专题02 有理数及其运算（必备知识+28题型+分层检测）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 有理数及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的 意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义. 基础必考点，常出现在小题 有理数的 分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类. 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小 数和π. 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用 数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题. 期中必考点，各题型均有可能出现;用数轴表 示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数 轴比较大小是常考点;而数轴的动点问题则 是作为压轴题来进行考查. 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相 反数的两个数和为 0. 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考 查，难度不大. 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可 能出现;同时也会和数轴一起作为压轴题进 行考查. 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较. 有理数的加减运算 能正确地进行有理数的加减运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数的乘除运算 能正确进行有理数的乘除运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数乘 方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 有理数的 混合运算 能正确进行有理数的混合运算 高频考点，经常出现在大题 有理数的 实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时注 意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 近似数 会求近似数，会确定近似数的精确度 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 认识有理数 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数；（2）0是正数与负数的分界.（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. ★3、 有理数的概念及其分类 （1）有理数：整数和分数统称为有理数. （2）有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类： ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数； 有理数． 知识点02 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3 、数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． ★4、 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点03 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. 知识点04 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点05 利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 知识点06 有理数的加减运算 ●一、有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． ●二、有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). ●三、有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． ●四、有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点07 有理数的乘除运算 ●一、 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展：（1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. ●二、 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． ●三、 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac ●四、 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点08 有理数的乘方 ●一、 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ●二、 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点09 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点10 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点11 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是 ，是负数的是 ，既不是正数也不是负数的是 ． ． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】2024年3月22日第三十二届世界水日的主题为“以水促和平”，提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小昆将节约用水5立方米记作立方米，那么浪费用水3立方米记作（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【变式1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果把收入元记作元，那么元表示 ． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作 ． 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】（2025·广东梅州·一模）某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 【变式1】一种零件，图纸上标明的加工要求是直径现有下列尺寸的产品，其中不合格的是（   ） A．直径为45.02 B．直径为44.8 C．直径为44.99 D．直径为45.01 【变式2】某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，设该疫苗合适的保存温度为，则的取值范围是 ． 题型四 有理数及其分类 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 【典例1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 正数集合：{                        …}； 负数集合：{                        …}； 整数集合：{                        …}； 负分数集合：{                        …}． 题型五 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【变式1】四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． ﹣1 B．2 C．0 D．1 B． 题型六 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式1】如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 题型七 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【变式1】 数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 【变式2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 【变式3】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 题型八 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）绝对值不大于3的整数有（　　）个 A．7 B．5 C．4 D．3 【变式2】对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【变式1】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【变式2】（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 题型十 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【变式1】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较下列各组数的大小：（填“＞，＜，≥，≤，＝”符号） 则：|﹣a|　 　|b|；﹣a 　 　c；c﹣b 　 |b|． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十一 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【变式1】太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质 量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 题型十二 有理数的加减法 解｜题｜技｜巧 按照有理数加法和减法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】 我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三 有理数的乘除法 解｜题｜技｜巧 按照有理数乘法和除法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】计算：得（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】简便计算： (1)； (2) 【变式1】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型十五 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 题型十六 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或 . 【典例1】远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天． A．84 B．336 C．448 D．510 【变式1】如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【变式2】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 题型十七 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2) 【变式2】计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 题型十八 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】如果 ，那么的值是（      ） A． B．2023 C． D．1 【变式1】（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，求的值． （2） 如果a，b表示有理数，且，求的值． 【变式2】若互为相反数，互为倒数，． （1）填空：______；______；______． （2）求的值． 题型十九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】铭铭在学习了大数的表达方式可以用科学记数法来表示，跃跃欲试，把146800000写成，她同桌马上指出这是错的，那么146800000用科学记数法应该表示为（      ） A． B． C． D． 【变式1】据文旅部数据，2024年国庆节7天假期期间，全国国内旅游出游约亿人次，数据765000000用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 题型二十 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【变式1】下列由四舍五入得到的近似数，说法正确的是（　　） A．0.720精确到百分位 B．2.90精确到0.01 C．3.6精确到十位 D．5.0精确到个位 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二十一 有理数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有10筐蔬菜，每筐以为基准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下． 筐数 2 3 2 1 2 与标准质量比较 (1)与标准质量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)求这10筐蔬菜的总质量． (3)若蔬菜每千克售价2元，则出售这10筐蔬菜可获得多少元？ 【变式1】一只蚂蚁从一根细竹竿上的虫眼上上下下，约定向上记为正，小星同学的观察记录为，，，，，，，，，， (1)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？这时蚂蚁头朝上还是朝下，为什么？ (2)若蚂蚁平均每厘米爬，那么小星同学一共观察了多少时间？ 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州亚运会已圆满结束，这离不开亚运网约车司机们的辛勤付出．老姚某天上午的营运全是在一条笔直的东西走向的路上进行．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，，，． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？ (3)若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则姚师傅在这天上午一共收入多少元？ 题型二十二 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【变式1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【变式2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 题型二十三 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式2】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【变式2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3） 类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 题型二十四 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】观察下列式子： ； ； ； ； …… （1）请你找出规律并计算：_________． （2）用含的式子表示上面的规律：__________． （3）用找到的规律计算： ． 【变式1】观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ (1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______． (2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由． 【变式2】研究下列算式，你会发现有什么规律？ ①； ②； ③； ④； ⑤；…… （1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式； （2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式； （3）请用上述规律计算：． 题型二十五 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【变式1】计算： 王林的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 王林发现自己的答案和同学们的不一样． (1)解法中第二步运用了：______（运算律）； (2)请指出他从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【变式2】阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 题型二十六 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【变式1】如图是一个计算程序图，若输入的值为，则输出的结果的值是    （    ）    A． B．90 C．126 D．738 【变式2】按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 题型二十七 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】 对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【变式2】对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【变式2】【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3) 计算． 题型二十八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【变式1】根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式2】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义， 如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上 对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（   ）时． A． B． C． D． 2．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 3．宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 4．实数a， b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 6．下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 7．小征做了以下道计算题：①；②；③；④；⑤．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．道 B．道 C．道 D．道 8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（   ） A．3 B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（     ） A． B．2 C． D．10 11．一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 11．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 12．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 13．计算： (1) (2) (3) (4) 14．已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 16．如图，根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　；B：　 　； （2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：　 　； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C表示的数﹣3重合，则点B与点D重合，则点D表示的数为 　　 ； （4）在（3）的条件下，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数：　 　． 17．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段    问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段______________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为______________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求． 18．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 19．出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 20．【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数的 意义 能准确判断正负数在实际情境中的意义. 基础必考点，常出现在小题 有理数的 分类 能根据有理数的概念区分有理数的分类. 高频易错点，在对数字进行分类时忽略不循环小 数和π. 数轴 可以在数轴上表示有理数，并且能够利用 数轴表示两点距离，同时能够解决动点问题. 期中必考点，各题型均有可能出现;用数轴表 示有理数、数轴上两点之间的距离表示和数 轴比较大小是常考点;而数轴的动点问题则 是作为压轴题来进行考查. 相反数 重点掌握相反数的概念和性质，互为相 反数的两个数和为 0. 期中常考点，一般会和其他知识点混合一起考 查，难度不大. 绝对值 能根据绝对值的概念与性质求解 期中必考点，基础题型和中等难度题型均可 能出现;同时也会和数轴一起作为压轴题进 行考查. 有理数的大小比较 能用不同的方法进行有理数的大小比较 基础必考点，一般在解答题中会有一道题与数轴一起考查有理数的大小比较. 有理数的加减运算 能正确地进行有理数的加减运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数的乘除运算 能正确进行有理数的乘除运算 基础必考点，是考试的基础题型 有理数乘 方运算 能正确进行有理数的乘方运算 基础必考点，经常在计算题考查 科学记数法 能正确的用科学记数法表示一个数 基础必考点，一般出现在选择题 有理数的 混合运算 能正确进行有理数的混合运算 高频考点，经常出现在大题 有理数的 实际应用 准确找出数量关系并计算出结果，同时注 意答案符合实际情况 高频考点，经常出现在大题 近似数 会求近似数，会确定近似数的精确度 易错必考点，一般出现在小题中 知识点01 认识有理数 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数；（2）0是正数与负数的分界.（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. ★3、 有理数的概念及其分类 （1）有理数：整数和分数统称为有理数. （2）有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类： ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数； 有理数． 知识点02 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3 、数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． ★4、 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点03 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. 知识点04 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点05 利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 知识点06 有理数的加减运算 ●一、有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． ●二、有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). ●三、有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． ●四、有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点07 有理数的乘除运算 ●一、 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展：（1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. ●二、 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． ●三、 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac ●四、 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点08 有理数的乘方 ●一、 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ●二、 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点09 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点10 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点11 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，熟知比0小的数叫做负数是解题的关键． 需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“” ，如果有“”就是负数，否则是正数. 【详解】解：，，是负数，有3个， 故选：D． 【变式1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数； 表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是 ，是负数的是 ，既不是正数也不是负数的是 ． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 【详解】解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】2024年3月22日第三十二届世界水日的主题为“以水促和平”，提醒我们节约用水要从生活中的点点滴滴做起．小昆将节约用水5立方米记作立方米，那么浪费用水3立方米记作（   ） A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，关键在于明确相反意义的量的定义．根据相反意义的量的概念，节约用水记作正数，则浪费用水应记作负数． 【详解】“节约用水5立方米”记作立方米，说明“节约”用正数表示，则其相反意义的“浪费”应用负数表示， “浪费用水3立方米”应记作立方米， 故选：A． 【变式1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果把收入元记作元，那么元表示 ． 【答案】支出元 【分析】本题考查具有相反意义的量，正负数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识解答即可． 【详解】解：如果把收入元记作元，那么元表示支出元． 故答案为：支出元. 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）我国古数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义并结合题意可直接进行求解． 【详解】解：若跳远测试以米为基准，跳米记作米，那么跳米应记作米， 故答案为：米． 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】（2025·广东梅州·一模）某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品在（　　）范围内保存才合适． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据温度范围的表示方法，以为基准，允许上下浮动，计算最低和最高温度即可确定正确选项． 【详解】药品保存温度标注为， 表示最低温度为， 最高温度为． 由此可得保存温度范围为， 故项：B． 【变式1】一种零件，图纸上标明的加工要求是直径现有下列尺寸的产品，其中不合格的是（   ） A．直径为45.02 B．直径为44.8 C．直径为44.99 D．直径为45.01 【答案】B 【分析】本题考查了正负数在实际生产生活中的表示误差范围的应用，正确计算表示出直径的范围是解决本题的关键． 根据加工要求，零件的直径范围应为45的上偏差和下偏差所确定的区间，即合格范围为至，由此判断选项即可． 【详解】解：由题意，直径的合格范围为： （下限）， （上限）， 即直径需满足， 观察选项可知，B选项 44.8：小于44.96，低于下限，不合格， 而A，C，D选项均满足． 故选：B． 【变式2】某疫苗说明书上标明疫苗保存的温度是，设该疫苗合适的保存温度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，表示的意义是比高或低都可以，求出疫苗合适的最低和最高温度，从而得到的取值范围． 【详解】解： ，， 的取值范围是 故答案为：． 题型四 有理数及其分类 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 【典例1】（24-25七年级上·天津东丽·期末）下列7个数：（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数，掌握有理数和无理数的概念是解题的关键． 根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，据此即可解答． 【详解】解：有理数有：，，，0，共5个． 故选C． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类方式作答即可． 【详解】A． 有理数包括正数、负数和零，说法错误 B． 一个有理数不是整数就是分数，说法正确 C．分类标准混乱，说法错误 D．综上可知，说法错误 故选：B 【变式3】把下列各数分别填入相应的大括号内： 正数集合：{                        …}； 负数集合：{                        …}； 整数集合：{                        …}； 负分数集合：{                        …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、负分数的定义判断即可． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 负分数集合：． 题型五 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 【变式1】四位同学所画的数轴如图所示，其中正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 【详解】解：根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向， 正确的是； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A．﹣1 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用以及两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键；由题可知点表示的数是，由数轴可知，故可得到答案； 【详解】解：数轴的单位长度为1，由数轴可得两点的距离为，且在的右边 点A表示的数是-3，所以点表示的数为1． 故选：D． 题型六 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】在数轴上表示数﹣1和2021的两点分别为点A和点B，则A、B两点之间的距离为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D． 【分析】由数轴上表示数﹣1和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022． 【详解】解：点A在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B两点之间的距离为1+2021=2022， 故选：D． 【变式1】如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴上的点的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 因为， 故数轴上的点表示的数在和之间的是点； 故选C 【变式2已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在数轴上描出四个点的位置即可； （2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离； （3）原点取在B处，相当于将原数加上，从而计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵B、C分别表示 ∴ 故答案为：． （3）解：∵原点取在B处， ∴相当于将原数加上， 点D：． 题型七 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】（2024•裕华区校级二模）如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【答案】C． 【分析】由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，则A、B表示相反意义的量． 【详解】解：由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，A表示向东走了8m，则点B表示向西走了8m， 故选：C． 【变式1】 数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发向右爬了2个单位长度到了原点，则点A所表示的数是 　 　． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，据此可得． 【解答】解：根据题意知蚂蚁位于原点左侧2个单位的位置，即A所表示的数为﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　　. 【答案】﹣2π． 【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算． 【详解】解：∵圆的周长为2πr＝2π， ∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π． 故答案为：﹣2π． 【变式3】一电子跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3 次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第2022次落下时，落点处表示 的数为（　　） A. -2022 B．2022 C．-1011 D．1011 【答案】C． 【分析】由题意可知第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…，由此规律可求解． 【详解】解：∵第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…， ∴第1次和第2次跳完后向左1个单位，第3次和第4次跳完后向左1个单位，…， ∵2022÷2=1011， ∴它跳第2022次落下时，向左1011个单位， 故选：C． 题型八 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是或， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）绝对值不大于3的整数有（　　）个 A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键；绝对值不大于3的整数有，然后问题可求解． 【详解】解：绝对值不大于3的整数有，共7个； 故选A． 【变式2】对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义和相反数、绝对值化简，掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．根据负数小于0，可将各项化简，然后再进行判断． 【详解】解：A、，当时，原式不是负数，故A不符合题意； B、，当时，原式不是负数，故B不符合题意； C、，当时，原式不是负数，故C不符合题意； D、∵，∴，原式一定是负数，符合题意， 故选：D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图所示，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数是1，则与点A表示的数互为相反数的是（   ） A． B．2 C． D．24 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：B． 【变式2】（1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是关键，只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 题型十 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】在，，，0这四个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴最大的为0， 故选：B. 【变式1】实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较下列各组数的大小：（填“＞，＜，≥，≤，＝”符号） 则：|﹣a|　 　|b|；﹣a 　 　c；c﹣b 　 |b|． 【分析】先由数轴得b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|，再根据绝对值的性质，相反数的定义，减法法则进行判断便可． 【详解】解：由数轴知，b＜a＜0＜c，|a|＜|c|＜|b|， ∴|﹣a|＜|b|，﹣a＜c，c﹣b＞﹣b＝|b|， 故答案为：＜，＜，＞． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）比较下列各组数的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简多重符号，绝对值，比较有理数的大小．先化简多重符号、绝对值，再根据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”比较大小即可． 【详解】解：A．，错误，不合题意； B．，错误，不合题意； C．，错误，不合题意； dD．，即，正确，符合题意； 故选：D． 题型十一 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【答案】D． 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【详解】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1， ∵1＜2＜3＜4， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1． 故选：D． 【变式1】太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质 量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】求出各数绝对值，比较大小即可． 【详解】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7， ∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|， 则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g， 故选：D． 【变式2】世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【分析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量． 【详解】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 题型十二 有理数的加减法 解｜题｜技｜巧 按照有理数加法和减法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】 我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为，由此推算图2可列的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，理解题意，正确的列式是解题的关键． 根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【详解】解：4个小棍正放表示，8个小棍斜放表示，因此图2可列的算式为， 故选：D． 【变式1】某地区某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为 ． 【答案】 【分析】用最高气温减去最低气温进行计算即可. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是有理数的减法，依据题意准确列出算式是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·浙江舟山·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B． C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由，，且满足，得：，． 的值为， 故选：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三 有理数的乘除法 解｜题｜技｜巧 按照有理数乘法和除法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十四 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可； （2）原式逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：；     ； （2）解：．           ． 【变式1】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型十五 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查相反数、绝对值及有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值及有理数的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的大小比较，先根据有理数的乘方法则进行计算，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，判断大小即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选C． 【变式2】为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 设，则，然后由即可求解． 【详解】解：设 ∴， 得： ∴，即， 故选：． 题型十六 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【典例1】远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（    ）天． A．84 B．336 C．448 D．510 【答案】D 【分析】根据“满七进一”，可知这是七进制数，需将其转化为十进制数来计算孩子出生后的天数．本题主要考查了进制的转化，熟练掌握七进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1】如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第4次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C．25 D．175 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第4次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 【变式2】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 题型十七 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （）先根据有理数乘法分配律计算，然后进行有理数减法运算即可； 本题主要考查了有理数混合运算和运算律，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的”． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）先去括号，再进行加减运算； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号先算括号里面的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4)49 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，再运用有理数的乘除混合运算法则计算即可； （3）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可； （4）先算乘方，再运用有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型十八 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】如果 ，那么的值是（      ） A． B．2023 C． D．1 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键． 【变式1】（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，求的值． （2）如果a，b表示有理数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，有理数的除法和绝对值的意义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）由题意可得，，，，再把相应的值代入所求的式子运算即可． （2）根据有理数的乘法，可得a、b异号，化简绝对值，根据有理数的除法，可得答案． 【详解】(1)解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：8． （2）解：∵， ∴a，b异号， 不妨设， ∴． 【变式2】若互为相反数，互为倒数，． （1）填空：______；______；______． （2）求的值． 【答案】（1）；； （2）1 【分析】（1）根据相反数、倒数、绝对值的意义，即可求解； （2）将（1）中的结果代入代数式，即可求解． 【详解】（1）互为相反数，互为倒数，， ∴， 故答案为：；；； （2）由（1）得， 原式 ． 【点睛】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，熟练掌握相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义是解题的关键． 题型十九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】铭铭在学习了大数的表达方式可以用科学记数法来表示，跃跃欲试，把146800000写成，她同桌马上指出这是错的，那么146800000用科学记数法应该表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】据文旅部数据，2024年国庆节7天假期期间，全国国内旅游出游约亿人次，数据765000000用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解： 故选：D． 【变式2】中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一．若每人每天浪费水L，那么万人每天浪费的水就有L，那么的原数为（　　） A．3200000 B．320000 C．32000 D．3200 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，理解科学记数法是正确解答的前提． 的原数就是，计算出结果即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型二十 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：精确到十分位，故选项错误； 万精确到千位，故B选项错误； 精确到十位，故C选项错误； 精确到万位，故D选项正确． 故选：D． 【变式1】下列由四舍五入得到的近似数，说法正确的是（　　） A．0.720精确到百分位 B．2.90精确到0.01 C．3.6精确到十位 D．5.0精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．根据近似数的精确度逐项分析判断即可． 【详解】A、0.720精确到千分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； B、2.90精确到0.01，选项说法正确，故本选项符合题意； C、3.6精确到十分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； D、5.0精确到十分位，选项说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的 体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 题型二十一 有理数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有10筐蔬菜，每筐以为基准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下． 筐数 2 3 2 1 2 与标准质量比较 (1)与标准质量比较，10筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)求这10筐蔬菜的总质量． (3)若蔬菜每千克售价2元，则出售这10筐蔬菜可获得多少元？ 【答案】(1)超过 (2)总质量为 (3)可获得元 【分析】本题考查了正数和负数的意义及有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键， （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）先计算10筐的总标准质量，再加上总计超过的即可； （3）根据单价乘以数量等于总价格，可得答案． 【详解】（1）解： 答：10筐白菜总计超过； （2）； 答：总质量为kg （3）元 答：可获得元． 【变式1】一只蚂蚁从一根细竹竿上的虫眼上上下下，约定向上记为正，小星同学的观察记录为，，，，，，，，，， (1)观察结束时，蚂蚁离出发时的虫眼多远？这时蚂蚁头朝上还是朝下，为什么？ (2)若蚂蚁平均每厘米爬，那么小星同学一共观察了多少时间？ 【答案】(1)；朝上，见解析 (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算，负数的意义以及有理数的运算法则； （1）把个数相加，然后根据和为，则可判断蚂蚁离出发时的虫眼多远，根据最后一次为，可以判断蚂蚁头朝上； （2）把个数的绝对值相加，然后把和乘以可得到小星同学一共观察的时间． 【详解】（1）解：因为；且最后一次是向上； 答：蚂蚁离出发时的虫眼，这时蚂蚁头朝上； （2）解：； ， 答：小星同学一共观察了． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州亚运会已圆满结束，这离不开亚运网约车司机们的辛勤付出．老姚某天上午的营运全是在一条笔直的东西走向的路上进行．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程（单位：千米）记录如下：，，，，，，，，，． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？ (3)若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，则姚师傅在这天上午一共收入多少元？ 【答案】(1)将第7名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点 (2)将最后一名乘客送到时，老姚距上午的出发点，在出发点的东面 (3)姚师傅在这天上午一共收入120元 【分析】本题考查正数与负数，有理数的运算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据正负数的意义，求出送走的乘客后的写出里程是解答； （2）把行车里程相加，然后根据正数和负数的意义解答； （3）分别求出个乘客的收费，再求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴将第7名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午的出发点． （2）解：∵， ∴将最后一名乘客送到时，老姚距上午的出发点，在出发点的东面． （3）解：(元)． ∴姚师傅在这天上午一共收入120元． 题型二十二 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【答案】A． 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2024时， 2n﹣1＝22023， 即第2024个数是22023． 故选：A． 【变式1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C． 【分析】分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案， 【详解】解：根据题意有， a1＝3， ， ， ， ， ……， 该数列每4个数为1周期循环， 2023÷4＝505⋯3， a2023＝a3． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【变式2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【答案】D． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【详解】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 题型二十三 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】（21-22七年级上·浙江金华·期中）我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【变式2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【详解】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 题型二十四 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】观察下列式子： ； ； ； ； …… （1）请你找出规律并计算：_________． （2）用含的式子表示上面的规律：__________． （3）用找到的规律计算： ． 【答案】（1）8；（2）；（3）． 【分析】（1）通过计算可直接得到答案； （2）根据所给式子得出规律即可； （3）先通分，再根据第（2）题规律，进行等量代换，最后约分，即可求解． 【详解】（1）， 故答案是：8； （2）， 故答案是：； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及有理数的混合运算，找出等式的规律是解题的关键． 【变式1】观察下面三行数： ，4，，16，，64，…；① 0，6，，18，，66，…；② ，2，，8，，32，…；③ (1)第①行第8个数为______；第②行第8个数为______；第③行第8个数为______． (2)是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)256，258，128； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）①后一个数是前一个数的−2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的−2倍，由此可求解； （2）通过观察可得规律：①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1，再由（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322，求n即可． 【详解】（1）解：（1）−2，4，−8，16，−32，64，…， 第n个数为（-2）n，当n=8时，（-2）8=256， ∴第8个数是256， ②的数的规律是在①每个对应数加2 ∴②的第8个数是256＋2＝258， ③的第n个数为（−1）n2n−1，当n=8时，（−1）8×27=27=128， ∴③的第8个数是128， 故答案为：256，258，128； （2）不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下： ①的第n个数是（−2）n，②的第n个数是（−2）n＋2，③的第n个数是（−1）n2n−1， 由题意得，（−2）n＋（−2）n＋2＋（−1）n×2n−1＝322， 设n为偶数， ∴4×2n−1＋2n−1＝5×2n−1＝320， ∴2n−1＝64， ∴n＝7，与n为偶数互相矛盾， 设n为奇数， ∴-4×2n−1-2n−1＝-5×2n−1＝320， 此方程无解， ∴不存在一列数，使三个数的和为322． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键． 【变式2】研究下列算式，你会发现有什么规律？ ①； ②； ③； ④； ⑤；…… （1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式； （2）用含n（n为正整数）的式子表示第n个算式； （3）请用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）43659． 【分析】（1）根据例题关系即可得出结果； （2）根据题意得到n个数相加的关系式； （3）把所求式化为计算即可． 【详解】解：（1）第⑥个算式为： （2）第个算式为： ； （3）， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键． 题型二十五 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 【变式1】计算： 王林的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 王林发现自己的答案和同学们的不一样． (1)解法中第二步运用了：______（运算律）； (2)请指出他从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【答案】(1)加法交换律、加法结合律 (2)三；见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据加法交换律和结合律即可解答； （2）根据有理数的加减法法则判断出错的步骤，然后根据有理数的加减法法则写出正确的解答不成． 【详解】（1）解：解法中第二步运用了：加法交换律、加法结合律． 故答案为：加法交换律、加法结合律； （2）他从第三步开始出现错误， 正确的解题过程如下： 原式 ． 故答案为：三． 【变式2】阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算． 计算： 【答案】 【分析】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果． 【详解】解： ， ∴． 题型二十六 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是（   ） A．4 B．9 C．64 D．49 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，即可． 【详解】解：，继续输入： ，输出， 故选D． 【变式1】如图是一个计算程序图，若输入的值为，则输出的结果的值是    （    ）    A． B．90 C．126 D．738 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据程序进行计算即可求解． 【详解】解：输入的值为，， 第二次输入，， 第三次输入，，输出 故选：D． 【变式2】按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．21 C．156 D．231 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图计算，涉及有理数乘除运算，看懂程序流程图，按步骤计算即可得到答案，看懂程序流程图，掌握有理数乘除运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由程序图可知，若开始输入的数为，则 第一次：，； 第二次：，； 第三次：，； 最后输出的结果是， 故选：D． 题型二十七 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】 对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出x，y的值，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 【变式2】【概念提出】 求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”；记作，读作“的圈4次方” 【初步思考】 (1)直接写出计算结果：2③＝ ，＝ ， 【归纳总结】 (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数a的圈n次方等于 (用代数式表示)． 【问题解决】 (3)计算． 【答案】(1)，； (2)； (3)18． 【分析】(1)根据题中给出的例子进行计算即可； (2)根据(1)中的结果即可得出结论； (3)根据(2)中的结论及有理数混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出运算规律是解题的关键． 【详解】解：(1)由题意得， 故答案为：，； (2)由(1)可知，一个非零有理数的圈次方等于这个数的倒数的次方， 即， 故答案为：； (3) 题型二十八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【分析】（1）根据绝对值意义可得|﹣5﹣2|的值，根据绝对值的几何意义可得出答案； （2）根据绝对值的意义得x+5＝7或x+5＝﹣7，据此可求出整数x； （3）根据AB＝BC＝CD，则点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近，据此可确定超 【详解】解：（1）|﹣5﹣2|＝7， 这个算式利用数轴可理解为：在数轴上，﹣5与2之间的距离． 故答案为：7；﹣5与2之间的距离． （2）∵|x+5|＝7， ∴x+5＝7或x+5＝﹣7， 由x+5＝7解得：x＝2， 由x+5＝﹣7解得：x＝﹣12， ∴使|x+5|＝7成立的所有整数有2，﹣12； （3）∵AB＝BC＝CD， ∴点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近， 超市的位置应在B，C两个村庄之间． 【变式1】根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式2】材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义， 如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上 对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【答案】(1)，或； (2)，，． 【分析】本题主要考查了有理数数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，难点是分类讨论． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为：； 可以看作表示的点到的距离与到2的距离以及到4的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若悉尼时间比北京时间早2小时，记为时．则巴黎时间比北京时间晚7小时，应记为（   ）时． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数在实际情境中表示相反意义的量，解题的关键是根据“早2小时记为时”，确定“晚”对应负数的表示规则． 由“早于北京时间记为正”可推出“晚于北京时间记为负”，结合巴黎时间比北京时间晚7小时，得出对应记法． 【详解】解：根据题意，“比北京时间早”用正数表示，则“比北京时间晚”用负数表示．   因为巴黎时间比北京时间晚7小时，故应记为时，对应选项D．   故选：D． 2．下列各有理数：，，，，，，，，，中（ ） A．只有，，，是整数 B．只有，，是负分数 C．非负数有，，， D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，，，，，故本选项错误； B、负分数包括，，，故本选项正确； C、非负数包括，，，，，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 3．宁波市统计局发布数据，2024年宁波市第一季度的值为亿元，实际增速，增量亿元，名义增速．其中亿用科学记数法表示为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于时与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：D． 4．实数a， b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴可知，，据此可得． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴． 故选：D． 5．如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，用有理数表示数轴上的点，有理数的加法，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得到表示出点A表示的数是，点C表示的数是3，进而求解即可． 【详解】∵数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，点A，C两点之间距离为6个单位长度， ∵点A，C表示的数互为相反数， ∴点A表示的数是，点C表示的数是3， ∴点B表示的数是． 故选：C． 6．下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算，计算求解即可； 【详解】A、，， 故，该选项不满足题意； B、，， 故，该选项不满足题意； C、，， 故，该选项满足题意； D、，该选项不满足题意； 故选：C 7．小征做了以下道计算题：①；②；③；④；⑤．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】A 【分析】此题考查有理数的运算，熟悉相关运算法则和乘方的意义是关键． 根据有理数的运算法则逐一检查即可． 【详解】解：①，不是，故①错误； ②，不是，故②错误； ③，不是，故③错误； ④，不是，故④错误； ⑤，故⑤正确； 综上所述小宇共做对了道题． 故选：A． 8．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．则数轴上点B所对应的数b为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字0对齐数轴上的点，点B对齐刻度，点C对齐刻度， ， ， 解得， 故选：C． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 9．有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D． 10．若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（     ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据题中的新定义运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 11．一个数在数轴上所对应的点向右移动8个单位长度后，得到它的相反数，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴的知识，根据相反数的意义得这个数到原点的距离为，再根据这个数在原点左侧可得结论． 【详解】解：∵一个数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后得到它的相反数， ∴这两个数(原数和它的相反数)在数轴上对应的点之间的距离是8； ∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴原数到原点的距离是， 又∵原数在数轴上对应的点向右移动8个单位长度后才到它的相反数对应的点， ∴原数在原点左侧，是， 故答案为：． 11．为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 12．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) 【分析】（1）先计算有理数的加法运算、再计算有理数的减法即可； （2）先根据乘法分配律进行计算，再进行加减计算即可； （3）先计算乘方、再计算乘除，最后再计算加减即可； （4）先计算乘方、绝对值、再计算括号里的，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、含乘方的有理数的四则混合运算、有理数的运算法则及绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 14．已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，绝对值，相反数和倒数的定义，根据绝对值，相反数和倒数的定义求出a、b、c的值是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得a的值，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得b的值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的想法是，据此可得c的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3， ∴， ∴或； 综上所述，的值为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点； （3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可． 【详解】解：（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C； （3）如图所示： 故答案为：B；C． 16．如图，根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：　 　；B：　 　； （2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：　 　； （3）若将数轴折叠，使得点A与点C表示的数﹣3重合，则点B与点D重合，则点D表示的数为 　　 ； （4）在（3）的条件下，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数：　 　． 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）分两种情况列式计算即可； （3）根据题意可先求出折叠点的位置，然后根据中点公式进行计算； （4）根据数轴上点的特点，用“＞”连接点A、B、C、D分别表示的有理数即可． 【详解】解：（1）根据图中A、B两点的位置可知，点A所表示的有理数1，点B所表示的有理数﹣2； 故答案为：1；﹣2； （2）∵A点表示1， ∴与点A的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1﹣3＝﹣2， 故答案为：4或﹣2； （3）∵A点与﹣3表示的点重合， ∴折痕处表示的数为：， ∵点B表示﹣2， ∴与B点重合的数为：﹣1+[﹣1﹣（﹣2）]＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． （4）∵点A所表示的有理数1，点B所表示的有理数﹣2，点C表示的数﹣3，点D表示的数为0， ∴用“＞”连接为：1＞0＞﹣2＞﹣3． 故答案为：1＞0＞﹣2＞﹣3． 17．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段    问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段______________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为______________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或7或3或 【分析】（1）根据题意得出计算即可； （2）根据数轴上点代表的数为，且线段，得出点表示的数为或即可； （3）根据题意列出或，计算即可． 【详解】（1）解： 数轴上点、代表的数分别为和1， 线段， 故答案为：10； （2）解： 数轴上点代表的数为，且线段， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解： 其中一个点表示绝对值为2的数， 这个点表示的数是， 由题意，得或， 解得或7或3或． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的减法，理解题意是解题的关键． 18．为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个 (2)一分钟最多跳绳173个 (3)累计跳绳827个 【分析】本题考查了正数和负数应用，以及有理数的混合运算的应用，解题关键是正确列出算式． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）分别求出11月1日至5日每日跳绳量即可得解； （3）把5天的跳绳量相加即可得解． 【详解】（1）个， 个， 答：小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个； （2）个， 个， 个， 答：一分钟最多跳绳173个； （3）个， 答：累计跳绳827个． 19．出租车司机老姚某天上午营运全是在南北走向的兴海路上进行，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程（单位：）如下： ． (1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的南面还是北面？ (3)若汽车耗油量为，这天上午老姚的出租车耗油多少L？ 【答案】(1)将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点 (2)老姚距上午出发点，在出发点的北面 (3)这个上午老姚的出租车耗油3.3L 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出和为0时的数的个数，即可； （2）求出所有数据的和，根据和的情况作答即可； （3）求出所有数据的绝对值的和，再乘以每千米的油耗即可． 【详解】（1）解：， 答：将第6名乘客送到目的地时，老姚刚好回到出发点． （2）解：， 答：老姚距上午出发点，在出发点的北面． （3）解：， 答：这个上午老姚的出租车耗油3.3L． 20．【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $