第1章 勾股定理 重点例题与习题 2025～2026学年北师大版八年级上册数学

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建勾股定理单元知识体系，梳理定理及逆定理的推导过程与几何直观呈现，按基础应用、实际情境、历史与拓展三个层次组织内容，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如阴影面积计算巩固运算能力，中档题如“葭生池中”培养模型意识与应用意识，拓展题如毕达哥拉斯树探究发展推理能力与创新意识，解析详尽，助力学生自主复习，教师可实施精准教学。

回归教材系列 2025～2026学年北师大版八年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：北师大版八年级上册数学第1章 勾股定理 1. 如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？ 2.如图，强大的台风使一根旗杆在离地面处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部处．旗杆折断之前有多高？ 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．请在图中找出若干图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形的面积，尝试给出两种以上的方案． 4.在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距；过了，测得汽车与他相距你能帮王叔叔计算蓝方汽车这的平均速度吗？ 5.如图，在正方形中，，，，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流． 6.今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？选自九章算术 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 7.如图，长为，长为，长为求正方形的面积． 8.据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个人同时握住绳子的第个结和第个结，另两个人分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角顶点在第个结处．你能说说其中的道理吗？ 9.如图，方格纸上每个小正方形的面积为个单位． 在方格纸上，以线段为边长画正方形，计算所画正方形的面积，并解释你的计算方法． 你能在图上分别画出面积为个单位、个单位、个单位的正方形吗？ 10. 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接，，三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是万元，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？ 11.如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 12.如图，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边长为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长，向直角三角形外作正方形．图是次操作后得到的图形． 试画出次操作后得到的图形． 已知最初的直角三角形斜边长为，写出次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． 如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？ 重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 13. 一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙． 这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ 当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，爬行的最短路程是多少？ 15.将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长，弦与股的差为，求弦长． 你能用，表示吗？ 查阅资料，了解九章算术解决这类问题的思路与方法． 今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？选自九章算术 题目大意：如图，有一棵树将树看作一个圆柱高丈，底面周长是尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度是多少？ 16. 大家知道都是勾股数组．有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗？请说明你的理由． 你还能发现勾股数组具有哪些规律？与同伴进行交流． 小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确．满足这个规律的数组都是勾股数组吗？ 17. 装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？ 答案和解析 1.【答案】解：由勾股定理可知阴影长方形的长的平方为，所以阴影长方形的面积为  2.【答案】解：如图所示，在中，． 根据勾股定理，得， 所以，所以． 因此，旗杆折断之前高．   3.【答案】解：正方形的面积之和等于正方形的面积； 正方形的面积之和等于正方形的面积； 正方形的面积之和等于正方形的面积； 正方形的面积之和等于正方形的面积．   4.【答案】解：根据题意，可以画出图，其中点表示王叔叔所在位置，点、点表示两个时刻蓝方汽车的位置．由于王叔叔距离公路，因此是直角．由勾股定理，可得， 也就是． 所以． 蓝方汽车行驶了，那么它行驶的距离为， 即蓝方汽车这的平均速度为．   5.【答案】解：有四个直角三角形，分别是，，，． 因为，，都是直角， 所以，，都是直角三角形． 是直角三角形的理由如下： 由勾股定理，得， ， ， 即，所以是直角三角形．   6.【答案】解：设水池的深度为尺，则芦苇的长度为尺．由于芦苇位于水池中央，所以为尺．在中，由勾股定理，可得， 即． 解得． 因此，水池的深度是尺，芦苇的长度是尺．   7.【答案】解：在中，， 所以． 在中，， 所以． 所以．   8.【答案】解：设每一段的长度为，这样做实际上得到了一个三边长分别为，，的三角形． 因为， 所以由直角三角形的判别条件勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形．   9.【答案】【小题】 解：面积为可以构造一个直角三角形，斜边为，直角边长分别为和． 由勾股定理，得，即正方形的面积，图略． 【小题】 可利用，，构造正方形，图略．   10.【答案】解：因为，， 所以，所以沿江高速公路的建设成本为万元因此，该沿江高速公路的建设成本预计是万元．   11.【答案】解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 这辆卡车能通过该隧道．  12.【答案】【小题】 解：如图所示． 【小题】 所有正方形的面积和为． 【小题】 如果一直画下去，可以想象出是一幅丰富多彩的图形．取出图形的任意对应部分放大后，与原图形形状相同． 【小题】 若原直角三角形是等腰直角三角形，则这个图形是轴对称图形．   13.【答案】【小题】 解：设云梯的顶端到地面的距离是， 根据勾股定理，得， 所以． 所以云梯的顶端到地面的距离是． 【小题】 设，此时云梯顶端到地面的距离是． 由勾股定理，得， 整理，得， 所以， 解得． 所以云梯底端在水平方向滑动的距离是，而不是．   14.【答案】解：将长方体形盒子表面展成平面图形，因为两点之间，线段最短，所以所求的爬行距离就是线段的长度，线段的长度有种可能，示意图如图所示． 在图中，由勾股定理，得，所以； 在图中，由勾股定理，得； 在图中，由勾股定理，得． 因为， 所以图中线段的长度最短，为，即蚂蚁爬行的最短路程为．   15.【答案】【小题】 因为弦长与股长的差为，弦长为，所以股长为． 所以， 所以． 【小题】 一条直角边即木头的长长尺，另一条直角边长尺， 因此藤长为尺． 答：葛藤长尺   16.【答案】【小题】 解：这种观点正确．理由： 如果全部是奇数，那么为偶数，而为奇数，两者不可能相等． 所以勾股数组中一定有一个是偶数． 【小题】 规律：若，，为一组勾股数，则，，也是一组勾股数，其中为正整数．例如，，，为一组勾股数，那么，，是一组勾股数，，，也是一组勾股数． 【小题】 如，，因为，且，，， 所以，，是符合规律的一组勾股数． ，，因为且；，， 所以，，是符合规律的一组勾股数． 满足这个规律的数组都是勾股数组． 理由：因为，， 所以． 所以，，是勾股数．   17.【答案】解：如图所示， 由勾股定理，可得，． 因为，所以． 因此一根长的木条能放入电梯．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $