精品解析：四川省广安市加德学校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

广安加德学校高2021级学月考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1、答卷前考生务必将姓名，准考证号等填写在本试卷和答题卡相应的置上． 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再将其他方框涂黑； 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 一、选择题（下列每小题只有一个正确选项，本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简两个集合A、B，再对两个集合取并集. 【详解】 故 故选：C 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解. 【详解】设 ， 所以 所以 故选B. 【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题. 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设描述及合情推理分析乙、丁对四位同学成绩的了解情况，即可得答案. 【详解】由题意，甲看乙、丙的成绩，但甲不知道自己成绩，说明乙、丙的成绩一个优秀、一个良好，从而甲、丁的成绩一个优秀、一个良好， 丁看甲的成绩，故丁一定知道甲和自己的成绩，但不知道乙、丙的成绩； 乙看丙的成绩，故乙一定知道丙和自己的成绩，但不知道甲、丁的成绩； 故选：D 6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式求解. 【详解】设第天织布的尺数为，前天织布的尺数和为，由题意可知是公比为2的等比数列，即，解得，则有. 故选：D. 7. 已知点是函数图象的一个对称中心，其中，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称中心，可求解，进而可得，然后根据平移变换以及诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，所以，所以，又，所以，即，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，即． 故选:D． 8. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下， 因为是上的增函数， 所以有， 故选：B 9. 在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理即可求解. 【详解】由三角形面积公式可得，所以， 又， 所以. 故选：A 10. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合求得，进而根据即可求解. 【详解】如图，设球的半径为， 则， 所以由题，又， 故 ， 所以，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得，进而由求出球的半径得解. 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列命题中： ①若，则有； ②到原点的“折线距离”等于的所有点的集合是一个圆； ③若点在线段上，则有； ④到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线. 真命题的个数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】①==5，对 ②设点A(x,y),则，不是圆，错 ③若点C在线段AB上，设C点坐标为，在之间，在之间，则=成立，对． ④|x+1|+|y|=|x-1|+|y|,由|x+1|=|x-1|,解得x=0,对． 所以选C. 12. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上有3个极值点 B. 在上有2个最大值点 C. 在上单调递增 D. 的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】D选项，利用三角恒等变换得到，并求出，由零点个数，得到不等式，得到；A选项，根据，得到，故在上有2个极值点或3个极值点，A错误；B选项，由A知，在上有1个或2个最大值点，B错误；C选项，求出，故在上不单调，C错误. 【详解】D选项，， 当时，， 要想在上有且仅有3个零点，则， 解得，D正确； A选项，时，， 由于，则， 若，即时，在上有2个极值点， 若，即时，在上有3个极值点， 所以在上有2个极值点或3个极值点，A错误； B选项，由A知，若，即时，在上有1个最大值点， 若，即时，在上有2个最大值点， 故在上有1个或2个最大值点，B错误； C选项，时，， 由于，则， 由于在上不单调， 故在上不单调，C错误. 故选：D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡对应题号上） 13. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 由平方关系以及商数关系得出，即可得出. 【详解】由以及 得出 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平方关系以及商数关系，属于基础题. 14. 从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________ 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过互斥事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被选中的概率. 【详解】6名专家随机选取2人的情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为 故答案为： 15. 已知数列满足则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值． 【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33 且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33． 从而 设f（n），令f′（n）， 则f（n）在上是单调递增，在上是递减的， 因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值． 又因为，， 所以的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性． 16. 设函数，若函数有三个零点，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】分析函数零点与方程的关系，再根据分段函数的性质确定方程的解，最后代入计算求解． 【详解】函数的零点即方程的解，设，则方程转化为． 由题知，当时，，当时，， 若，则的解为和的根，解得，或，共3个解； 若，则，即，解得，共2个解． 因为有3个零点，所以方程的解对应的的解总数为3， 由上述讨论可知时有3个解，时有2个解，若二次方程有两个不相等的根， 则和的解的总数为5或4，故二次方程只能有一个重根，此时的3个解为． 令，则． 故答案为：2． 三、解答题（本题共6各小题，第17题至第21题为必做题，第22题和第23题为选做题，请考生任选一题作答，作答多题时，按第一题作答） 17. 全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下： 空气质量指数 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】(1)根据频率的定义可求得，从而求得，进一步计算每组的频率，从而完成频率分布直方图； (2)根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为，解得， 因为，解得， ，，，． 完成频率分布直方图如图： 【小问2详解】 空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为，将空气质量指数为的1天记为． 从中任取2天的基本事件分别为，，，，，，，，，，共10天， 其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，，共6天， 所以事件“两天空气都为良”发生的概率． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心坐标： （2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心； （2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，可得，所以， 因为，所以，可得， 所以， 由可得， 因为，所以，，所以. 令可得，所以对称中心为. 【小问2详解】 由题意可得：， 当时，，， 若关于的方程有实数根，则有实根， 所以，可得：. 所以实数的取值范围为. 19. 已知数列的前项和为，且满足（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据和项与通项关系得递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果； （2）由 ，利用分组求和法求偶数项的和，再根据奇偶数项关系得奇数项的和，最后根据规律合并即可得. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，，， 两式相减得，化简得， 所以数列是首项、公比均为的等比数列，可得； 【小问2详解】 由（1）得， 当为偶数时，，， 当为奇数时，为偶数，， 所以． 20. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，当的面积取得最大值时，求内切圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，再结合正弦定理边角互化可得答案； （2）由（1）及余弦定理可得，结合重要不等式可得为等边三角形时，面积最大，然后由等面积法可得内切圆半径. 【小问1详解】 由题，有，然后由正弦定理边角互化可得： ， 又在三角形中，，.则，； 【小问2详解】 由（1），. 由余弦定理，. 由重要不等式，，当且仅当时取等号， 则，此时为等边三角形. 设此时内切圆的半径为，则. 21. 函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若不等式在区间(0，e]上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，从而可得，从而可求出的值； （2）求出函数的定义域，化简不等式可得，构造函数，则，从而由单调性确定函数的最值，从而得答案 【详解】解：（1）由，得（）， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得， （2）的定义域为， 因为，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以 所以实数的取值范围为 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）．曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线，的极坐标方程； （2）若曲线，的交点为A，B，已知，求． 【答案】（1）曲线，（或），曲线，. （2）12 【解析】 【分析】（1）通过消参将参数方程化为普通方程，再将其化为极坐标方程即可； （2）将曲线化为标准参数方程，将其代入的直角坐标方程中得到关于的一元二次方程，根据参数的几何意义即可求出. 【小问1详解】 由曲线(为参数，消去参数得， 化成极坐标方程得， 化简极坐标方程为（或）． 曲线（θ为参数），消去参数得，化简极坐标方程为． 【小问2详解】 由已知得在曲线上，将曲线化为标准参数方程（为参数）代入的直角坐标方程，得， 即，即所对应的参数分别为， 所以． 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2） ， ∵，∴， ∴， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故． 【解析】 【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）用绝对值三角不等式得到，再使用基本不等式证明出结论. 【小问1详解】 当时，， 当时，，解得：； 当时，，显然不成立； 当时，，解得：． 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校高2021级学月考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1、答卷前考生务必将姓名，准考证号等填写在本试卷和答题卡相应的置上． 2、作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再将其他方框涂黑； 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效． 一、选择题（下列每小题只有一个正确选项，本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C. 1 D. 3 4. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是函数图象的一个对称中心，其中，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，则下列命题中： ①若，则有； ②到原点的“折线距离”等于的所有点的集合是一个圆； ③若点在线段上，则有； ④到两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线. 真命题的个数为 A. B. C. D. 12. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上有3个极值点 B. 在上有2个最大值点 C. 在上单调递增 D. 的取值范围为 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡对应题号上） 13. 已知，，则________. 14. 从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________ 15. 已知数列满足则的最小值为__________. 16. 设函数，若函数有三个零点，则________． 三、解答题（本题共6各小题，第17题至第21题为必做题，第22题和第23题为选做题，请考生任选一题作答，作答多题时，按第一题作答） 17. 全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下： 空气质量指数 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心坐标： （2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 19. 已知数列的前项和为，且满足（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 20. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，当的面积取得最大值时，求内切圆的半径． 21. 函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若不等式在区间(0，e]上恒成立，求实数的取值范围. 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）．曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线，的极坐标方程； （2）若曲线，的交点为A，B，已知，求． 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $