精品解析：甘肃省平凉市静宁县第一中学2025-2026学年高三上学期一模数学试题

静宁县第一中学2026届高三级第一次模拟考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第1章~第5章5.2.1；选择性必修第二册第1章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足（其中是导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 10. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若的图象在处的切线与直线垂直，则实数 C. 当时，不存在极值 D. 当时，有且仅有两个零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则的正弦值为__________． 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求， （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的最值． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静宁县第一中学2026届高三级第一次模拟考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第1章~第5章5.2.1；选择性必修第二册第1章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题。 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”． 故选：A 2. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得. 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 4. 当时，的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为2． 故选：C． 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 7. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能原不等式解集，故B正确. 故选：B 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由，得， 令，，则 ， 所以上恒成立， 所以在上为减函数， 因为，且在上单调性递增； 所以， 所以， 所以， 所以，即． 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 10. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减， 则， 所以，解得． 综上所述，实数a的值为或. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若的图象在处的切线与直线垂直，则实数 C. 当时，不存在极值 D. 当时，有且仅有两个零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数即可判断；对于B，根据导数的几何意义可判断；对于C，取，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D，结合函数单调性，利用零点存在定理说明有且仅有两个零点，继而由可推出，即可证明结论，即可判断. 【详解】因为，定义域为且， 所以， 对于A，当时，，所以在和上单调递增，故A正确； 对于B，因为直线的斜率为， 又因为的图象在处的切线与直线垂直， 故令，解得，故B正确； 对于C，当时，不妨取， 则， 令，则有，解得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上分别单调递减； 所以此时函数有极值，故C错误； 对于D，由A可知，当时，在和上单调递增， 当时，， ， 所以在上有一个零点， 又因为当时， ， ， 所以在上有一个零点， 所以有两个零点，分别位于和内； 设， 令，则有， 则 ， 所以的两根互为倒数，所以，故D正确． 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明时，要注意推出，进而证明结论 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则的正弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦函数定义即可计算求解. 【详解】由题可得， 所以的正弦值为. 故答案： 13. 已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析求出定点，再将点的坐标代入到幂函数中去可求得结果. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 14. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求得的最小值，从而可得恒成立，根据一元二次不等式即可解得实数m的取值范围. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求， （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)将代入，根据交集、并集的定义求解即可； (2)由题意可得集合是集合的真子集，又因为，列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 解：当时，, 因为, 所以, ； 【小问2详解】 解：因为是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 因为， 所以恒成立， 所以集合， 所以解得， 故实数的取值范围为 16. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）函数是奇函数；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可； （2）根据函数单调性列不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得，即函数的定义域为， 又，所以函数是奇函数； 【小问2详解】 因为，即， 又函数上单调递增， 所以，又， 解得，即不等式的解集为． 17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1），证明见解析； （2）在上单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【小问1详解】 令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）极小值为1，无极大值. （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值. （2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即可. （3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得. 【小问1详解】 当时，，定义域为，则， 当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为恒成立，得，，令，，求导的， 当,,当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围. 【小问3详解】 证明：由（2）知，时，即， 于是， ，， ， 因此 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $