专题02 全等三角形的性质与判定（10大考点）（期中真题汇编，河北专用）八年级数学上学期人教版2024

专题02 全等三角形的性质与判定 10大高频考点概览 01 全等三角形的性质 02 应用SSS判定三角形全等 03 用SAS判定三角形全 04 用ASA（AAS）证明三角形全等 05 选择合适的方法证明三角形全等 06 尺规作图问题 07 全等三角形的综合问题 08 角平分线的尺规作图 09 角平分线的性质定理的应用 10 常见几何模型举例地 城 考点01 全等三角形的性质 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 5．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 7．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 地 城 考点02 应用SSS判定三角形全等 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点E在外部，点D在边上，，，．若，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    (1)求证：． (2)若，，求的度数． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ）地 城 考点03 应用SAS判定三角形全等 A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则和的关系为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 22．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 23．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 24．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 25．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，公园里有一条“Z”字形道路，在三段路旁各有一只小石凳，且恰好在一条直线上，为的中点．    (1)求证； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 26．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若求的度数； (2)当时，设请用含x的式子表示=_ ；并写出PD的最大值为 ；若三角形的三条高的交点在三角形内部，则x的取值范围是 ． 27．（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)问点是否在直线上？并说明理由； (3)求的面积． 28．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图1所示，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，在线段上找一点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2所示，将绕点A逆时针旋转一定的角度，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)点D为的中点，，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点B，D，E恰好第一次在一条直线上，如图3，直接写出线段的长． 地 城 考点04 用ASA（AAS）证明三角形全等 29．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 30．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 31．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 32．（24-25八年级上·河北邢台·期中）综合实践课上白老师带领同学们利用数学知识测量距离，向阳中学中刚好有一个未解之谜——实验楼的两侧有两堵平行的墙，两墙与之间的距离因为有实验楼的缘故不能直接测量，同学们想到了许多方法，淇淇的想法如下： 测量方式及说明：点，，在一条南北方向的直线上，从点出发走到点处插上标志旗帜，再沿着延长线走同样的距离到达点，从点出发向南走，当所在位置与点及点在一条直线上时将此处标记为点． 图示说明： 若想求解之间的距离，需测量的线段为（   ） A． B． C．和 D．和 33．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 34．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，在和中，，交于点M．求证：； 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；下列判断正确的是 ．（填序号） ①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行 37．（24-25八年级上·河北唐山·期中）使两个直角三角形全等的条件是（   ）地 城 考点05 选择合适的方法证明三角形全等 A．一个锐角分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边分别相等 D．两锐角分别相等 38．（24-25八年级上·河北沧州·期中）在和中，，，，已知，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 40．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 42．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 地 城 考点06 尺规作图问题 43．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 45．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）用尺规作的平分线，嘉嘉和淇淇采用了不同的方法： ①嘉嘉：如图（1），以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径，在内部画弧，两弧相交于点，则射线即为的平分线． ②淇淇：如图（2），以为圆心，两个不同的适当长度为半径画弧，分别交于点，和；连接，两线相交于点，则射线即为的平分线. 对于两人的作法，下列判断正确的是（　　）    A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人均错误 D．两人均正确 46．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（    ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A．●表示点E B．◎表示 C．⊙表示 D．⊕表示射线 47．（24-25七年级下·河北保定·期中）（）如图：以的点为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ______（   ） ____________（两直线平行，同旁内角互补） 即 ______（等量代换） 48．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 49．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 地 城 考点07 全等三角形的综合问题 50．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论中正确的有 、 和 ．（请填写正确结论的序号） ①；②；③；④ 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 52．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在四边形中，线段经过四边形的对角线和的交点，且分别交于点．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（    ） 甲：； 乙：； 丙： A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 53．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 54．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示，已知，，，结论：①；②；③；④其中正确有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 55．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 56．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． 57．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点08 角平分线的尺规作图 58．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（   ） A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确 60．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 61．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为 ． 地 城 考点09 角平分线的性质定理的应用 62．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 63．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，点O在内，且到三边的距离相等，连接，，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 64．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 65．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是的平分线，，垂足是E． （1）若则 ；（填线段） （2）若，，，则的周长是 ． 66．（24-25八年级上·河北邢台·期中）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， __________ 平分， __________， 在和中， ∵， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 67．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 68．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为的平分线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，平分，分别交于点，求的度数； (2)如图2，当点在的外部时，过点作，交于点，交的延长线于点，且． ①连接．求证：点在的垂直平分线上； ②若，则 ． 69．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 70．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 71．（24-25八年级上·河北邢台·期中）情景再现：数学课上老师带领同学们探究角平分线的性质 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是_______． (2)性质运用：如图2，若，点C，D分别在射线，上运动，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． 72．（24-25八年级上·河北唐山·期中）问题：已知：射线是的平分线，点D是射线上任意一点． 探究：嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题：    （1）如图1，若分别在、上截取，猜想与的数量关系是______；       （2）如图2，若作“，，垂足分别为B、A”，其余条件不变，请你探究、两条线段之间的数量关系，并说明理由；       （3）点B、点A分别是的两边和上不与点C重合的任意一点，通过探究，得到的命题是：“如果，那么．”请判断此命题是真命题，还是假命题，如果是真命题说明理由；如果是假命题，在图3画出图形说明此命题不成立．          73．（24-25八年级上·河北保定·期中）将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（   ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 地 城 考点10 常见几何模型举例 74．（24-25八年级上·河北邢台·期中）【探究发现】如图1，在中，是的中线，作，边交延长线于M点，求证：． 【初步应用】如图2，在中，，，是中线，则的取值范围为______； 【探究提升】如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，连接，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 75．（14-15八年级上·福建南平·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 76．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 77．（23-24八年级上·河北邢台·期中）【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 试卷第2页，共90页 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的性质与判定 10大高频考点概览 01 全等三角形的性质 02 应用SSS判定三角形全等 03 用SAS判定三角形全 04 用ASA（AAS）证明三角形全等 05 选择合适的方法证明三角形全等 06 尺规作图问题 07 全等三角形的综合问题 08 角平分线的尺规作图 09 角平分线的性质定理的应用 10 常见几何模型举例地 城 考点01 全等三角形的性质 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及应用，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形， ∴和的面积与周长都相等． ∴选项A、B都正确，不符合题意． 又∵， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∴与不一定相等， ∴选项C不正确，符合题意． 又∵， ∴（全等三角形的对应边相等） 又∵ ∴（内错角相等两直线平行） ∴选项D正确，不符合题意． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列代数式即可得解； （2）利用全等三角形的判定分，和，两种情况构造方程求解即可． 【详解】解：（1）运动秒，点运动的路程为． ． 故答案为：． （2）， ． 为的中点， ． 当与全等， 或． 当， ． ． ． （不合题意，舍去）． 当， ． ． ． ． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1或或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）由题意分和两种情况列出代数式即可； （2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答； （3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当点到点时，； 当点到点时，； 当时，在上，则， ； 当时，点在上， ， ． 的长为或； （2）证明：， ， ， ， ， ． （3）解：当点到点时，， 当点P到点C时，， 当点Q到点B时，， 当点Q到点A时，， 当时，点P在边上，点Q在边上，， 此时，则有， ， ，解得：； 当时，点P、Q都在边上时，， 此时， ， ，解得：； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，， 此时， ， ，解得：． 综上，当与全等时，的值为1或或8． 地 城 考点02 应用SSS判定三角形全等 8．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 9．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小． 【详解】解： 理由：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴，则▲代表  ，故选项A错误； ∴（全等三角形的对应角相等），则■代表，★代表对应角，故选项B错误；故选项C错误； ∴， ∴，则※代表，故选项D正确； 故选：D． 11．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的判定，利用可证，则可判断A，进而可得，可判断B，可判断C，，可得，则进而可判断D，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， ，即：， 在和中， ， ，则A正确，故不符合题意； ，，则B正确，故不符合题意； ，则不一定成立，则C错误，故符合题意； ， ，则D正确，故不符合题意； 故选C． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与用尺规作一个角等于已知角的原理．解题的关键是理解尺规作图过程中构造出的相等线段，从而确定全等三角形的判定依据． 分析用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图过程，找出对应的相等边，确定全等三角形的判定方法． 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的条件下，可以判断，则判定这两个三角形全等的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理．根据已知条件结合公共边，即可根据“”证明两三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，点E在外部，点D在边上，，，．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，利用外角得到，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：，， ，故B正确，不符合题意； ，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 16．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，； ②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点； ③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接． 在和中， （_____________）， （____________________）． 【答案】(1)见详解 (2)，，全等三角形的对应角相等 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据题意用直尺和圆规完成作图； （2）连接，先证，再根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）证明：连接， 由作图可知，， 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，全等三角形的对应角相等． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由可推出，利用即可得出结论； （2）由（1）可得：，因而可得，由、、、四点在同一条直线上可得，于是得证． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得：， ， 、、、四点在同一条直线上， ， ． 18．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用Z证明即可求证； （）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， . 在和中， ， ； （2）解：， ，， ． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在小正方形的格点上，则的度数为（   ）地 城 考点03 应用SAS判定三角形全等 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，又，所以，最后根据外角的定义即可求出的度数． 【详解】解：由题意知：，，， ， ， 又， ， ， 故选：C． 20．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则和的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，本题证明，再利用全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余可得结论． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选D 21．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的条件是解题的关键 ．依据全等的判定方法判定即可． 【详解】解：①若， 因为，但没有提及或，所以无法确定和一定全等，如图， 故选:D． ②若， ，， ， ②成立．如图， 故选：． 22．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，平分的延长线交于点E，如果，则为（    ）度 A．80 B．90 C．85 D．95 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，证明，则，得到，再利用角的和差即可求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 故选：B 23．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 24．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，与中，，，，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后证明即可； （）设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理和对顶角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴． 25．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，公园里有一条“Z”字形道路，在三段路旁各有一只小石凳，且恰好在一条直线上，为的中点．    (1)求证； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握证明两三角形全等是解题的关键． （1）根据中点得到，然后利用证明全等即可； （2）根据全等可以得到，即可得到两边的位置关系． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2），理由为： ∵， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，和中，，，，边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若求的度数； (2)当时，设请用含x的式子表示=_ ；并写出PD的最大值为 ；若三角形的三条高的交点在三角形内部，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)，3； 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可；根据题意得出交点在三角形内部，三角形为锐角三角形，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即； ∵三角形的三条高的交点在三角形内部， ∴三角形为锐角三角形， ∵当时，，当点P与点B重合时为直角三角形， ∴． 27．（23-24八年级下·河北保定·期中）在四边形中，，，作边的垂直平分线，分别交，于点，连接，恰好，，再将绕点逆时针旋转至位置，以为平面直角坐标系的原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)问点是否在直线上？并说明理由； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)点D在直线上，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了点的坐标，旋转的性质，全等三角形的判定及性质； （1）延长交轴于，过轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解；同理可证：，由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）连接，由旋转性质可知：，，，，由可判定，结合全等三角形的性质得，即可求证； （3）连接交y轴于点F，由、的坐标得轴，由即可求解； 掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交轴于，过轴交于， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的垂直平分线， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； 同理可证：， ， ， ， 故答案：，； （2）解：点D在直线上，理由如下： 连接， 由旋转性质可知： ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 、、三点共线， 点D在直线上； （3）解：连接交y轴于点F． ，， ， 由（1）知， 轴， ， ∴ ． 28．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图1所示，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，在线段上找一点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2所示，将绕点A逆时针旋转一定的角度，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)点D为的中点，，，在绕点A逆时针旋转过程中，若点B，D，E恰好第一次在一条直线上，如图3，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）设将绕点A逆时针旋转，由定理证明，即可由全等三角形的性质得出结论； 由旋转可得：，，， （3）过点A作于F，先证明，得到，根据点D为的中点，得，根据等腰三角形求得，再根据勾股定理求得，继而求得，则可由求解． 【详解】（1）解：由旋转可得：，，， ∴ ∴． （2）解：仍然成立， 证明：设将绕点A逆时针旋转， 由旋转可得：，，， ∴ ∴． （3）解：过点A作于F，如图， 由旋转可得：，， 当点B，D，E恰好第一次在一条直线上时，设绕点A逆时针旋， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B，D，E恰好第一次在一条直线上， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 地 城 考点04 用ASA（AAS）证明三角形全等 29．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 30．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于，由“”可证△，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， 点，点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即顶点到轴的距离为． 故选：B． 31．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长交于点N，根据条件证明，可得，进而得到，再根据为中点，即可求解． 【详解】解：延长交于点N，如图，   ∵平分，垂直的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故选：A． 32．（24-25八年级上·河北邢台·期中）综合实践课上白老师带领同学们利用数学知识测量距离，向阳中学中刚好有一个未解之谜——实验楼的两侧有两堵平行的墙，两墙与之间的距离因为有实验楼的缘故不能直接测量，同学们想到了许多方法，淇淇的想法如下： 测量方式及说明：点，，在一条南北方向的直线上，从点出发走到点处插上标志旗帜，再沿着延长线走同样的距离到达点，从点出发向南走，当所在位置与点及点在一条直线上时将此处标记为点． 图示说明： 若想求解之间的距离，需测量的线段为（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意可得，则，求之间的距离，则需测量，据此即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴需测量的线段为和， 故选：C． 33．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 34．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，在和中，，交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，，再由已知即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个四边形木架． (1)加上木条后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是 ； (2)若平分，且，求四边形木架的周长． 下面是（2）的解答过程，请大家补充完整： 解：∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴四边形木架的周长为． 【答案】(1)三角形的稳定性 (2)，全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的稳定性等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）由平分，得，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形木架加上木条后，四边形由和拼接而成， ∵三角形具有稳定性， ∴此时木架不易变形， 故答案为：三角形的稳定性； （2）解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴四边形木架的周长为， 故答案为：，全等三角形的对应边相等． 36．（24-25八年级上·河北唐山·期中）为测量一池塘两端点，间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲同学：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；乙同学：如图2，过点作的垂线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交的延长线于点，则测出的长即为点，间的距离；下列判断正确的是 ．（填序号） ①只有甲同学的方案可行；②只有乙同学的方案可行；③甲、乙同学的方案均可行；④甲、乙同学的方案均不可行 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（和），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用和即可直接得出答案． 【详解】解：甲同学的方案： ，， ， 在和中， ， ， ， 甲同学的方案可行； 乙同学的方案： ， ， 在和中， ， ， ， 乙同学的方案可行； 综上所述，甲、乙同学的方案均可行， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·河北唐山·期中）使两个直角三角形全等的条件是（   ）地 城 考点05 选择合适的方法证明三角形全等 A．一个锐角分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边分别相等 D．两锐角分别相等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握两个直角三角形全等的判定方法“”，即可解题． 【详解】解：使两个直角三角形全等的条件是斜边和一条直角边分别相等， 故选：B． 38．（24-25八年级上·河北沧州·期中）在和中，，，，已知，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点G，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点G，过作于点， ∵， ∴， 当在点G的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点G的两侧，在点的同侧时，如图， 同理， ∴， ∴， 综上，的值为或． 故选：D． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，，，补充一个直接条件，使．这个条件不可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定. 利用全等三角形的判定方法，结合图形和条件，逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； B、，，，不能得到，故本选项符合题意； C、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； D、在和中， ， ∴（），故本选项不符合题意； 故选：B． 40．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对ABC及的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定ABC与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（　　） A．若第3轮甲添加，则甲获胜； B．若第3轮甲添加，则甲必胜； C．若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； D．若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本选项的说法错误； B、若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与全等，则甲获胜，故本选项的说法正确； C、若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本选项的说法正确； D、若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确． 故选：A． 42．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 地 城 考点06 尺规作图问题 43．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作． 作法；（1）作线段； （2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 44．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在小正方形的网格纸上，以为一边作，使之与全等，则下列四个点中符合条件的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定即可得，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图，连接，    在和中，， ， 则符合条件的是点， 故选：C． 45．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）用尺规作的平分线，嘉嘉和淇淇采用了不同的方法： ①嘉嘉：如图（1），以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径，在内部画弧，两弧相交于点，则射线即为的平分线． ②淇淇：如图（2），以为圆心，两个不同的适当长度为半径画弧，分别交于点，和；连接，两线相交于点，则射线即为的平分线. 对于两人的作法，下列判断正确的是（　　）    A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人均错误 D．两人均正确 【答案】D 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得嘉嘉正确；证明，可得，可证明，从而得到，再证得，可得淇淇正确． 【详解】解：如图，连接，    由作法得：， ∵， ∴， ∴，即射线即为的平分线， ∴嘉嘉正确； 由作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即射线即为的平分线， ∴淇淇正确； 故选：D． 46．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，下列各符号代表的内容正确的是（    ） 如图所示，已知，求作：，使． 作法： （1）以●为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点P，Q； （2）作射线，并以点E为圆心，以◎长为半径画弧交于点D； （3）以点D为圆心，以⊙长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F； （4）作即为所求作的角． A．●表示点E B．◎表示 C．⊙表示 D．⊕表示射线 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一个角等于已知角）．利用作一个角等于已知角的方法对各选项进行判断． 【详解】解：●表示点O，◎表示，⊙表示，⊕表示射线． 故选：D． 47．（24-25七年级下·河北保定·期中）（）如图：以的点为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ______（   ） ____________（两直线平行，同旁内角互补） 即 ______（等量代换） 【答案】（1）见解析； （2）；内错角相等，两直线平行；；；． 【分析】本题主要考查了用尺规作图作一个角等于已知角、证明三角形内角和定理，解决本题的关键是利用尺规作图正确的作出． 利用尺规作图作一个角等于已知角作出即可； 由可证，利用平行线的性质可知即，等量代换可证． 【详解】（）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，同样长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交前弧于点， 作射线，则， 即为所求； （）解：（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；；． 48．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①与平行，证明见解析 ② 【分析】本题主要考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）以为圆心，以适当长为半径画弧交与，交与，再以为圆心，以同样长为半径画弧交的延长线与，最后以为圆心，的长为半径，与弧交于，则直线即为所求； （2）①根据平行线的性质得出，再由等量代换及平行线的判定即可证明； ②根据垂直的定义得出，再由角平分线及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：;   理由：由作图可知， ，根据同位角相等，两直线平行，所以 。 （2）①． 证明：∵， ， ， ， ， ②， DF平分， ， ， ． 49．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 地 城 考点07 全等三角形的综合问题 50．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论中正确的有 、 和 ．（请填写正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】 ① ② ③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．想办法证明，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ， ，， ，故①正确， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， 无法判断， 故答案为①②③． 51．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．证明即可得到 ，故②③正确；通过 即可得到，故④正确，根据现有条件无法证明，故①错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ，故②③正确； 在与中， ， ， ， ，，故④正确； 根据现有条件，无法证明，故①错误； 故选：C． 52．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在四边形中，线段经过四边形的对角线和的交点，且分别交于点．甲、乙、丙的结论如下，下列判断正确的是（    ） 甲：； 乙：； 丙： A．甲、乙、丙都正确 B．只有甲、乙正确 C．只有甲、丙正确 D．只有乙、丙正确 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键，本题先证明，再证明，，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故甲判断正确， ∵， ∴， ∴， ∴，故乙判断正确， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故丙判断正确； 故选A 53．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 54．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图所示，已知，，，结论：①；②；③；④其中正确有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由，，利用“”得到与全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到与相等，与相等，与相等，然后在等式两边都减去，得到与相等，得到选项③正确，然后再由，，，利用“”得到与全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①正确；然后再，利用“”得到与全等，故选项④正确；若选项②正确，得到与相等，且都为，而不一定为，故②错误．此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：及．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， ∴， 即，故选项③正确； 在和中， ∴ ∴，， 故选项①正确； 在和中， ， ∴，故选项④正确； 若 则， 而不一定为，故②错误， 则正确的选项有：①③④， 故选：B． 55．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 56．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①当时，与全等；②的取值范围为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，不等式求解，方程的运用，理解题意，掌握全等三角形的性质列方程是解题的关键． （1）①根据速度与时间计算即可；②根据题意可得，，当时，，由此列式求解即可； （2）①当时，，分类讨论：当时，，列式求解；当时，，列式求解；②根据题意，分类讨论：当，时，不存在点使与全等，由此列式求解；当，时，不存在点使与全等，由此列式求解． 【详解】（1）解：①动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒， ∴点从的运用时间为， 当时，， 故答案为：； ②证明：根据题意，， ∴， ∵， ∴， 在中，  ， ∴，且， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴ 解得，； （2）解：①当时，，且，如图所示，    当时，， ∴， 解得，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，； ∴当时，与全等； ②， ∵线段上不存在点，使与全等，即， ∴当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得 ，； 当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得，； 综上所述，的取值范围为． 57．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，高线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据高线的定义及等角的余角相等得出，利用即可得证； （2）①根据题干中的条件可得出依题意，或化简即可；根据四边形的内角和及角直角的等量关系即可得出； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①解：依题意，或 ∴或 ∵是边上的高，是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ∴， ∵，，∴， ； 如图3，当时， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 地 城 考点08 角平分线的尺规作图 58．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本尺规作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故选：A． 59．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，甲、乙、丙三位同学解决该问题的作图如图所示，下列判断正确的是（   ） A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．只有丙的正确 D．只有乙、丙的正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，尺规作图——作已知角的平分线，根据题意得到点M在的角平分线上是解题的关键．根据题意可得点M在的角平分线上，即可求解． 【详解】解：∵休息点M到和两边的距离相等， ∴点M在的角平分线上，只有丙的作图正确． 故选：C． 60．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确的作出的平分线， 第一步：在射线上分别截取，使； 第二步：分别以点和点为圆心，适当长（大于线段长的一半）为半径做圆弧，在内，两弧交于点； 第三步：作射线． 射线就是所要求作的的平分线． 用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【详解】解：如图所示，连接 由作图方法可知， 又∵， ∴， ∴， ∴射线就是所要求作的的平分线． 故选：C． 61．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的性质，点的坐标特征．由作图痕迹得点在的平分线上，则点到轴和轴的距离相等，得到，再结合点在第二象限，即可得解． 【详解】解：由作图痕迹得点在的平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， ∴， 解得或， ∵ 点在第二象限， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 地 城 考点09 角平分线的性质定理的应用 62．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由垂线段最短可知，当时，线段有最小值，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段有最小值， 平分，，， ， 即线段的最小值是4， 故选：B． 63．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，点O在内，且到三边的距离相等，连接，，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的判定及三角形内角和，熟练掌握角平分线的判定及三角形内角和是解题的关键；由题意易得是角平分线，然后问题可求解． 【详解】解：∵点O在内，且到三边的距离相等， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为B． 64．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到即可求解． 【详解】解：过点作于， ， ， 平分，，， ， 故选：D． 65．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是的平分线，，垂足是E． （1）若则 ；（填线段） （2）若，，，则的周长是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型． （1）根据角平分线的性质求得，求出； （2）先证明，得到，求出，结合（1）中，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长是， 故答案为：． 66．（24-25八年级上·河北邢台·期中）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， __________ 平分， __________， 在和中， ∵， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 【答案】90 ，，，，，，180，180 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，由平角的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， ， 平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ． （平角的性质）， 故答案为：90 ，，，，，，180，180． 67．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 68．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为的平分线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，平分，分别交于点，求的度数； (2)如图2，当点在的外部时，过点作，交于点，交的延长线于点，且． ①连接．求证：点在的垂直平分线上； ②若，则 ． 【答案】(1) (2)①证明见解析，②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，，根据三角形外角性质得； （2）①连接，如图所示，根据角平分线性质得，结合，得，得，即得点在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分平分， ∴，， ∴； （2）①证明：连接，如图所示： ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、三角形外角性质、角平分线定义和性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线判定等知识，解答本题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 69．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解：∵平分，， ∴的高等于， ∵， ∴． 70．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图1，图2，在中，，D为的平分线上一点． (1)如图1，当点D在线段上时，平分，分别交，于点E，F，求的度数； (2)如图2，当点D在的外部时，过点D作，交于点M，，交的延长线于点N，且． ①连接，．求证：点D在的垂直平分线上； ②若，，则______． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】（1）根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得，根据三角形外角性质得； （2）①连接，根据角平分线性质得，结合，，得，得，即得点D在线段的垂直平分线上；②求出，根据，得，得， 得，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）①证明：连接， ∵平分，于M，于N， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．添加辅助线，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角性质，角平分线定义和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线判定，是解题的关键． 71．（24-25八年级上·河北邢台·期中）情景再现：数学课上老师带领同学们探究角平分线的性质 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接，． (1)初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是_______． (2)性质运用：如图2，若，点C，D分别在射线，上运动，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）利用证明，根据全等的性质即可得出； （2）过点P点作于E，于F，由角平分线的性质得出，证明，可得出． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：还成立，理由如下： 如图，过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 72．（24-25八年级上·河北唐山·期中）问题：已知：射线是的平分线，点D是射线上任意一点． 探究：嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题：    （1）如图1，若分别在、上截取，猜想与的数量关系是______；       （2）如图2，若作“，，垂足分别为B、A”，其余条件不变，请你探究、两条线段之间的数量关系，并说明理由；       （3）点B、点A分别是的两边和上不与点C重合的任意一点，通过探究，得到的命题是：“如果，那么．”请判断此命题是真命题，还是假命题，如果是真命题说明理由；如果是假命题，在图3画出图形说明此命题不成立．          【答案】（1）；（2），见解析；（3）假命题，见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）“如果，那么．”是假命题，画图说明即可． 【详解】解：（1）如图1，， 证明：射线是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）．理由如下： 射线是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； （3）“如果，那么”是假命题． 如图，以点D为圆心画圆，与的两边相交，此时，但         73．（24-25八年级上·河北保定·期中）将两个完全相同的等腰直角三角板如图所示摆放，使两个三角板的直角边分别和的两边重叠，两个三角板的锐角顶点重合为顶点P，作射线，则为的角平分线的依据是（   ） A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．垂直平分线的性质 C．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D．利用“”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定，理解图形是解题的关键． 根据图形可得，再根据角平分线的判定即可． 【详解】解：根据题意可得， 则为的角平分线， 故依据是角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， 故选：C． 地 城 考点10 常见几何模型举例 74．（24-25八年级上·河北邢台·期中）【探究发现】如图1，在中，是的中线，作，边交延长线于M点，求证：． 【初步应用】如图2，在中，，，是中线，则的取值范围为______； 【探究提升】如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，连接，延长交于点P，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】探究发现：见解析；初步应用；探究提升：，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形三边关系的应用： 探究发现：利用证明即可； 初步应用：如图，延长至，使得，则，先证明，得到，再根据三角形三边关系得，据此即可求解； 探究提升：如图，延长到，使得，连接，则，证明得到，，即得，再根据得到，即可得到． 【详解】探究发现：证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； 初步应用：如图，延长至，使得，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系得，， ∴， ∴， 故答案为：； 探究提升：解：，，理由如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 由（）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 75．（14-15八年级上·福建南平·期中）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 76．（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为，证明见详解 【分析】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答． 【详解】（1）解：， 理由如下：延长至点使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：以上结论不成立，应为， 理由如下：延长至G，使 由（1）可知，， ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 77．（23-24八年级上·河北邢台·期中）【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：，证明见解析；拓展应用：（1）见解析；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定 理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 【问题提出】根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； 【变式探究】根据等量代换及三角形内角和定理得出由全等三角形的判定和性质即可证明； 【拓展应用】（1）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． （2）证明，即可得到结论 【详解】解：【问题提出】证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ 【变式探究】证明： 在和中， ∴， ∴， ； 【拓展应用】（1）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与【问题提出】同理可得 ． 即点到直线的距离相等； （2）在和中， ∴， ∴ 试卷第2页，共90页 2 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $