精品解析：浙江省杭州市拱墅区文澜中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试卷

文澜中学2025学年初三第一次考试数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，正确，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故C选项错误，符合题意； D、当时，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系，求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A 4. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 5. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 6. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 7. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值． 【详解】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程－x2+2x+k=0得， －9+6+k=0，解得k=3， ∴原方程可化为：－x2+2x+3=0， ∴x1+x2=3+x2=－=2，解得x2=－1． 故选B． 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，关键是掌握二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系和根与系数的关系． 8. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 故选D． 9. 如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 10. 二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则 D. 若时，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出对称轴，进而求出抛物线与轴交于点，求出其对称点为，根据二次函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线与轴交于点， ∴的对称点为， ∵，在抛物线上，且， ①当时，则：， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ②当时，则， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， 当时， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上，选项A错误，选项B正确； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵可能大于也可能小于，则：或，故选项C错误； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵可能大于也可能小于，则：或，故选项D错误； 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则___________度． 【答案】135 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质．由平行四边形的性质得，则，而，所以，求得，据此求解即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． 12. 已知反比例函数y =，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ 【答案】m＜﹣2 【解析】 【详解】∵x＞0时，y随x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2， 故答案为m＜﹣2． 13. 二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象平移对解析式的影响，图象左右平移影响“x”，作用效果是“左加右减”，图象上下平移影响整体函数值，作用效果是“上加下减”，据此即可求出新的函数解析式． 【详解】解：二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是： ， 故答案为：． 14. 已知二次函数自变量的部分取值和对应函数值如表： 则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y-3＞0成立的x取值范围． 【详解】解：由表格可知， 该二次函数的对称轴是直线，函数图象开口向上， 故y-3＞0成立的x的取值范围是x＜-1或x＞3， 故答案为：x＜-1或x＞3． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据题意及正方形的性质，证得四边形是平行四边形，得到，，进而证明四边形是矩形，得到，， 从而得到，结合，得到， 根据正方形的对称性得到，， 进而根据角和边的等量代换证得，，从而得到是等腰直角三角形， 已知的长，根据勾股定理可求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，从而可解得正方形的边长． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 即也是正方形的对称轴， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 即， （负值已舍去）， ， 即正方形的边长为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 16. 如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长为______，的长为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题利用了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质以及解一元二次方程等知识求解．过点作于点，过点作于，连接，设，在中，利用勾股定理求出x，从而求出，利用及勾股定理求出a，从而求出． 【详解】由题中的两个图可得：， 过点作于点，过点作于，连接，设， ∵四边形是菱形， 在中， 解得（舍去）， ∴，， ∴四边形是矩形， 故答案为：4，． 三、解答题（本题有8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形． （1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合． （2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上． （注：图甲、图乙在答题纸上） 【答案】（1） 画法不唯一，如图1或图2等． （2） 画法不唯一，如图3或图4或图5或图6等． 【解析】 【分析】本题考查格点作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）点O在边上或在边上，利用格点作图即可； （2）点O在边上或在边上，利用格点作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． （1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； （2）若，求电流的变化范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数及其增减性： （1）根据反比例函数的定义设，将，代入即可求出k； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系， ∴设， 当时， ； 【小问2详解】 解：中，， ∴在时，随的增大而减小， ∴， 即． 19. 已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题： （1）把代入可得函数解析式为，再令，求出x的值，即可； （2）根据且，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，函数解析式为， 当时，， 解得：， 即图象与轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：∵图象与轴有一个交点， ∴且， 即且， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）D或D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得，则，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：对于一次函数，令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或． 21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ∴， ，， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． 22. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为， （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，能建成的饲养室的面积最大，最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其性质： （1）求出平行于墙的材料长，根据矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知平行于墙的材料长为，即， ∴， 其中，则； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）若和是函数图象上的两点，且，求的取值范围； （3）若一次函数的图象经过函数图象的顶点，当时，比较与的大小． 【答案】（1） （2）或 （3）当时，； 当时，； 当时，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合解决问题． （1）利用待定系数法直接求解函数的表达式； （2）利用二次函数的性质确定函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性得到关于对称轴的对称点为，分：在对称轴的左侧和在对称轴的右侧，两种情况讨论，根据函数图象的增减性，确定的取值范围； （3）将函数的表达式化为顶点式，可得将函数的图象的顶点坐标为，将顶点坐标代入 一次函数中可得的表达式，令，可解得，分：，，，分别比较与的大小． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点， ， 解得， 函数的表达式为； 【小问2详解】 解：函数图象的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， 抛物线的开口向上， 当在对称轴的左侧时，随的增大而减小， ， ， 当在对称轴的右侧时，随的增大而增大， ， ， 综上所述，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：， 函数图象的顶点坐标为． 一次函数的图象经过图象的顶点， ，即， ， 令，得， 整理得，解得或， 当时，； 当时，； 当时，． 24. 如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． （1）______（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 【答案】（1） （2） ①证明：作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； ② （3） 【解析】 【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为； 【小问2详解】 略 解：设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； 【小问3详解】 解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文澜中学2025学年初三第一次考试数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 随的增大而增大 D. 若，则 3. 如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解（　　） A. 1 B. C. D. 0 8. 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（ ） A. 这个反比例函数解析式为 B. 当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C. 若压强由减压到，则气体体积增加了 D. 若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 9. 如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 二次函数的图象过，两点，其中，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则 D. 若时，则 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则___________度． 12. 已知反比例函数y =，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ 13. 二次函数向左平移3个单位，向上平移1个单位得到函数解析式是______． 14. 已知二次函数自变量的部分取值和对应函数值如表： 则在实数范围内能使得成立的取值范围是_______． 15. 如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为______． 16. 如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长为______，的长为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分，第17、18、19、20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的四边形称为格点四边形．在的正方形方格纸中，点均为格点（如图所示），按下列要求画格点四边形． （1）请在图甲中画一个平行四边形，使点在它的一边上，且不与顶点重合． （2）请在图乙中画一个平行四边形，使点在它的对角线上． （注：图甲、图乙在答题纸上） 18. 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． （1）求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； （2）若，求电流的变化范围． 19. 已知：关于x的二次函数， （1）当时，求图象与轴的交点坐标； （2）若图象与轴有一个交点，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为， （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？ 23. 在平面直角坐标系中，二次函数． （1）若函数的图象经过点，求函数的表达式； （2）若和是函数图象上的两点，且，求的取值范围； （3）若一次函数的图象经过函数图象的顶点，当时，比较与的大小． 24. 如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． （1）______（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． （3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $