专题03 轴对称图形的性质（10大考点）（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期人教版2024

专题03 轴对称有关考点汇编 5大高频考点概览 01图形的折叠问题 02线段垂直平分线的判定 03线段垂直平分线的性质定理 04与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 05平面坐标系背景下的对称变换地 城 考点01 图形的折叠问题 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（   ） A．是的一条角平分线 B．是的一条高线 C．是的一条中线 D．垂直平分边 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置处，若，则 ． 6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将梯形纸片的一角向内折叠，折痕为，点落在点处，使，． （1） ； （2） ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图．已知．点E，F在边上．点G，H在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，，则的度数为 ，的度数为 ． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕． （1）图中与相等的线段是 ； （2）若，则 ． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 地 城 考点02 线段垂直平分线的判定 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（    ）    A．小明说的对 B．小亮说的对，可添条件为“” C．小亮说的对，可添条件为“” D．两人说的都不对 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小明制作的风筝形状如图所示，他根据，， (1)不用测量就知道，请你运用所学知识给予证明． (2)风筝骨架、的位置关系如何？请说明理由． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知：．求作：的平分线． 作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （Ⅲ）画射线，射线即为所求． 问题1： 小亮按照上面做法画出了图形，如图1.请问就是的角平分线的依据是_______． 问题2： 课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？ 下面是一位同学给出的方法： 如图2，在已知的上，分别取，再分别过点M，N连续放置三角板画出直角边，交点为P，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分． 问题3连接，求证 15．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证： (2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积． 16．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F．    (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若的面积为，，，求的长． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 地 城 考点03 线段垂直平分线的性质定理 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 19．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路a，b，c围成的一块空地上修建一个度假村，要使这个度假村到a，b两条公路的距离相等，且到B，C两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（　　） A．作的平分线，再作线段BC的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 B．作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 C．分别作和的平分线，两线的交点符合选址条件 D．分别线段和线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 21．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 23．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ． 24．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)将向左平移2个单位，向上平移1个单位长度得到，在图中画出； (2)若，，在图中画出坐标原点的位置，并直接写出到各顶点距离相等的点的坐标． 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 26．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 27．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 28．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 地 城 考点04 与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 29．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（    ）    A．的三条高的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条中线的交点处 D．的三条边的垂直平分线的交点处 30．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在足球场内有三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放在（    ） A．两边高线的交点处 B．两边中线的交点处 C．两边垂直平分线的交点处 D．两内角平分线的交点处 31．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段小明的作图顺序是（　　）    A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 32．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 34．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交边于点D，E，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 35．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 36．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 地 城 考点05 平面坐标系背景下的对称变换 37．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 38．（24-25八年级下·河北唐山·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 39．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，，的对应点分别为点，，．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 41．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 42．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 43．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，老师在利用电脑绘图时，平面直角坐标系处于底层被网格遮挡了，已知，，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，坐标原点在小正方形的格点上． (1)在图中画出平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)如果图中还存在点，点，请根据下面的条件在图中画出两点： ①点与点关于轴对称； ②把点向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度得到点． (3)在（2）基础上，顺次连接、、、，则四边形的面积________． 44．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 45．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 46．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，写出点、点关于轴和直线的二次反射点，的坐标； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 47．（24-25八年级下·河北唐山·期中）问题情境： 如图1，学校有两块相邻的正方形菜地A、B，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在区域A内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在区域B内利用已有篱笆规划两块三角形菜地种植西红柿和黄瓜，嘉琪利用平面直角坐标系知识帮助老师完成规划，过程如下：①建立如图2所示的平面直角坐标系，区域内两条篱笆的端点分别为和，d），c、d满足，过点C作轴，垂足为点E，沿搭建篱笆，区域内种植青椒． ②如图3，在x轴正半轴上寻找一点G，在y轴负半轴寻找一点H，连接，沿、搭建篱笆，在和中分别种植西红柿和黄瓜，种植两种作物的面积相同． (1)c的值为______，d的值为_____． (2)①求的面积． ②如图2，在上的点处安装一个照明灯，从点电源处向照明灯M引电，需在y轴正半轴篱笆上安一开关P，求电线的最小值． (3)请直接写出与的关系． 48．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 试卷第46页，共48页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称图形的性质 5大高频考点概览 01图形的折叠问题 02线段垂直平分线的判定 03线段垂直平分线的性质定理 04与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 05平面坐标系背景下的对称变换地 城 考点01 图形的折叠问题 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）将按如图所示折叠，使点的对应点与点重合，折痕为，则（   ） A．是的一条角平分线 B．是的一条高线 C．是的一条中线 D．垂直平分边 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠前后图形全等，对应点被折痕垂直平分，理解折叠的性质是解本题的关键．根据折叠的性质回答即可． 【详解】解：点的对应点是点 根据折叠的性质，折痕垂直平分对， 又点和点重合， 垂直平分， 故选：． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用折叠性质得出角之间的等量关系，结合平行线性质和角平分线定义求解． 根据两直线平行，同位角相等，可知，根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为，从而可知，即可得的值． 【详解】解：根据上下边互相平行可知，， 又， 根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等， 根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为， ， 根据上下边互相平行可知，， 即， 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质以及轴对称性质,根据折叠得到再根据这四个角的和为直角，进而得出其等于直角的一半． 【详解】解：根据折叠的性质得知, 因为， 所以． 故选：C ． 5．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置处，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．根据的度数求出的度数，然后由折叠性质得出，最后由平行线的性质即可以求出的度数． 【详解】解：由折叠知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将梯形纸片的一角向内折叠，折痕为，点落在点处，使，． （1） ； （2） ． 【答案】 /66度 /48度 【分析】本题主要考查了梯形的性质、平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握这些性质，利用角度间的平行关系、互补关系和折叠的对应角相等来推导计算是解题的关键． （1）先利用梯形中，结合的度数求出，再根据折叠性质和平行关系推导； （2）由梯形求出相关角度，结合折叠性质，通过平角关系计算． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． ∵， ∴ 由折叠可知，又 ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得． 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴ 由折叠得，， ∴．· ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图．已知．点E，F在边上．点G，H在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，，则的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，正确理解翻折的性质是解题的关键． 由平行和折叠得到，，，，则，代入即可求解，由求出度数，再由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ，， 由折痕，得到，， ∴， ， ， ， 故答案为：；． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕． （1）图中与相等的线段是 ； （2）若，则 ． 【答案】 / /76度 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据折叠性质求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得到，，最后利用平角定义求解即可． 【详解】解：（1）根据折叠性质，， 故答案为：； （2）∵中，， ∴， 由折叠性质得，， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的性质，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可； （2）根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，、分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图，其中； 乙同学的操作如图，落在所在直线上； 丙同学的操作如图，落在上，落在上． 【阅读理解】 (1)求出图中的度数； (2)图3中______； (3)求出图中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解． （3）根据折叠的性质可得，再由，即可求解． （4）分两种情况：当三角形与三角形不重叠时，当三角形与三角形重叠时，先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴； （2）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：； （3）由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴，即； （4）的度数为或．分两种情况进行讨论： 当三角形与三角形不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：， ∴， ∵，即，， ∴； 当三角形与三角形重叠时，如图2所示： 由折叠的性质得：，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 综上所述：的度数为或． 地 城 考点02 线段垂直平分线的判定 11．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质． 根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果． 【详解】在和中 ， 故③正确； 在与中， ， ， 故①②正确， 综上①②③正确，正确的结论共3个， 故选：D． 12．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（    ）    A．小明说的对 B．小亮说的对，可添条件为“” C．小亮说的对，可添条件为“” D．两人说的都不对 【答案】C 【分析】根据选项结合已知得出，从而得到，即可求出最终结果； 本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：可添条件为才能说：直线是的垂直平分线 证明如下： 在和中 ， 直线是的垂直平分线 故选：C． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小明制作的风筝形状如图所示，他根据，， (1)不用测量就知道，请你运用所学知识给予证明． (2)风筝骨架、的位置关系如何？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定； （1）根据证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据，，得出垂直平分，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴垂直平分，即． 14．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知：．求作：的平分线． 作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （Ⅲ）画射线，射线即为所求． 问题1： 小亮按照上面做法画出了图形，如图1.请问就是的角平分线的依据是_______． 问题2： 课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？ 下面是一位同学给出的方法： 如图2，在已知的上，分别取，再分别过点M，N连续放置三角板画出直角边，交点为P，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分． 问题3连接，求证 【答案】（1）；（2）见解析（3）见解析 【分析】本题主要考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，线段的垂直平分线的判定等知识点，掌握基本作图以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据边边边证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证； （3）由（2）知，根据全等三角形的性质得出，得出点P在线段的垂直平分线上，由得出点O在线段的垂直平分线上，进而即可得解． 【详解】（1）如图1，连接、, 根据作图的过程知， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）如图2， 由（2）知， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ． 15．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证： (2)点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据三角形全等的判定证出，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据和直角梯形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：为中点， ， 在和中，， ， ． （2）解：如图，连接，    由（1）已证：， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分， ， ∵在四边形中，，，， ∴四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 16．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F．    (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若的面积为，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明得到，由此即可证明结论； （2）根据等面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的平分线，，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， 又∵， ∴， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为，，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 【答案】(1)见解析；见解析；； (2)； (3)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练使用各性质定理是解题的关键． （）证出； 由角平分线性质可得出，证明，得到，即可证明点在的垂直平分线上； 由得出，即可得出； （）先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； （）画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； 解：由知， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点在内部时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点到直线的距离是． 地 城 考点03 线段垂直平分线的性质定理 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 19．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，先根据线段的垂线段的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．掌握线段想垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：， 故选：D． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路a，b，c围成的一块空地上修建一个度假村，要使这个度假村到a，b两条公路的距离相等，且到B，C两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（　　） A．作的平分线，再作线段BC的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 B．作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 C．分别作和的平分线，两线的交点符合选址条件 D．分别线段和线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由垂直平分线的性质，角平分线的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵这个度假村到a，b两条公路的距离相等， ∴度假村在的平分线上， ∵度假村到B，C两地的距离相等， ∴度假村在线段的垂直平分线上， ∴作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点符合选址条件， 故选：A． 21．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵垂直平分边， ∴， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值． 故答案为：12． 24．（24-25八年级下·河北张家口·期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)将向左平移2个单位，向上平移1个单位长度得到，在图中画出； (2)若，，在图中画出坐标原点的位置，并直接写出到各顶点距离相等的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图－平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得坐标原点的位置；分别作线段的垂直平分线，相交于点，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：画出坐标原点的位置如图所示． 分别作线段的垂直平分线，相交于点， ∴到各顶点距离相等的点的坐标为． 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 26．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)16 (2)12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 27．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由垂直平分线的定义可得，，即；易证可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，三角形的内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴． 28．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置． 【详解】解：如图：点P的位置即为所求． 地 城 考点04 与线段垂直平分线有关的尺规作图问题 29．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（    ）    A．的三条高的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条中线的交点处 D．的三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在的三条边的垂直平分线的交点处． 故选D． 30．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在足球场内有三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放在（    ） A．两边高线的交点处 B．两边中线的交点处 C．两边垂直平分线的交点处 D．两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定，根据足球到三个运动员的距离相等，即点到线段的两端点相等，得到足球所在的位置是三条边的中垂线的交点，即可．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：足球所在的位置是三条边的中垂线的交点， 即：应放在两边垂直平分线的交点处； 故选C． 31．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，利用尺规作图作，使线段分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；②画直线；③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接；⑤画射线，并在上截取线段小明的作图顺序是（　　）    A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 【答案】A 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，根据尺规作图-作垂线的方法作直角三角形进行判断即可得到答案．熟练掌握做垂线的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，小明的作图顺序是⑤①③②④， 故选：A． 32．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图、角平分线的判定定理、三角形外角的性质等知识点，掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 由题意可得，结合已知条件可得的是的角平分线，易得，最后根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 33．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，由即可判断①；证明即可判断②． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确， 故选：A． 34．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交边于点D，E，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作法，线段中点求面积，根据题意得到是线段的垂直平分线，进而得到点D是的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为5， 故选：B． 35．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等． 根据方案1作图可知，用证明，即可求证平分；根据方案2作图可知，，即可用证明，即可求证平分． 【详解】解：方案1： 连接， 由作图可知：， ∵， ∴， ∴，即平分； 方案2：由作图可知：， ∵分别为的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； 综上：方案1、方案2均正确， 故选：C． 36．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 【答案】(1)中线 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——垂线，三角形的中线，点到直线的距离，根据作图的痕迹得出所作线段垂直平分是解题关键． （1）根据尺规作图求解即可； （2）过B作，垂足为H，先求出，再根据三角形的中线求解即可． 【详解】（1）解：由作图的痕迹可知，所作线段垂直平分， 则点是的中点， 是的中线， 故答案为：中线 （2）解：如图，过B作，垂足为H， 点B到边的距离是， ， ， 是边上的中线， ． 地 城 考点05 平面坐标系背景下的对称变换 37．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 38．（24-25八年级下·河北唐山·期中）若点与点关于轴对称，则的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解m和n的值，再求和即可； 【详解】解：由题意得：，， 解得，； ∴， 故选：B． 39．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，点，，的对应点分别为点，，．若点是边上一点，则点在上的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数．利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 【详解】解：与关于轴对称，点是边上一点， 点在上的对应点的坐标． 故选：C． 40．（24-25八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的规律继续对称下去，第2025次对称后，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故答案为：． 41．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将的三个顶点的横坐标乘，纵坐标乘2，得到对应的点，，，请画出． (2)的面积为__________；的面积为__________（直接写出结果）． (3)点P为x轴上一点，且的值最小，画出点P，并求出点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)； (3)点P的坐标为，画图见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的图形变换(坐标缩放)、三角形面积计算、最短路径问题(将军饮马模型) ，解题的关键是掌握坐标变换规律、利用割补法或底高公式计算三角形面积、运用轴对称性质转化最短路径问题． （1）画：根据坐标变换规则，分别计算的坐标(横坐标，纵坐标，再在坐标系中描点并连接； （2）求与的面积：先判断的形状垂直x轴，可作底)，用“底高”计算面积是经缩放得到，面积比为缩放比的平方(横纵缩放比分别为2，面积比为； （3）找x轴上使最小的点P：利用轴对称，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P，再求的直线解析式，令得P的坐标． 【详解】（1）解：由坐标变换规则计算各点坐标：     →；     →；     →；   在平面直角坐标系中描出，顺次连接三点，即得． （2）解：① 计算的面积：   ∵ 、， ∴ 轴,长度；   过作的垂线，水平距离为；   ∴ 高．   ② 计算的面积：   是经“横缩放2倍、纵缩放2倍”得到，面积比；   ∴ ．   故答案为：；． （3）解：作点关于x轴的对称点，则；   设直线的解析式为，代入、：         解得：，；    ∴ 直线的解析式为．   令，则， ∴；   ∴ 点P的坐标为，在x轴上描出如图所示．   42．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 【答案】(1) (2)点不是不动点；点是不动点 (3) 【分析】（1）根据“优化变换”求解即可； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不动点； （3）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案． 【详解】（1）点向左平移5个单位长度为 点关于轴的对称点为； （2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点； 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点； （3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 43．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，老师在利用电脑绘图时，平面直角坐标系处于底层被网格遮挡了，已知，，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，坐标原点在小正方形的格点上． (1)在图中画出平面直角坐标系，并标出坐标原点； (2)如果图中还存在点，点，请根据下面的条件在图中画出两点： ①点与点关于轴对称； ②把点向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度得到点． (3)在（2）基础上，顺次连接、、、，则四边形的面积________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，求四边形面积，掌握“左移减，右移加，上移加，下移减”，是解题的关键． （1）根据已知点的位置画出平面直角坐标系即可； （2）①根据轴对称画出点即可； ②根据点平移的规律“左移减，右移加，上移加，下移减”，画出点即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：点、点如图所示； （3）解：四边形的面积 ， 故答案为：． 44．（24-25八年级下·河北衡水·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； (3)若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； （3）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 45．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，，； (2)见解析，， (3)或． 【分析】本题考查了作图——轴对称和平移，轴对称和平移的性质，坐标与图形，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图，再写出对应坐标即可； （2）根据平移的性质作图，再根据平移方式写出坐标即可； （3）设，根据三角形面积公式列绝对值方程，求出的值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，，； （2）解：如图，即为所求作， 若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为， （3）解：点是轴上一点， 设， ， 的面积等于4， ， 解得：或， 点的坐标为或． 46．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，写出点、点关于轴和直线的二次反射点，的坐标； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， （2）解：∵点C的坐标是， ∴点C关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴． 47．（24-25八年级下·河北唐山·期中）问题情境： 如图1，学校有两块相邻的正方形菜地A、B，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在区域A内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在区域B内利用已有篱笆规划两块三角形菜地种植西红柿和黄瓜，嘉琪利用平面直角坐标系知识帮助老师完成规划，过程如下：①建立如图2所示的平面直角坐标系，区域内两条篱笆的端点分别为和，d），c、d满足，过点C作轴，垂足为点E，沿搭建篱笆，区域内种植青椒． ②如图3，在x轴正半轴上寻找一点G，在y轴负半轴寻找一点H，连接，沿、搭建篱笆，在和中分别种植西红柿和黄瓜，种植两种作物的面积相同． (1)c的值为______，d的值为_____． (2)①求的面积． ②如图2，在上的点处安装一个照明灯，从点电源处向照明灯M引电，需在y轴正半轴篱笆上安一开关P，求电线的最小值． (3)请直接写出与的关系． 【答案】(1)4， (2)①；②的最小值为 (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称，三角形面积等知识，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）①由点得，故可得； ②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为，根据两点间距离公式可求出； （3）由点结合三角形面积公式可得． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由（1）得， 又轴， ∴， ∴； ②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 48．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了轴对称作图、网格求三角形的面积、轴对称求最短路径等知识，准确作图是解题的关键． （1）找到关于y轴对称的对应点，顺次连接即可得到，并写出A1，B1，C1的坐标即可； （2）用长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可； （3）找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，. （2）． （3）如图所示，点P即为所求． 试卷第46页，共48页 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $