精品解析：甘肃省天水市麦积区2025-2026学年高三上学期第一次检测（9月）数学试题

麦积区2026届高三级第一次检测试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求交集可得答案. 【详解】集合或， 所以 故选：D. 2. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得或，即可得到不等式之间推出关系，判定得到结论. 【详解】由得或，即或， 若成立，则或成立，即， 若或成立时，不一定成立，故， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定义域，再求出内层函数在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案 【详解】令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 故选：C 4. 已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可． 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以 故选：D 7. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 8. 已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数x，使 【答案】AC 【解析】 【分析】AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意. 【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意； B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意； C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；. D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意. 故选：AC 10. 已知，下列命题为真命题的是（　　） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，作差比较法，以及对数函数的单调性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，由，可得，因为，可得，所以B正确； 对于C中，由， 因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D中，由， 当时，函数为单调增函数，此时； 当时，函数为单调减函数，此时，所以D不正确. 故选：BC. 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值. 【详解】由为奇函数，则，即， 由，则，故， 所以，故，A对； 由，知图象关于对称， 由，知图象关于点对称，且， 当时，，即在上单调递增， 所以在、上单调递减，即在上单调递减， 若，则，结合周期性知， 所以在区间上单调递减，B对； 由，C错； 由，则，， 所以，又， ，D对. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知点在直线上，当时，的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为点在上，所以. 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）若，点D在边BC上，，求AD． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作答. （2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【小问1详解】 在中，由，得：，由余弦定理得， 即，整理得，由余弦定理得， ，而， 所以. 【小问2详解】 因为，即，而，则，， 所以， 又，则，显然是锐角三角形， 由， 所以， 所以在中， 16. 林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 （1）求出表中x，y的值； （2）从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； （3）根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1），. （2） （3）表格见解析，无关. 【解析】 【分析】（1）根据男女人数各为25人，即可求出表中x，y的值； （2）利用古典概型即可求解； （3）填写列表，计算卡方，与比较，得到结论. 【小问1详解】 由题意得，解得， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知没有观看的人数为7，男4女3，设男生编号为a，b，c，d，女生编号为1，2，3. 从7人中抽2人，所有可能的结果为 ，，，a1，a2，a3，，，b1，b2，b3，，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，共21种， 恰好男女各1人的结果为a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，共12种. 所以从没有观看的人中随机抽取2人，恰好男女各1人的概率. 【小问3详解】 完整列联表如下 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 12 13 25 女性 18 7 25 合计 30 20 50 零假设为：是否全程观看与性别无关. 根据表中的数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即是否全程观看与性别无关. 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直和面面垂直的条件可得线面垂直，故得线线垂直； （2）由（1）的结论，结合题设条件，建立空间直角坐标系，分别求出相关点的坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 小问1详解】 因为四边形ABCD为菱形，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PBD， 因为平面PBD，故 【小问2详解】 如图，设，则O为AC、BD的中点， 由可得， 又因为平面PBD，平面PBD，所以， 因为，AC、平面ABCD， 所以平面ABCD， 故可以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 且为PA与平面ABCD所成角， 由于四边形ABCD为边长为，的菱形， 所以， 则，，，，， 由，∴， 得，且 设平面的法向量为， 则，,故可取， 又平面BCD的一个法向量为， 所以， 所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 18. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，令，继续求导，根据导数确定单调性，可得，即，故得证； （2）求导，又，发现，若在上单调，即，即，令，利用导数得到最值，结合即可得到不单调时的范围； （3）由（2）知，当时，易得在单调递增，所以，当，结合（2）中的单调性，可得有2个解，且 ，由此可得，令，利用导数可证，即，结合即可证明. 【小问1详解】 当时，，， 令，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 则，即恒成立， 故单调递增. 【小问2详解】 ，因为，所以， 若在上单调，则有解，即在恒成立， 即，令，， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， ，则时，在上单调， 所以若在上不单调，则. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在单调递增，所以； 当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，如图， 则时，有两个根， 又，，所以不妨取， 当，，即， 同理可得或，，所以时，，单调递增， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以， 令，， 所以时，，单调递减，又， 所以在上恒成立，即，又， 故此时的最小值为1， 综上时，在上的最小值为1. 19. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组即可求出； （2）（i）设，，联立方程组求出两点坐标，根据坐标求出直线的方程即可； （ii）根据（i）可得，再令，通过求导研究其最值即可. 【小问1详解】 由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii）由（i）可得， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，面积有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麦积区2026届高三级第一次检测试卷 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的单调递增区间是（ ） A B. C. D. 4. 已知在R上是减函数．那么a的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 7. 若，则=（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ） A. ， B. 所有的正方形都是矩形 C. ， D. 至少有一个实数x，使 10. 已知，下列命题为真命题的是（　　） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是虚数单位，复数________． 13. 已知点在直线上，当时，的最小值为______． 14. 定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）若，点D在边BC上，，求AD． 16. 林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表： 观看情况 全程观看 部分观看 没有观看 男性人数 9 4 女性人数 18 4 （1）求出表中x，y的值； （2）从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率； （3）根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关? 单位：人 性别 观看情况 合计 全程观看 非全程观看 男性 女性 合计 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，平面平面ABCD． （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD成角为，点E在棱PC上，且，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求证：单调递增； （2）若在上不单调，求的取值范围； （3）当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：） 19. 已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $