专题04 等腰三角形的性质与判定（7大考点）（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期人教版2024

专题04 等腰三角形的性质与判定 7大高频考点概览 考点01 等边对等角的应用 考点02 三线合一的应用 考点03 等腰三角形的性质与判定的综合 考点04 等角对等边的应用 考点05 等边三角形性质的应用 考点06 30°锐角所对的直角边 考点07 等边三角形性质与判定的综合 地 城 考点01 等边对等角的应用 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点为边的中点，点在边上，将沿若折叠，使点落在上的点处．若，则等于（   ） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在和中，，，，若，则（    ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）题目：“如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确，但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中正确的是（   ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说得不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于 D．淇淇说得对，的另一个值是 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则 ． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．与相交于点．连接，，． （1）若的周长为，的周长为，则的长为 ，的长为 ； （2）若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接． (1) ； (2) °． 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 12．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)当时，求的度数是_____； (2)若的三条高线都在该三角形的内部，直接写出的取值范围______． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，在中，垂直平分交于点D，交于点E；垂直平分交于点F，交于点G．    (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数； (3)如图2，改变各角的度数，设的度数为． ①当点G和E重合时，求的值； ②设的度数为，请直接写出和的关系式． 地 城 考点02 三线合一的应用 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级下·河北保定·期中）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 19．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，分别垂直平分，且交于M，N两点，与相交于点F． （1）若的周长为8，，则的长为 ； （2）若，则的度数为 ． 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知． (1)求证：； (2)求的度数． 21．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D分别作 ，垂足分别为E，F，求证：． 22．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 23．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 24．（23-24八年级下·河北张家口·期中）下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 地 城 考点03 等腰三角形的性质与判定的综合 26．（24-25八年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 27．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 28．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（   ） A．是的一条角平分线 B．是的一条高线 C．是的一条中线 D．垂直平分边 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 31．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 32．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，等腰中，，，用无刻度的直尺和圆规作出线段BD，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中是内一点，且平分．求证：． 34．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， 为 的角平分线，边 的垂直平分线分别交，，于点，，，连接、． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若 求 的度数．（可直接利用（1）的结论） 35．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 37．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 地 城 考点04 等角对等边的应用 38．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点 D 作边的平行线，交于点E，交于点F．若的周长为14，则的周长是（    ） A．7 B．9 C．12 D．19 40．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ． 42．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，为的角平分线，且点D为的中点，过点D作于点E，于点F． (1)求证：为等腰三角形； (2)设长为a、长为b、长为m、长为n，求证：． 43．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，是边上一个动点，于点，交延长线于点．    (1)直接判断的形状； (2)当点在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 地 城 考点05 等边三角形性质的应用 44．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．等边三角形的三条边都是相等 45．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 46．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 47．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 48．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 49．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为等边三角形，与相交于点于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 50．（24-25八年级上·河北承德·期中）两个等边三角形如图摆放，与交于点M，与交于点N，与相交于点P，点B、C、E在一条直线上．    求证：． 51．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由点向点和由点向点爬行，经过后，它们分别爬行到了点，点处，连接，交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 地 城 考点06 30°锐角所对的直角边 52．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示的是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（    ） A．6米 B．8米 C．12米 D．10米 53．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的夹角为，且点坐标为，点在轴上方，设，那么点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．18米 B．16米 C．15米 D．12米 56．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，，为高线，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 57．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，是射线上一动点（即点可在射线上运动），，若为直角三角形，则的长度为（    ） A．5 B．10 C．20 D．5或20 58．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．①．；②．若，则点D到的距离为2；③．若，则；④．正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 59．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点……按此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 60．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，于点D，，，则等于 ． 61．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 62．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 63．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 地 城 考点07 等边三角形性质与判定的综合 64．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 65．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学课上张老师让同学们根据条件画三角形，条件是中，，，．嘉嘉说：不能作出唯一的三角形，在经历了三角形全等条件的探索学习后可知，给出“三角形两边及一边的对角”三个条件后，可以作出锐角三角形和钝角三角形两个三角形． 淇淇说：能作出唯一的三角形，在经历了定理“直角三角形所对的直角边是斜边的一半”的探究后可推断出，给出“的对边是邻边的一半”的条件后，只能作出唯一的直角三角形．对于嘉嘉和淇淇的说法，下列正确的是（   ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．她俩都对 D．她俩都不对 67．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的长为（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是 ． 69．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，于点D，，求证：为等边三角形． 证明：∵， ∴是____________． ∵于点D， ∴____________． 又， ∴为等边三角形．（____________） 70．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，过C作直线关于直线的对称点为D，连接与的交点为E，设．若，则 ． 71．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 72．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点，分别是，上的动点．已知点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为等边三角形时，求的值． (2)当为直角三角形时，求的值． 73．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状（按角分类），并说明理由； (3)探究：当α为何值时，． 74．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在四边形中，已知，连接，且，点E在边上，过点A作，垂足为F，且． (1)求证：； (2)试判断，及之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，请直接写出的度数． 75．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求的度数．小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数为____________． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请直接写出的度数为____________． 76．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 77．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒后，、两点重合？ (2)点、运动几秒后，可得到是等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的是等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间； (4)点、运动__________秒后，可得到是直角三角形． 试卷第2页，共92页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形的性质与判定 7大高频考点概览 考点01 等边对等角的应用 考点02 三线合一的应用 考点03 等腰三角形的性质与判定的综合 考点04 等角对等边的应用 考点05 等边三角形性质的应用 考点06 30°锐角所对的直角边 考点07 等边三角形性质与判定的综合 地 城 考点01 等边对等角的应用 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的外角，斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点为边的中点，点在边上，将沿若折叠，使点落在上的点处．若，则等于（   ） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 【答案】B 【分析】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：是沿直线翻折变换而来， ， 是边的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在和中，，，，若，则（    ） A． B． C． D．不只是，还有可能是其他值 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当时，利用可证得，于是可得；当时，过点作，与交于，利用可证得，于是可得，进而可得，利用等边对等角及三角形外角的性质可得；综上，或，于是可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， 在和中， ， ， ； 当时， 如图， 过点作，与交于， 在和中， ， ， ， 又， ， ； 综上，或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），三角形的内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）题目：“如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确，但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中正确的是（   ） A．淇淇说得对，的另一个值是 B．淇淇说得不对，只能等于 C．嘉嘉求的结果不对，应等于 D．淇淇说得对，的另一个值是 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据题意画出图形，分点P在上方和下方，再分别运用等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 如图，当点P在上方时： 由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在下方时： 同理：， ∴． ∴淇淇说得对，的另一个值是． 故选A． 5．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    【答案】/26度 【分析】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】当时，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到°，得到最多摆放2根小棒；当最多能摆放5根小棒时，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，因此，，于是得到． 本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质和题意得到，． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，这样的小棒最多摆放2根； 如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，， ∵最多能摆放5根小棒， ∴，， ∴． 故答案为：2，． 7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．与相交于点．连接，，． （1）若的周长为，的周长为，则的长为 ，的长为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 15 9 【分析】（1）由垂直平分线得到，则的周长化为，的周长化为，则，即可求解； （2）由，，设，则，而，在中，由三角形内角和定理得，即可求解，继而可求解． 【详解】解：（1）∵，分别垂直平分和， ∴ ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， 而， ∴， ∴， 故答案为：15，9； （2）如图， ∵， ∴， 设 ∵， ∴ ∵， ∴在中，由三角形内角和定理得， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 【答案】 30 5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：30； （2）由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 如图， ∴， ∴， ∴最多能焊接5根； 故答案为：5． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接． (1) ； (2) °． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出对应的图形是解题关键． （1）当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，均有，据此即可求解； （2）分类讨论当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解： 当点在点左边时，如图所示： ∵， ∴，即； 当点在线段上时，如图所示： ∵， ∴，即； 当点在点右边时，如图所示： ∵， ∴，即； ∵， ∴三种情况下，均有， ∴， 故答案为： （2）解：∵， ∴； 当点在点左边时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 当点在点右边时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 故答案为：或 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握相减性质是解答本题的关键． （1）设，根据线段垂直平分线的性质可得 ，得，，由得，再根据三角形内角和定理得可得； （2）由题意得到，再将转化成，则问题可解． 【详解】（1）解：设， ∵垂直平分． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意点，连接，并使的延长线交射线于点，设． (1)当时，求的度数是_____； (2)若的三条高线都在该三角形的内部，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定，三角形内角和定理等知识， （1）根据证明：， 可得，所以，由等边对等角可得结论； （2）证明是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论． 【详解】（1）解：∵P是的中点， ∴， 在和中， ∵ ， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵的三条高线都在该三角形的内部， ∴是锐角三角形， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，在中，垂直平分交于点D，交于点E；垂直平分交于点F，交于点G．    (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数； (3)如图2，改变各角的度数，设的度数为． ①当点G和E重合时，求的值； ②设的度数为，请直接写出和的关系式． 【答案】(1)14 (2) (3)①的值为，②当时，，当时， 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和三角形内角和定理， 根据垂直平分线的性质得，结合的周长为即可； 设，结合三角形内角和定理得，由垂直平分线的性质得，则有，即可求得； ①当点G和E重合时，由垂直平分线的性质得，则，结合三角形内角和定理即可求得的值； ②根据角度关系分：当和当两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分交于点D；垂直平分交于点F， ∴， ∵，， ∴的周长为 ； （2）解：设， 在中，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴； （3）解：①当点G和E重合时，， ∴， 在中，， ∴， 则的值为； ②(a)当， 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ， 则； （b）当， 如图， 同理，，， ∵， ∴， ， ， 则， 综上所述，当时，，当时，． 地 城 考点02 三线合一的应用 15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交边于E，F两点若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ，点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∴的长为的最小值， 是等腰三角形，点D为边的中点， ， 的底边长为6，面积是36， ， ， 的周长最短 故选：B． 17．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，， 为边 上的中线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一得出，再由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 18．（23-24八年级下·河北保定·期中）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题时考虑问题要全面，必要时可做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．分情况先画出图形，再解答即可． 【详解】解：当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为时， 当等腰三角形为锐角三角形时如图1， 于点，∠， ∴； 当为钝角三角形时如图2， 于点，， ∴， ∴． 当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为时，如图3 于点，， ∴， ∴甲、乙、丙的结果合起来才对； 故选：C． 19．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，分别垂直平分，且交于M，N两点，与相交于点F． （1）若的周长为8，，则的长为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 4 /40度 【分析】本题主要考查中垂线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，正确的识图，从复杂图形中有效的获取等量关系是解题的关键． （1）根据中垂线的性质可得，推出的周长为，据此求解即可； （2）三角形的内角和定理可得，三线合一得到，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）∵分别垂直平分， ∴， ∵的周长， ∴． 故答案为：4． （2）∵， ∴， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，角平分线的定义，等边对等角，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，然后根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到解题即可； （2）根据全等得到，然后得到，然后利用角平分线的定义和三角形的内角和的定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的高线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵由（1）得， ∴． 21．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D分别作 ，垂足分别为E，F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形等边对等角的性质，先由得，再由，得，进而可得出结论． 【详解】证明∶∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 22．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂足为，，交于点．是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】△是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出，由平行线的性质推出，得到，推出△是等腰三角形． 【详解】解：△是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． 23．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）由中线的性质得，由全等三角形的性质得，进而可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∵的面积是2， ∴四边形的面积为6． 24．（23-24八年级下·河北张家口·期中）下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）根据条件证明是等边三角形，根据三线合一的性质即可证明； （2）根据条件证明是等边三角形，从而再证明即可． 【详解】解：方法一：如图：延长到点，使得，连接， ， ， ，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ； 方法二：如图，在线段上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即． 25．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)1或7 (3) 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； （3），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 地 城 考点03 等腰三角形的性质与判定的综合 26．（24-25八年级下·河北保定·期中）某数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作等腰三角形的三种情况，图1，图2，图3分别对应下面三种情况中的一种：①已知底边长和腰长；②已知底边长和一个底角；③已知底边长和底边上的高．根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，解题关键是熟悉相关作图方法． 根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是②已知底边长和一个底角； 图2对应的是③已知底边长和底边上的高； 图3对应的是①已知底边长和腰长， 其对应顺序正确的是②③①， 故选：C． 27．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质等知识，分三种情况，， ，，画出图形即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为四点，则是等腰三角形， 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 当时， 作的垂直平分线，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 综上，使得是等腰三角形的点共有个， 故选：D． 28．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题主要考查对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质依次进行判断即可． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（   ） A．是的一条角平分线 B．是的一条高线 C．是的一条中线 D．垂直平分边 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．根据折叠可得，，推出，即可求解． 【详解】解：折叠可得：，， ， 垂直平分边， 故选：D． 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再证，得到，，根据平角的性质，三角形内角和定理可得，可判定①②④；根据等腰三角形的三线合一进行判定即可判定③；由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴．故④正确； ∵， ∴ ， ∵， ∴，故①正确； 由上述证明可得，故②正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，平分，是的中线， ∴， 根据题意，可得是上的一点， ∴当点是中点时，，否则不一定垂直，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 31．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在长方形中，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（   ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查长方形的性质、尺规作图—角平分线和垂直平分线混合等腰三角形的性质，根据题意得，，则，根据作图得射线为的角平分线，点E所在的直线垂直平分线段，则，，即可求得． 【详解】解：∵长方形中， ∴，， 则， 根据题意知，射线为的角平分线，则， 根据题意得，点E所在的直线垂直平分线段，则， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 32．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，等腰中，，，用无刻度的直尺和圆规作出线段BD，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及基本尺规作图，能够发现是角平分线是解答本题考查的关键． 根据作图痕迹发现平分，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：等腰中，，， ， 由作图痕迹发现平分， ， ，， 故A、B、C正确，不符合题意； ，，故D错误，符合题意； 故答案为：D． 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中是内一点，且平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识，先由角平分线定义得到，再由三角形全等的判定与性质确定，进而得到是等腰三角形，由等腰三角形性质即可得证，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：平分， ， 在和中，                  ， ，即是等腰三角形， ． 34．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， 为 的角平分线，边 的垂直平分线分别交，，于点，，，连接、． (1)不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外），并用“”表示全等的等腰三角形． (2)若 求 的度数．（可直接利用（1）的结论） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，结合图形求解是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，再由等腰三角形的定义及全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）解：等腰三角形有； ∵ 为 的角平分线， ∴垂直平分边， ∴， ∵边 的垂直平分线分别交，，于点，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 在和中， ∵，，， ∴； （2）∵， ∴ ∵为的角平分线， ∵， ∴． ∵ 为等腰三角形， ∴， ∴ ． 35．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解，（2），理由见解析；（3）2 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接，如图， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图， 同理可证：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、非负数性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． （1）根据算术平方根和平方的非负数性质可得出，，根据同角的余角相等得出，利用可证明，即可得出，，进而求出，即可得答案； （2）延长和交于点，同（1）的方法可证明，得出，利用三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 （2）解：，理由如下： 延长和交于点， ， ， ， 轴， ， ， ， 在和中，， ， ， 轴平分， ， ∵， ， ， ， ． 37．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），度数记为，连接，作，交线段于． (1)当时，______，______；点从向运动时，逐渐变______（填“大”或“小”），的取值范围是______； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小； (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用； （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小，根据点从向运动过程中可得出的取值范围； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 点D从B向C运动时，的取值范围是， 故答案为：；；小，． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 当时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 地 城 考点04 等角对等边的应用 38．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 39．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点 D 作边的平行线，交于点E，交于点F．若的周长为14，则的周长是（    ） A．7 B．9 C．12 D．19 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，即可求解 【详解】解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为14，， ∴， ∴的周长． 故选：B 40．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，，，为的中点，连接，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形，等腰三角形，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 延长交于点，根据平行线的性质和为的中点，证明，求出，，再根据等腰三角形的性质，可得的长，即可选出正确答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵， ∴，， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 41．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴的周长 ， 故答案为：12． 42．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，为的角平分线，且点D为的中点，过点D作于点E，于点F． (1)求证：为等腰三角形； (2)设长为a、长为b、长为m、长为n，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）首先根据角平分线的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （2）由（1）可知，然后利用三角形面积证明即可． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，， ∴ ∵D为的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ 即为等腰三角形； （2）证明：由（1）可知 ∵，平分 ∴ ∴ 又∵ ∴，即 43．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，是边上一个动点，于点，交延长线于点．    (1)直接判断的形状； (2)当点在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)成立，，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质． （1）根据已知条件得出，，再根据得出，最后根据，得出，即可证出从而可判断出的形状． （2）证明方法同（1）． 【详解】（1）是等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴是等腰三角形． （2）成立； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．    地 城 考点05 等边三角形性质的应用 44．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．等边三角形的三条边都是相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，不等式的性质，全等三角形的性质以及等边三角形的性质，选项A根据等式的性质以及有理数的乘方的定义判断即可；选项B根据不等式的性质判断即可；选项C根据全等三角形的判定判断即可；选项D根据等边三角形的判定判断即可． 【详解】解：若，则，它的逆命题为若，则，是真命题，故选项A不符合题意； 若，则，它的逆命题为若，，真命题，故选项B不符合题意； 全等三角形的面积相等，它的逆命题为面积相等的两个三角形全等，是假命题，故选项C符合题意； 等边三角形的三条边都是相等，它的逆命题为三条边都相等的三角形是等边三角形，真命题，故选项D不符合题意． 故选：C． 45．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，证明即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出，再由角平分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故②正确； 当A、C、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 如图：作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C在的角平分线上，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 46．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定，所以；于是可对①进行判断；利用可判断，则可对②进行判断；由于只有当时，，则可对③进行判断；利用得到，加上，所以，从而得到，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 47．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【详解】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 48．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】（1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到． （2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． ∴在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键． 49．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为等边三角形，与相交于点于． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）得 ∴， ； （3）解：由（1）得， ，， ， ， 又， ． 50．（24-25八年级上·河北承德·期中）两个等边三角形如图摆放，与交于点M，与交于点N，与相交于点P，点B、C、E在一条直线上．    求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据等边三角形得，和，则，即可利用证明，有，进一步利用证明即可． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， ． 在和中 ， ． 51．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，中，，，在的顶点，处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由点向点和由点向点爬行，经过后，它们分别爬行到了点，点处，连接，交于点． (1)求证：； (2)小蚂蚁在爬行过程中，的大小会变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)无变化， 【分析】本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质和判断是解题的关键． （1）根据小蚂蚁的速度相同求出，再利用“边角边”证明和全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和表示出，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 无变化． 地 城 考点06 30°锐角所对的直角边 52．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示的是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（    ） A．6米 B．8米 C．12米 D．10米 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，理解在直角三角形中30度角所对的直角边的长是斜边的一半是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：在中，米 米 自动扶梯的长为12米． 故选：C． 53．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的夹角为，且点坐标为，点在轴上方，设，那么点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，过点作轴于，则，进而可得，求出点的横坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵点坐标为， ， 如图所示，过点作轴于， ， ， ， ∴点的横坐标是：， ∴点的横坐标为， 故选：A． 54．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出、的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ，， ， 同理可得：， ． 故选：C ． 55．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．18米 B．16米 C．15米 D．12米 【答案】C 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据含所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， ∴米． 故选：C． 56．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，，，为高线，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，先由，，为高线得，，再得，，再由可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵为高线， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：D． 57．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，是射线上一动点（即点可在射线上运动），，若为直角三角形，则的长度为（    ） A．5 B．10 C．20 D．5或20 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质；分别从当或时去分析求解，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：①当时，如图： ∵ ∴ ∵ ∴在中，； ②当时，如图： ∵ ∴ ∵ ∴在中，． ∴综上所述，当或时，为直角三角形． 故选：D． 58．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交边于点D．①．；②．若，则点D到的距离为2；③．若，则；④．正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】如图作于E．再根据角平分线的性质定理，三角形的内角和定理与外角的性质，含的直角三角形的性质即可一一判断； 【详解】解：如图作于E． 由作图可知，平分， ∴，故①正确， ∵，， ∴， ∴点D到的距离为2，故②正确， ∵，则， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， 当时，，此时， 已知条件不能推出，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查作图——基本作图，角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； 59．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点……按此规律进行下去，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的特点，图形规律，含角的直角三角形的性质，理解图示，找出规律是关键． 根据题意，得到，的正整数，且每4次以循环，由此即可求解． 【详解】解：，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 同理，，， ，， ∴，的正整数，且每4次以循环， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：①；② ． 60．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，于点D，，，则等于 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再由，可得，从而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 61．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，，则长为 cm． 【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半成为解题的关键． 如图：连接,由、可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得、，再说明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接, ∵，， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：12． 62．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________； (3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)存在，的长为3 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“近直角三角形”即可作判断； （2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答； （3）根据是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：或，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， 三角形是“近直角三角形”； 故答案为：是； （2）解：， 不可能是或， 当时，，，不成立； 当时，，，则， ； 故答案为：； （3）解：存在， 如图， ，，， ，，， 是“近直角三角形”， 或， ①当时，， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ； 综上，． 63．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）先根据垂直平分线性质得出，再根据等角对等边得出，即可得出答案； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，得出即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点07 等边三角形性质与判定的综合 64．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根据的情况判断C即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 65．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时B，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，即可求解，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 66．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学课上张老师让同学们根据条件画三角形，条件是中，，，．嘉嘉说：不能作出唯一的三角形，在经历了三角形全等条件的探索学习后可知，给出“三角形两边及一边的对角”三个条件后，可以作出锐角三角形和钝角三角形两个三角形． 淇淇说：能作出唯一的三角形，在经历了定理“直角三角形所对的直角边是斜边的一半”的探究后可推断出，给出“的对边是邻边的一半”的条件后，只能作出唯一的直角三角形．对于嘉嘉和淇淇的说法，下列正确的是（   ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．她俩都对 D．她俩都不对 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，证明点C与点重合是解答的关键．过A作，，如图，连接交（或延长线）于，根据等边三角形的判定证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质得到，，，则得到点C与点重合，即是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：过A作，，如图，连接交（或延长线）于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴点C与点重合， ∴，即是直角三角形， 故满足条件的只能作出唯一的直角三角形， 故淇淇说法正确， 故选：B． 67．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边对等角，连接，根据三角形内角和求出，利用线段垂直平分线的性质得到，求出，进而得到，证明，得到，推出是等边三角形，进而证得，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 68．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 69．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，于点D，，求证：为等边三角形． 证明：∵， ∴是____________． ∵于点D， ∴____________． 又， ∴为等边三角形．（____________） 【答案】等腰三角形，，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【分析】本题考查等边三角形判定，等腰三角形判定和性质，熟练掌握等边三角形判定定理是解题的关键； 根据等腰三角形的定义得是等腰三角形，继而求出，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴是等腰三角形． ∵于点D， ∴． 又， ∴为等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ） 故答案为：等腰三角形，，有一个角是的等腰三角形是等边三角形 ． 70．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，过C作直线关于直线的对称点为D，连接与的交点为E，设．若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．分别求出，即可解决问题． 【详解】解：∵B，D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 71．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质． （1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可得出结果； （2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ∵， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 垂直平分， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 72．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点，分别是，上的动点．已知点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒． (1)当为等边三角形时，求的值． (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是直角三角形、等边三角形、勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理列出方程，解方程即可； （2）分、两种情况，根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， 为等边三角形， ， 由题意得：，，则， ， 时，为等边三角形， ， 解得：， 答：当为等边三角形时，的值为2.4； （2）当为直角三角形时，有两种情况： 当时， ， ， ，即， 解得：， 当时， ， ， ∴，即， 解得：或， 答：当为直角三角形时，的值为或． 73．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状（按角分类），并说明理由； (3)探究：当α为何值时，． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要利用全等三角形的性质，等边三角形的定义，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定来解答．通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； （3）当时，由，得到α的值． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）是直角三角形， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当时， 即，得， 当时，． 74．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在四边形中，已知，连接，且，点E在边上，过点A作，垂足为F，且． (1)求证：； (2)试判断，及之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用用等量代换是解题的关键． （1）先根据角的和差得到，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，根据条件可证得，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （2）先说明可得，再由三角形全等的性质可得，进而得到，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：连接， ∵，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ； （3）解：∵，， ∴， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 75．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求的度数．小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数为____________． 【类比探究】 （2）如图2，已知． ①当射线在内，求的度数； ②当射线在下方，如图3所示，请直接写出的度数为____________． 【答案】（1）（2）①② 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】解：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中 ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 76．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 77．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)点、运动几秒后，、两点重合？ (2)点、运动几秒后，可得到是等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的是等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间； (4)点、运动__________秒后，可得到是直角三角形． 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)秒 (4)或或或 【分析】（1）设点、运动秒后，、两点重合，根据点运动的路程比点运动的路程多，列方程即可求解； （2）设点、运动秒后，可得到等边三角形，根据题意可得：，，由，可知时，是等边三角形，列出方程即可求解； （3）假设是等腰三角形，可证明，可得，用含有的式子分别表示出、，最后根据等量关系列方程即可求解； （4）分点在，，上运动的三种情况，再分别就和列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点、运动秒后，、两点重合， 则， 解得：， 即点、运动秒后，、两点重合； （2）如图1，设点、运动秒后，可得到等边三角形， 根据题意可得：，， ， 时，是等边三角形， ， 解得：， 设点、运动秒后，可得到等边三角形； （3）当点、在边上运动时，能得到以为底边的是等腰三角形， 由（1）知秒时，、两点重合，恰好在点处， 如图2，假设是等腰三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：，符合题意， 假设成立，当点、运动秒时，得到以为底边的是等腰三角形； （4）当点在上运动时，如图3， 若， ，， ， ， ，即， 解得：； 如图4，若， 则，即， 解得：； 当点在上运动时，点，，不能构成三角形； 当点在上运动时，如图5， 当点位于中点处时，由是等边三角形，可得，即是直角三角形， 则， 解得：； 如图6，当点位于中点处时，由是等边三角形，可得，即是直角三角形， 则； 综上所述，当或或或时，可得到是直角三角形， 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的定义与性质，一元一次方程，解题的关键是根据题意设未知数，根据线段间的数量关系列方程求解． 试卷第2页，共92页 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $