合作完成，还需要几小时？ 三、销售盈亏 3. 某商品进价为100元，标价为150元。商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售该商品？ 四、比赛积分 4. 某篮球队参加了10场比赛，共得16分。已知胜一场得2分，负一场得1分。该篮球队胜了多少场？负了多少场？ 五、方案选择 5. 某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的6倍，问最多能购进多少件B商品？ 六、数字问题 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是7。若把十位数字与个位数字对调，得到的新两位数比原两位数大9。求原两位数。 七、几何问题 7. 一个三角形的周长是24cm，其中两条边的长度分别是8cm和9cm，求第三边的长度。 八、和差倍问题 甲、乙、丙三个数的和是360，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。求甲、乙、丙 九、电水费问题 某地居民生活用水收费标准如下：每月用水量不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的 十、行程问题 10. 小明和小亮从同一地点同时出发，沿同一路线去学校。小明步行，速度为5千米/小时；小亮骑自行车，速度为15千米/小时。小亮比小明早到20分钟，求出发地到学校的距离。 十一、其他问题 (年龄问题) 11. 现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍。现在父子俩的年龄各是多少岁？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 一元一次方程的应用 学习目标 1. 能正确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系。 2. 能根据等量关系列出一元一次方程解决不同类型的实际应用问题。 3. 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。 4. 提高运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学的应用价值。 知识点讲解 列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1. 审：审题仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设：设未知数选择一个适当的未知量设为未知数，通常用字母 ( x ) 表示。设未知数时要写明单位。 3. 列：列方程根据题目中的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。 4. 解：解方程求出所列方程的解。 5. 验：检验检验所求得的解是否符合原方程，同时还要检验是否符合实际意义。 6. 答：作答写出答案，包括单位名称。 常见的等量关系类型： · 和差倍分关系：即部分量之和等于总量，或一个量是另一个量的几倍多（少）几。 · 行程问题：路程 = 速度 × 时间。常见有相遇问题（路程和 = 速度和 × 相遇时间）、追及问题（路程差 = 速度差 × 追及时间）。 · 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。通常将工作总量看作单位“1”。 · 销售盈亏问题：利润 = 售价 - 成本（进价）；利润率；售价 = 成本 × (1 + 利润率) 或 售价 = 标价 × 折扣率。 · 配套问题：某几种部件搭配成一套，部件数量之间满足一定的比例关系。 · 比赛积分问题：总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分（或根据具体比赛规则确定）。 · 方案选择问题：根据不同的优惠方案或策略，通过计算比较，选择最优方案。 · 数字问题：表示一个多位数时，各数位上的数字与其数位值有关（如：一个两位数，十位数字为 ( a )，个位数字为 ( b )，则这个两位数可表示为 ( 10a + b )）。 · 几何问题：涉及图形的周长、面积、体积等公式的应用（注意题目要求，本章避免图形题，侧重数量关系）。 · 电水费问题：通常涉及分段计费，不同阶段单价不同。 知识点讲解 列一元一次方程解应用题，关键在于准确找到题目中的等量关系。等量关系是指题目中描述的数量之间具有相等关系的语句。找到等量关系后，用含未知数的代数式表示出相关的量，即可列出方程。 在设未知数时，可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 例题解析 一、配套问题 例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 解析： 设应安排 x 名工人生产螺钉，则安排 22 - x名工人生产螺母。 根据题意，每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍，才能刚好配套，因此可列方程： 解这个方程： 2000(22 - x) = 2400x 44000 - 2000x = 2400x -2000x - 2400x = -44000 -4400x = -44000 x = 10 则生产螺母的工人有： 22 - x = 22 - 10 = 12 （名） 检验：当 x = 10 时，左边，右边，左边 = 右边，且人数为正整数，符合题意。 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。 二、工程问题 例题2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作，需要几天完成这项工程？ 解析： 设两人合作需要 x 天完成这项工程。 把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为。 根据题意，甲、乙合作的工作总量等于单位“1”，可列方程： 解这个方程： 通分， 检验：当 x = 6 时，左边，右边 = 1，左边 = 右边，符合题意。 答：两人合作需要6天完成这项工程。 三、销售盈亏 例题3：某商店将一件商品按进价提高50%后标价，再打八折销售，售价为240元。这件商品的进价是多少元？ 解析： 设这件商品的进价是 x 元。 进价提高50%后的标价为 (1 + 50%)x 元，再打八折销售，售价为标价的80%，即元。 根据题意，售价为240元，可列方程： 解这个方程： x = 200 检验：当 x = 200 时，左边，右边 = 240，左边 = 右边，符合题意。 答：这件商品的进价是200元。 四、比赛积分 例题4：某足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分。这支球队在前8场比赛中，胜了多少场？ 解析： 设这支球队在前8场比赛中胜了 x 场。 因为已经比赛了8场，输了1场，所以平了 (8 - 1 - x) = (7 - x) 场。 根据计分规则，胜场得分 3x 分，平场得分分，负场得0分，总分为17分，可列方程： 3x + (7 - x) = 17 解这个方程： 3x + 7 - x = 17 2x + 7 = 17 2x = 17 - 7 2x = 10 x = 5 检验：当 x = 5 时，平场数为 7 - 5 = 2 场，总得分分，符合题意。 答：这支球队在前8场比赛中胜了5场。 五、方案选择 例题5：某通讯公司推出两种移动电话计费方式： 方式一：月租费30元/月，本地通话费0.30元/分钟。 方式二：月租费0元/月，本地通话费0.40元/分钟。 设一个月内本地通话时间为 x 分钟，两种计费方式的费用分别为元和元。 （1）分别写出、 与 x 之间的函数关系（不用写 x 的取值范围）。 （2）一个月内通话多少分钟，两种方式的费用相同？ （3）若某人预计一个月内使用本地通话费120元，则选择哪种方式更合算？ 解析： （1）根据题意： （2）令，即： 解这个方程： x = 300 答：一个月内通话300分钟，两种方式的费用相同。 （3）若某人预计一个月内使用本地通话费120元，即或，分别求出对应的通话时间。 对于方式一： x = 300 （分钟） 对于方式二： （分钟） 答：选择两种方式一样合算。 六、数字问题 例题6：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的。求这个两位数。 解析： 设这个两位数的个位数字为 x ，则十位数字为 x - 1 。 这个两位数可表示为： 10(x - 1) + x 。 根据题意，十位与个位上的数字之和是这个两位数的，可列方程： 解这个方程： 两边同时乘以5： 5(2x - 1) = 11x - 10 10x - 5 = 11x - 10 -5 + 10 = 11x - 10x 5 = x 即 x = 5 则十位数字为 x - 1 = 5 - 1 = 4 所以这个两位数是 检验：十位与个位数字之和为4 + 5 = 9。这个两位数的为，符合题意。 答：这个两位数是45。 七、几何问题 (避免图形，侧重数量关系) 例题7：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形，使长方形的长是宽的2倍。求这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 解析： 设这个长方形的宽是 x 厘米，则长是 2x 厘米。 根据长方形周长公式：周长 = 2×(长 + 宽)，可列方程： 2(x + 2x) = 60 解这个方程： 2(3x) = 60 6x = 60 x = 10 则长为（厘米） 检验：长方形周长为厘米，符合题意。 答：这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米。 八、和差倍问题 例题8：某班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少9人。这个班男生和女生各有多少人？ 解析： 设这个班女生有 x 人，则男生有 2x - 9 人。 根据题意，男生人数加女生人数等于总人数，可列方程： x + (2x - 9) = 45 解这个方程： 3x - 9 = 45 3x = 45 + 9 3x = 54 x = 18 则男生人数为（人） 检验：男生27人，女生18人，总人数27 + 18 = 45人，且27 = 2×18 - 9 = 36 - 9，符合题意。 答：这个班男生有27人，女生有18人。 九、电水费问题 例题9：某市居民生活用电基本价格为每千瓦时0.50元，若每月用电量超过a千瓦时，超出部分按基本电价的120%收费。 （1）某户居民5月份用电100千瓦时，共交电费56元，求a的值。 （2）若该户居民6月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？ 解析： （1）当用电量为100千瓦时，共交电费56元。因为基本价格为0.50元/千瓦时，若100千瓦时都按基本价，则电费为元，而实际交了56元，说明用电量超过了a千瓦时。 根据题意，不超过a千瓦时的部分按0.50元/千瓦时收费，超过a千瓦时的部分( 100 - a )按元/千瓦时收费。 可列方程： 解这个方程： a = 40 答：a的值为40。 （2）该户居民6月份用电120千瓦时，其中前40千瓦时按0.50元/千瓦时收费，超出的 ( 120 - 40 = 80 ) 千瓦时按元/千瓦时收费。 应交电费为： （元） 答：应交电费68元。 十、行程问题 例题10：A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为80千米/小时，乙车速度为70千米/小时，经过多少小时两车相遇？ 解析： 设经过 x 小时两车相遇。 根据题意，甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于A、B两地的距离，可列方程： 80x + 70x = 450 解这个方程： 150x = 450 x = 3 ) 检验：甲车行驶路程千米，乙车行驶路程千米，总路程 240 + 210 = 450 千米，符合题意。 答：经过3小时两车相遇。 十一、其他问题 (年龄问题) 例题11：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。求今年父亲和儿子的年龄。 解析： 设今年儿子的年龄是 x 岁，则父亲的年龄是 3x 岁。 5年前，儿子的年龄是 (x - 5) 岁，父亲的年龄是 (3x - 5) 岁。 根据题意，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，可列方程： 3x - 5 = 4(x - 5) 解这个方程： 3x - 5 = 4x - 20 -5 + 20 = 4x - 3x 15 = x ) 即 x = 15 则父亲今年的年龄是（岁） 检验：5年前儿子10岁，父亲40岁，40是10的4倍，符合题意。 答：今年父亲45岁，儿子15岁。 巩固练习 一、配套问题 1. 某工厂生产一批零件，甲车间单独生产需要10天完成，乙车间单独生产需要15天完成。若两车间同时生产，多少天可以完成这批零件的？ 答案与解析： 设两车间同时生产 x 天可以完成这批零件的。 甲车间工作效率为，乙车间工作效率为。 根据题意列方程： 解方程： 答：两车间同时生产4天可以完成这批零件的。 二、工程问题 2. 一项工作，甲单独做需8小时完成，乙单独做需12小时完成。甲先做2小时后，剩下的由甲乙合作完成，还需要几小时？ 答案与解析： 设剩下的由甲乙合作完成还需要 x 小时。 甲的工作效率为，乙的工作效率为。 甲先做2小时的工作量为，甲乙合作 x 小时的工作量为。 总工作量为1，列方程： 化简： 答：还需要3.6小时。 三、销售盈亏 3. 某商品进价为100元，标价为150元。商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售该商品？ 答案与解析： 设最低可以打 x 折出售该商品。 售价为标价的，即元。 利润率不低于5%，则利润元，所以售价元。 列方程（取等号时为最低折扣）： 解方程： 15x = 105 x = 7 答：最低可以打7折出售该商品。 四、比赛积分 4. 某篮球队参加了10场比赛，共得16分。已知胜一场得2分，负一场得1分。该篮球队胜了多少场？负了多少场？ 答案与解析： 设该篮球队胜了 x 场，则负了 10 - x 场。 根据题意列方程： 解方程： 2x + 10 - x = 16 x + 10 = 16 x = 6 负场数： 10 - x = 10 - 6 = 4 答：该篮球队胜了6场，负了4场。 五、方案选择 5. 某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。 （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的6倍，问最多能购进多少件B商品？ 答案与解析： （1）设A商品每件进价 x 元，B商品每件进价 y 元。 根据题意列方程组： 3x + 2y = 120 ① 5x + 4y = 220 ② ①×2 - ②：6x + 4y - (5x + 4y) = 240 - 220 ( x = 20 ) 将 (x = 20 代入①： 答：A商品每件进价20元，B商品每件进价30元。 （2）设购进B商品 m 件，则购进A商品至少 6m 件。 根据题意列不等式： 因为 m 为正整数，所以 m 最大取6。 答：最多能购进6件B商品。 六、数字问题 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是7。若把十位数字与个位数字对调，得到的新两位数比原两位数大9。求原两位数。 答案与解析： 设原两位数的十位数字为 x ，则个位数字为 (7 - x) 。 原两位数为 10x + (7 - x) = 9x + 7 。 新两位数的十位数字为 (7 - x) ，个位数字为 x ，新两位数为 10(7 - x) + x = 70 - 9x 。 根据题意列方程： 70 - 9x = (9x + 7) + 9 解方程： 70 - 9x = 9x + 16 70 - 16 = 18x 54 = 18x x = 3 个位数字为 7 - x = 4 。 原两位数为。 答：原两位数是34。 七、几何问题 7. 一个三角形的周长是24cm，其中两条边的长度分别是8cm和9cm，求第三边的长度。 答案与解析： 设第三边的长度为 x )cm。 根据三角形周长公式列方程： 8 + 9 + x = 24 解方程： 17 + x = 24 x = 24 - 17 x = 7 检验：三角形任意两边之和大于第三边。8 + 9 > 7，8 + 7 > 9，9 + 7 > 8，符合题意。 答：第三边的长度是7cm。 八、和差倍问题 8. 甲、乙、丙三个数的和是360，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。求甲、乙、丙三个数各是多少？ 答案与解析： 设丙数为 x ，则乙数为 3x ，甲数为。 根据题意列方程： 6x + 3x + x = 360 解方程： 10x = 360 x = 36 乙数： 甲数： 答：甲数是216，乙数是108，丙数是36。 九、电水费问题 9. 某地居民生活用水收费标准如下：每月用水量不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元。小明家5月份交水费37元，他家5月份用水多少吨？ 答案与解析： 设小明家5月份用水 x 吨。 因为10吨水的费用为元，37元 > 22元，所以用水量超过10吨。 超过10吨的部分为 (x - 10) 吨，这部分每吨水费为 元。 根据题意列方程： 解方程： （保留两位小数）或 答：小明家5月份用水吨（约14.29吨）。 十、行程问题 10. 小明和小亮从同一地点同时出发，沿同一路线去学校。小明步行，速度为5千米/小时；小亮骑自行车，速度为15千米/小时。小亮比小明早到20分钟，求出发地到学校的距离。 答案与解析： 设出发地到学校的距离为 x 千米。 20分钟小时。 根据时间 = 路程 ÷ 速度，小明用时小时，小亮用时小时。 根据题意列方程： 解方程： 通分： 答：出发地到学校的距离为2.5千米。 十一、其他问题 (年龄问题) 11. 现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，15年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍。现在父子俩的年龄各是多少岁？ 答案与解析： 设现在儿子的年龄是 x 岁，则父亲的年龄是 3x 岁。 15年后，儿子年龄是 ( x + 15) 岁，父亲年龄是 ( 3x + 15 ) 岁。 根据题意列方程： 3x + 15 = 2(x + 15) 解方程： 3x + 15 = 2x + 30 3x - 2x = 30 - 15 x = 15 父亲现在年龄：（岁） 答：现在父亲45岁，儿子15岁。 学科网（北京）股份有限公司 $