1.3有理数的大小讲义2025-2026学年沪科版（2024）七年级数学上册

1.3 有理数的大小 学习目标 1. 知识与技能： · 理解并掌握有理数大小比较的基本方法。 · 会利用数轴比较有理数的大小。 · 会利用绝对值比较两个负数的大小。 · 能熟练运用有理数大小比较的法则比较多个有理数的大小。 2. 过程与方法： · 通过观察、比较、归纳等数学活动，体验有理数大小比较方法的探索过程。 · 培养数形结合的数学思想和分类讨论的思想。 3. 情感态度与价值观： · 感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。 · 培养严谨的逻辑思维能力和准确的运算能力。 知识点讲解 1. 利用数轴比较有理数的大小： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 由此，我们可以根据有理数在数轴上的位置关系来比较它们的大小。 2. 利用法则比较有理数的大小： （1）正数与正数比较：绝对值大的正数大。 例如：( 5 > 3 )，因为 ，，且 ( 5 > 3 )。 （2）正数与0比较：正数都大于0。 例如：( 2 > 0 )，( 0.5 > 0 )。 （3）正数与负数比较：正数大于一切负数。 例如：( 3 > -1 )，( 0.1 > -5 )。 （4）0与负数比较：0大于一切负数。 例如：( 0 > -2 )，( 0 > -0.3 )。 （5）负数与负数比较：两个负数，绝对值大的反而小。 例如：( -3 > -5 )，因为 ，，且 ( 3 < 5 )，所以 ( -3 > -5 )。 例题解析 例题1：比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1） 6 和 9 （2） -6 和 -9 （3） -0.5 和 0 （4）和 解析： （1）6和9都是正数，根据“正数与正数比较，绝对值大的数大”进行比较。 （2）-6和-9都是负数，根据“负数与负数比较，绝对值大的反而小”进行比较。 （3）-0.5是负数，0是基准数，根据“0大于一切负数”进行比较。 （4）和都是负数，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结论。 解答： （1） 6 < 9 理由：6和9都是正数，且，。 因为 6 < 9 ，所以 6 < 9 。 （2） -6 > -9 理由：-6和-9都是负数，且，。 因为 6 < 9 ，所以 -6 > -9 。 （3） -0.5 < 0 理由：因为0大于一切负数，所以 -0.5 < 0 。 （4） 理由：和都是负数。 因为，即，所以。 例题2：比较 -(-4) 和 -| -3 | 的大小。 解析：首先，需要分别化简 -(-4) 和 -| -3 | 这两个数，然后再进行比较。化简时要注意符号的变化规则和绝对值的意义。 解答： 先化简各数： -(-4) = 4 比较化简后的结果： 因为 4 > -3 ，所以 -(-4) > -| -3 | 。 例题3：已知 a 是正数， b 是负数，且 |a| < |b| ，比较 a ， -a， b ， -b 的大小。 解析：因为 a 是正数，b 是负数，所以 -a 是负数，-b 是正数。正数大于负数，所以 a 和 -b 是较大的一组， -a 和 b 是较小的一组。再根据 |a| < |b| 来比较正数组和负数组内部的大小 。 解答： 因为 a 是正数， b 是负数， 所以 -a 是负数，-b 是正数。 所以 a > 0 ，( -a < 0 )， b < 0 ， -b > 0 。 因为 |a| < |b| ，且 a > 0 ， b < 0 ， 所以 a < -b （两个正数比较，绝对值大的数大）。 同时，，，因为 |a| < |b| )， 所以 -a > b （两个负数比较，绝对值大的反而小）。 综上， b < -a < a < -b 。 巩固练习 一、填空题 1. 用“>”或“<”填空： （1） -7 ______ -5 （2）0 ______ -1 （3） （4）| -3 | ______ -4 （5） -(-2) ______| -2 | 2. 最大的负整数是 ______，最小的正整数是 ______。 3. 若 a < 0 ， b < 0 ，且 |a| > |b| ，则 a ______ b （填“>”或“<”）。 二、判断题（对的打“√”，错的打“×”） 1. 所有的正数都大于负数。（ ） 2. 两个数比较大小，绝对值大的数一定大。（ ） 3. -a 一定是负数。（ ） 4. 若 ，则 ( x = y )。（ ） 5. 在数轴上，离原点越远的点表示的数越大。（ ） 三、解答题 1. 比较下列各组数的大小，并写出比较过程。 （1）和 （2） 和 | -0.8 | （3） -1.2 ， 0.12 ， -12 ， 1 2. 把下列各数按从小到大的顺序排列起来： -3.5 ， 2 ， -4 ， 0 ， 1.6 ，， 3 3. 已知 ，，且 a < b ，求 a ， b 的值。 4. 若 a 是小于 0 的数， b 是大于 0 的数，且 |a| > |b| ，试比较 a ， -a ， b ， -b ，0 这五个数的大小。 巩固练习答案与解析 一、填空题 1. （1）-7 < -5 解析：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。，。因为 ( 7 > 5 )，所以 -7 < -5 。 （2） 0 > -1 解析：0 大于一切负数。 （3） 解析：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。，。因为，所以。 （4） | -3 | > -4 解析：先化简 。正数大于一切负数，所以 3 > -4 ，即 | -3 | > -4 。 （5） 解析：先化简 ( -(-2) = 2 )，。所以 。 2. 最大的负整数是 -1，最小的正整数是 1。 解析：负整数是小于0的整数，越接近0的负整数越大，所以最大的负整数是-1；正整数是大于0的整数，最小的正整数是1。 3. 若 a < 0 ， b < 0 ，且 |a| > |b| ，则 a < b 。 解析：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。因为 |a| > |b| ，所以 a < b 。 二、判断题 1. 所有的正数都大于负数。（ √ ） 解析：正数都大于0，负数都小于0，所以正数都大于负数。 2. 两个数比较大小，绝对值大的数一定大。（ × ） 解析：对于两个负数，绝对值大的数反而小。例如 ，，( 5 > 3 )，但 -5 < -3 。 3. -a 一定是负数。（ × ） 解析：当 ( a ) 是负数时，( -a ) 是正数；当 ( a = 0 ) 时，( -a = 0 )。 4. 若 ，则 x = y 。（ × ） 解析：若 ，则 ( x = y ) 或 ( x = -y )。例如 ，但。 5. 在数轴上，离原点越远的点表示的数越大。（ × ） 解析：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。离原点远，如果在原点左边（负数），则表示的数越小。 三、解答题 1. （1）比较和 解：和都是负数。 因为 所以 （2）比较 和 | -0.8 | 解：先化简各数。 比较 0.7 和 (0.8 因为 0.7 < 0.8 所以 < | -0.8 | （3）比较 -1.2 ， 0.12 ， -12 ， 1 解：将这些数分类：负数有 ，-12；正数有0.12，1。 负数之间比较：，。因为 1.2 < 12 ，所以 -1.2 > -12 。 正数之间比较： 0.12 < 1 。 正数大于负数。 所以整体大小关系为： -12 < -1.2 < 0.12 < 1 2. 把下列各数按从小到大的顺序排列起来： -3.5 ， 2 ， -4 ， 0 ， 1.6 ，， 3 解：先将所有数在数轴上大致定位（或直接比较）： 负数： -4 ，-3.5 ， 正数： 1.6 ， 2 ， 3 负数比较大小：，，。因为 4 > 3.5 > 0.5 ，所以 -4 < -3.5 < -0.5 。 正数比较大小： 1.6 < 2 < 3 。 综合排序： 3. 已知 ，，且 a < b ，求 a ， b 的值。 解：因为 ，所以 a = 3)或 a = -3 。 因为 ，所以 b = 5 或 b = -5 。 又因为 a < b ，所以需要分情况讨论： 当 a = 3 时： 3 < 5 ，所以 b = 5 符合条件； 3 < -5 不成立，所以 b = -5 不符合条件。 当 a = -3 时： -3 < 5 ，所以 b = 5 符合条件； -3 < -5 不成立，所以 b = -5 不符合条件。 