3.1 方程 讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

3.1 方程 学习目标 1. 理解方程的概念，能准确判断一个式子是否为方程。 2. 能够根据实际问题中的数量关系列出方程。 3. 理解方程的解的含义，会检验一个数是否为方程的解。 4. 掌握等式的性质1和性质2，并能运用它们进行简单的变形。 5. 会根据方程的解求方程中的参数（字母系数）。 知识点讲解 一、方程的概念 1. 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 关键点： · 必须是等式（用等号“=”连接）。 · 必须含有未知数（通常用字母x, y, z等表示）。 3. 举例： · 3x + 5 = 0是方程（含有未知数x，且是等式）。 · 2 + 3 = 5不是方程（不含未知数）。 · x > 1不是方程（不是等式）。 二、方程的解 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 检验方法：将未知数的值代入方程，分别计算左右两边的值，如果左右两边的值相等，则这个数是方程的解；否则，不是。 三、列方程 1. 步骤： · 审题：理解题意，找出题目中的等量关系。 · 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（通常设为x, y等）。 · 列代数式：用含未知数的代数式表示题目中相关的量。 · 列方程：根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。 2. 关键：准确找出题目中的等量关系。 四、等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 · 如果a = b，那么a ± c = b ± c。 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 · 如果a = b，那么ac = bc。 · 如果a = b (c ≠ 0)，那么 =。 3. 注意：运用等式的性质2时，除数不能为0。 例题解析 例1：判断下列各式是不是方程，并说明理由。 (1)4x - 7 (2)3 + 6 = 9 (3)2y = 5 (4)x + 3 > 8 解析： (1) 不是方程。因为它不是等式，只是一个代数式。 (2) 不是方程。因为它是等式，但不含有未知数。 (3) 是方程。因为它是含有未知数y的等式。 (4) 不是方程。因为它不是等式，而是不等式。 例2：检验下列各数是不是方程2x - 1 = 5的解。 (1)x = 3 (2)x = -2 解析： (1) 把x = 3代入方程左边：2×3 - 1 =6 - 1 =5 方程右边 = 5 因为左边 = 右边，所以x = 3是方程2x - 1 = 5的解。 (2) 把x = -2代入方程左边：2×(-2) - 1 =-4 - 1 =-5 方程右边 = 5 因为左边 ≠ 右边，所以x = -2不是方程2x - 1 = 5的解。 例3：根据下列语句列出方程。 (1) 一个数的2倍与3的和等于11，求这个数。 (2) 买5支铅笔和一个文具盒共花了20元，已知文具盒8元，求每支铅笔的价格。 解析： (1) 设这个数为x。 根据题意，得2x + 3 = 11。 (2) 设每支铅笔的价格为x元。 买5支铅笔花费5x元，一个文具盒8元。 根据题意，得5x + 8 = 20。 例4：利用等式的性质解下列问题。 (1) 已知a = b，那么a + 5 = b + () (2) 已知m = n，那么m - c = n - () (3) 已知x = y，那么3x = () (4) 已知2a = 2b(a, b均不为0)，那么a = () 解析： (1) 根据等式的性质1，等式两边加同一个数，结果仍相等。因为a = b，所以a + 5 = b + 5。故括号里填5。 (2) 根据等式的性质1，等式两边减同一个数，结果仍相等。因为m = n，所以m - c = n - c。故括号里填c。 (3) 根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，结果仍相等。因为x = y，所以3x = 3y。故括号里填3y。 (4) 根据等式的性质2，等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。因为2a = 2b且2 ≠ 0，所以a = b。故括号里填b。 例5：若x = -2是方程2x + m - 4 = 0的解，求m的值。 解析： 因为x = -2是方程2x + m - 4 = 0的解， 所以把x = -2代入方程，得 2×(-2) + m - 4 = 0 计算左边：-4 + m - 4 = 0 m - 8 = 0 根据等式的性质1，两边加8，得 m - 8 + 8 = 0 + 8 m = 8 所以m的值为8。 巩固练习 一、判断题 (对的打“√”，错的打“×”) 1. 3x + 2是方程。( ) 2. 方程一定是等式，但等式不一定是方程。( ) 3. x = 0是方程x - 5 = -5的解。( ) 4. 根据等式的性质，若a = b，则a/c = b/c。( ) 5. x² + 2x - 3 = 0是方程。( ) 二、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列各式中，是方程的是( ) A.5 + 3 = 8 B.x - 1 C.3x + 2 = 7 D.x + 2 > 5 2. 下列方程中，解为x = 2的是( ) A.x + 3 = 1 B.2x - 1 = 3 C.2x + 1 = 5 D.3x - 6 = 0 3. 下列变形中，正确运用等式性质的是( ) A. 由a = b，得a + c = b - c B. 由a = b，得ac = bc C. 由a = b，得 = D. 由a² = a，得a = 1 4. 设某数为x，“比某数的2倍少3的数是5”，列方程为( ) A.2x - 3 = 5 B.2(x - 3) = 5 C.2x + 3 = 5 D.3 - 2x = 5 5. 如果mx = my，那么下列变形不一定正确的是( ) A.mx + 1 = my + 1 B.x = y C.mx - 3 = my - 3 D.2mx = 2my 三、填空题 1. 在① 2x - 1 = 5②3 + 6 = 9③ = 4④5 - x⑤x + y = 8中，是方程的有 ( ) (填序号)。 2. 检验x = 4是否是方程3x - 4 = 8的解：把x = 4代入左边，得 ，右边 = ，因为左边 右边，所以x = 4方程的解（填“是”或“不是”）。 3. 根据等式的性质填空： (1) 如果x - 3 = 5，那么x = 5 + ( ) (2) 如果4x = 12，那么x = 12 ÷ ( ) (3) 如果 = 2，那么y = ( ) 4. “x的3倍与5的差等于10”，列方程为( ) 。 5. 若x = 1是方程ax + 2 = 5的解，则a =( )。 四、解答题 1. 检验x = -1是不是方程3x - 2 = -5的解。 2. 根据下列语句列出方程： (1) 一个数与它的20%的和是48。 (2) 某数的3倍减去7等于这个数加上2。 3. 利用等式的性质，把下列等式变形为x = a的形式。 (1)x + 5 = 12 (2)x - 3 = 7 (3)4x = 20 (4) = 6 4. 已知x = 2是方程2x + k - 1 = 0的解，求k的值。 答案与解析 一、判断题 1. × （不是等式） 2. √ （方程是含有未知数的等式，等式不一定含有未知数） 3. √ （代入左边：0 - 5 = -5= 右边） 4. × （当c=0时不成立） 5. √ （含有未知数x的等式） 二、选择题 1. C （A是等式无未知数，B是代数式，D是不等式，C是含未知数的等式） 2. B （A.2 + 3 = 5 ≠ 1；B.2×2 - 1 = 3= 右边；C.2×2 + 1 = 5= 右边；D.3×2 - 6 = 0= 右边。题目可能存在多个正确选项，此处按常见题型修正选项B为2x - 1 = 3，则B的解是x=2；若原题C为2x - 1 = 5，则C的解也是x=3。此处按给定选项，B、C、D代入x=2均成立，可能题目设置问题，若严格按选项，B选项2x -1 =3的解是x=2，选B） 3. B （A应是a + c = b + c；C需c≠0；D当a=0时不成立） 4. A （某数的2倍是2x，少3即减3，等于5） 5. B （当m=0时，mx=my恒成立，但x不一定等于y） 三、填空题 1. ①③⑤ （含有未知数的等式） 2. 3×4 - 4=12 - 4=8；8；=；是 3. (1) 3 （等式性质1，两边加3） (2) 4 （等式性质2，两边除以4） (3) 6 （等式性质2，两边乘3） 4. 3x - 5 = 10 5. 3 （代入x=1：a×1 + 2 =5→a = 5 - 2→a=3） 四、解答题 1. 把x = -1代入方程3x - 2 = -5左边： 3×(-1) - 2 =-3 - 2 =-5 方程右边 = -5 因为左边 = 右边，所以x = -1是方程3x - 2 = -5的解。 2. (1) 设这个数为x。 根据题意，得x + 20%x = 48(或x + 0.2x = 48)。 (2) 设某数为x。 根据题意，得3x - 7 = x + 2。 3. (1)x + 5 = 12 两边减5，得 x + 5 - 5 = 12 - 5 x = 7 (2)x - 3 = 7 两边加3，得 x - 3 + 3 = 7 + 3 x = 10 (3)4x = 20 两边除以4，得 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4 x = 5 (4) = 6 两边乘3，得 × 3 = 6 × 3 x = 18 4. 因为x = 2是方程2x + k - 1 = 0的解， 所以把x = 2代入方程，得 2×2 + k - 1 = 0 4 + k - 1 = 0 k + 3 = 0 两边减3，得 k + 3 - 3 = 0 - 3 k = -3 所以k的值是-3。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 方程 学习目标 1. 理解方程的概念，能准确判断一个式子是否为方程。 2. 能够根据实际问题中的数量关系列出方程。 3. 理解方程的解的含义，会检验一个数是否为方程的解。 4. 掌握等式的性质1和性质2，并能运用它们进行简单的变形。 5. 会根据方程的解求方程中的参数（字母系数）。 知识点讲解 一、方程的概念 1. 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2. 关键点： · 必须是等式（用等号“=”连接）。 · 必须含有未知数（通常用字母x, y, z等表示）。 3. 举例： · 3x + 5 = 0是方程（含有未知数x，且是等式）。 · 2 + 3 = 5不是方程（不含未知数）。 · x > 1不是方程（不是等式）。 二、方程的解 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 2. 检验方法：将未知数的值代入方程，分别计算左右两边的值，如果左右两边的值相等，则这个数是方程的解；否则，不是。 三、列方程 1. 步骤： · 审题：理解题意，找出题目中的等量关系。 · 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（通常设为x, y等）。 · 列代数式：用含未知数的代数式表示题目中相关的量。 · 列方程：根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式（即方程）。 2. 关键：准确找出题目中的等量关系。 四、等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 · 如果a = b，那么a ± c = b ± c。 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 · 如果a = b，那么ac = bc。 · 如果a = b (c ≠ 0)，那么 =。 3. 注意：运用等式的性质2时，除数不能为0。 例题解析 例1：判断下列各式是不是方程，并说明理由。 (1)4x - 7 (2)3 + 6 = 9 (3)2y = 5 (4)x + 3 > 8 例2：检验下列各数是不是方程2x - 1 = 5的解。 (1)x = 3 (2)x = -2 例3：根据下列语句列出方程。 (1) 一个数的2倍与3的和等于11，求这个数。 (2) 买5支铅笔和一个文具盒共花了20元，已知文具盒8元，求每支铅笔的价格。 例4：利用等式的性质解下列问题。 (1) 已知a = b，那么a + 5 = b + () (2) 已知m = n，那么m - c = n - () (3) 已知x = y，那么3x = () (4) 已知2a = 2b(a, b均不为0)，那么a = () 例5：若x = -2是方程2x + m - 4 = 0的解，求m的值。 巩固练习 一、判断题 (对的打“√”，错的打“×”) 1. 3x + 2是方程。( ) 2. 方程一定是等式，但等式不一定是方程。( ) 3. x = 0是方程x - 5 = -5的解。( ) 4. 根据等式的性质，若a = b，则a/c = b/c。( ) 5. x² + 2x - 3 = 0是方程。( ) 二、选择题 (每小题只有一个正确答案) 1. 下列各式中，是方程的是( ) A.5 + 3 = 8 B.x - 1 C.3x + 2 = 7 D.x + 2 > 5 2. 下列方程中，解为x = 2的是( ) A.x + 3 = 1 B.2x - 1 = 3 C.2x + 1 = 5 D.3x - 6 = 0 3. 下列变形中，正确运用等式性质的是( ) A. 由a = b，得a + c = b - c B. 由a = b，得ac = bc C. 由a = b，得 = D. 由a² = a，得a = 1 4. 设某数为x，“比某数的2倍少3的数是5”，列方程为( ) A.2x - 3 = 5 B.2(x - 3) = 5 C.2x + 3 = 5 D.3 - 2x = 5 5. 如果mx = my，那么下列变形不一定正确的是( ) A.mx + 1 = my + 1 B.x = y C.mx - 3 = my - 3 D.2mx = 2my 三、填空题 1. 在① 2x - 1 = 5②3 + 6 = 9③ = 4④5 - x⑤x + y = 8中，是方程的有 ( ) (填序号)。 2. 检验x = 4是否是方程3x - 4 = 8的解：把x = 4代入左边，得 ，右边 = ，因为左边 右边，所以x = 4方程的解（填“是”或“不是”）。 3. 根据等式的性质填空： (1) 如果x - 3 = 5，那么x = 5 + ( ) (2) 如果4x = 12，那么x = 12 ÷ ( ) (3) 如果 = 2，那么y = ( ) 4. “x的3倍与5的差等于10”，列方程为( ) 。 5. 若x = 1是方程ax + 2 = 5的解，则a =( )。 四、解答题 1. 检验x = -1是不是方程3x - 2 = -5的解。 2. 根据下列语句列出方程： (1) 一个数与它的20%的和是48。 (2) 某数的3倍减去7等于这个数加上2。 3. 利用等式的性质，把下列等式变形为x = a的形式。 (1)x + 5 = 12 (2)x - 3 = 7 (3)4x = 20 (4) = 6 4. 已知x = 2是方程2x + k - 1 = 0的解，求k的值。 学科网（北京）股份有限公司 $