综上， a = 3 ，b = 5 或 a = -3 ，b = 5 。 4. 若 a 是小于 0 的数， b 是大于 0 的数，且 |a| > |b| ，试比较 a ， -a ，b ， -b ，0 这五个数的大小。 解：因为 a < 0 ，所以 -a > 0 ，且 。 因为 b > 0 ，所以 -b < 0 ，且 。 已知 |a| > |b| ，即 -a > b 。 对于负数 a 和 -b ，因为 （因为 b > 0 ，所以 ），所以 a < -b （两个负数比较，绝对值大的反而小）。 正数都大于0，0都大于负数。 所以这五个数的大小关系为：a < -b < 0 < b < -a 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 有理数的大小 学习目标 1. 知识与技能： · 理解并掌握有理数大小比较的基本方法。 · 会利用数轴比较有理数的大小。 · 会利用绝对值比较两个负数的大小。 · 能熟练运用有理数大小比较的法则比较多个有理数的大小。 2. 过程与方法： · 通过观察、比较、归纳等数学活动，体验有理数大小比较方法的探索过程。 · 培养数形结合的数学思想和分类讨论的思想。 3. 情感态度与价值观： · 感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。 · 培养严谨的逻辑思维能力和准确的运算能力。 知识点讲解 1. 利用数轴比较有理数的大小： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 由此，我们可以根据有理数在数轴上的位置关系来比较它们的大小。 2. 利用法则比较有理数的大小： （1）正数与正数比较：绝对值大的正数大。 例如：( 5 > 3 )，因为 ，，且 ( 5 > 3 )。 （2）正数与0比较：正数都大于0。 例如：( 2 > 0 )，( 0.5 > 0 )。 （3）正数与负数比较：正数大于一切负数。 例如：( 3 > -1 )，( 0.1 > -5 )。 （4）0与负数比较：0大于一切负数。 例如：( 0 > -2 )，( 0 > -0.3 )。 （5）负数与负数比较：两个负数，绝对值大的反而小。 例如：( -3 > -5 )，因为 ，，且 ( 3 < 5 )，所以 ( -3 > -5 )。 例题解析 例题1：比较下列各组数的大小，并说明理由。 （1） 6 和 9 （2） -6 和 -9 （3） -0.5 和 0 （4）和 例题2：比较 -(-4) 和 -| -3 | 的大小。 例题3：已知 a 是正数， b 是负数，且 |a| < |b| ，比较 a ， -a， b ， -b 的大小。 巩固练习 一、填空题 1. 用“>”或“<”填空： （1） -7 ______ -5 （2）0 ______ -1 （3） （4）| -3 | ______ -4 （5） -(-2) ______| -2 | 2. 最大的负整数是 ______，最小的正整数是 ______。 3. 若 a < 0 ， b < 0 ，且 |a| > |b| ，则 a ______ b （填“>”或“<”）。 二、判断题（对的打“√”，错的打“×”） 1. 所有的正数都大于负数。（ ） 2. 两个数比较大小，绝对值大的数一定大。（ ） 3. -a 一定是负数。（ ） 4. 若 ，则 ( x = y )。（ ） 5. 在数轴上，离原点越远的点表示的数越大。（ ） 三、解答题 1. 比较下列各组数的大小，并写出比较过程。 （1）和 （2） 和 | -0.8 | （3） -1.2 ， 0.12 ， -12 ， 1 2. 把下列各数按从小到大的顺序排列起来： -3.5 ， 2 ， -4 ， 0 ， 1.6 ，， 3 3. 已知 ，，且 a < b ，求 a ， b 的值。 4. 若 a )是小于 0 的数， b 是大于 0 的数，且 |a| > |b| ，试比较 a ， -a ， b ， -b ，0 这五个数的大小。 综合排序： 5. 已知 ，，且 a < b ，求 a ， b 的值。 6. 若 a 是小于 0 的数， b 是大于 0 的数，且 |a| > |b| ，试比较 a ， -a ，b ， -b ，0 这五个数的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $