1.6有理数的乘方讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

1. 有理数的乘方 学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，掌握乘方、幂、底数、指数的概念。 2. 能够正确进行有理数的乘方运算，掌握乘方运算的符号规律。 3. 学会进行包含乘方的有理数混合运算，明确运算顺序。 4. 理解科学记数法的意义，能运用科学记数法表示较大的数。 5. 初步了解乘方的逆运算（平方根的概念）。 知识点讲解 一、幂的概念 1. 乘方的定义： 求( n )个相同因数的积的运算，叫做乘方。 记作：. 相关概念： · 在中，( a )叫做底数，( n )叫做指数，读作“( a )的( n )次方”或“( a )的( n )次幂”。 · 当指数为1时，通常省略不写，如。 注意： 与的区别： · 表示( n )个( -a )相乘，底数是( -a )。 · 表示( n )个( a )相乘的积的相反数，底数是( a )。 二、乘方运算 乘方运算的实质是相同因数的乘法运算。 即： 三、符号规律 1. 正数的任何次幂都是正数。 例如：， 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如：（奇次幂为负），（偶次幂为正） 3. 0的任何正整数次幂都是0。 例如：，的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。 例如：，， 四、乘方应用 乘方在现实生活中有着广泛的应用，例如： · 表示较大的数（如人口、国土面积、天体距离等）。 · 计算增长率、衰减率问题。 · 物理学中的一些公式（如重力势能虽然不是乘方，但很多物理量的计算涉及乘方）。 五、混合运算 有理数混合运算的顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2. 同级运算，从左到右进行。 3. 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 六、科学计数法 1. 定义： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，( n )是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 注意： · ( a )必须是整数位只有一位的数。 · ( n )的值等于原数的整数位数减1。 七、乘方逆运算 1. 平方根的概念（初步）： 如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（或二次方根）。 例如：因为，，所以3和-3是9的平方根。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 例题解析 例1：说出下列乘方的底数、指数，并计算结果。 解： ( 底数是2，指数是5。 (2) 底数是-3，指数是4。 (3)) 底数是2，指数是4。 (4) 底数是，指数是3。 解析：本题主要考查乘方的概念及运算。需要特别注意区分与的意义和运算结果，以及分数的乘方运算方法。 例2：计算下列各题。 ( 解： (1) (2) (3) 解析：本题考查1、-1和0的乘方运算的特殊性。1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，偶次幂是1；0的任何正整数次幂都是0。 例3：计算下列混合运算。 ( 解： 解析：进行有理数混合运算时，务必遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里的。计算过程中要注意符号的变化。 例4：用科学记数法表示下列各数。 (1) 567000 (2) 12300000 (3) 1000000000 解： 解析：用科学记数法表示数时，关键是确定( a )和( n )的值。( a )是整数位只有一位的数，( n )是原数的整数位数减1。 例5：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1) 16 (2) 0 (3) -4 解： (1) 16 因为，， 所以16有平方根，平方根是4和-4。 (2) 0 因为， 所以0有平方根，平方根是0。 (3) -4 因为任何数的平方都是非负数，即， 所以不存在一个数( x )，使得。 因此，-4没有平方根。 解析：本题考查平方根的概念。正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 巩固练习 一、填空题 1. 的底数是______，指数是______，读作______，结果是______。 2. 的底数是______，指数是______，读作______，结果是______。 3. 。 4. 用科学记数法表示：3650000 = ______，102000000 = ______。 5. ，（n为正整数）的结果是1后面有______个0。 6. 一个数的平方等于它本身，这个数是______；一个数的立方等于它本身，这个数是______。 二、选择题 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各数中，数值相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 9. 地球与太阳的平均距离大约为150000000千米，用科学记数法表示这个距离为（ ） A.千米 B.千米 C.千米 D.千米 巩固练习答案与解析 一、填空题 1. 的底数是-5，指数是3，读作“负5的3次方”或“负5的3次幂”，结果是-125。 解析：。 2. 的底数是5，指数是3，读作“5的3次方的相反数”，结果是-125。 解析：。 3. ，。 解析： ； ； 4. 用科学记数法表示：，。 解析：3650000整数位数是7位，所以( n = 7 - 1 = 6 )，即；102000000整数位数是9位，所以( n = 9 - 1 = 8 )，即。 5. ，，，（n为正整数）的结果是1后面有n个0。 解析：直接根据10的乘方的意义得出。 6. 一个数的平方等于它本身，这个数是0和1；一个数的立方等于它本身，这个数是-1，0和1。 解析：设这个数为x。，解得( x = 0 )或( x = 1 )；，即，，( x(x-1)(x+1) = 0 )，解得( x = 0 )或( x = 1 )或( x = -1 )。 二、选择题 7. 下列运算正确的是（ C ） A.（应为 -4） B.（应为 4） C.（正确） D.（应为 9） 解析：A选项；B选项；C选项；D选项。 8. 的值是（ A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 解析：（2024是偶数），（2023是奇数），所以( 1 + (-1) = 0 )。 9. 下列各数中，数值相等的是（ B ） A.与（不相等） B.与（相等） C.与（不相等） D.与（不相等） 解析：分别计算各选项中的两个数，比较结果。 10. 地球与太阳的平均距离大约为150000000千米，用科学记数法表示这个距离为（ C ） A.千米 （a=15不满足1≤a<10） B.千米 （n=7，应为8） C.千米 （正确） D.千米 （a=0.15不满足1≤a<10） 解析：150000000整数位数是9位，( n = 9 - 1 = 8 )，所以。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 有理数的乘方 学习目标 1. 理解有理数乘方的意义，掌握乘方、幂、底数、指数的概念。 2. 能够正确进行有理数的乘方运算，掌握乘方运算的符号规律。 3. 学会进行包含乘方的有理数混合运算，明确运算顺序。 4. 理解科学记数法的意义，能运用科学记数法表示较大的数。 5. 初步了解乘方的逆运算（平方根的概念）。 知识点讲解 一、幂的概念 1. 乘方的定义： 求( n )个相同因数的积的运算，叫做乘方。 记作：. 相关概念： · 在中，( a )叫做底数，( n )叫做指数，读作“( a )的( n )次方”或“( a )的( n )次幂”。 · 当指数为1时，通常省略不写，如。 注意： 与的区别： · 表示( n )个( -a )相乘，底数是( -a )。 · 表示( n )个( a )相乘的积的相反数，底数是( a )。 二、乘方运算 乘方运算的实质是相同因数的乘法运算。 即： 三、符号规律 1. 正数的任何次幂都是正数。 例如：， 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 例如：（奇次幂为负），（偶次幂为正） 3. 0的任何正整数次幂都是0。 例如：，的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，偶次幂是1。 例如：，， 四、乘方应用 乘方在现实生活中有着广泛的应用，例如： · 表示较大的数（如人口、国土面积、天体距离等）。 · 计算增长率、衰减率问题。 · 物理学中的一些公式（如重力势能虽然不是乘方，但很多物理量的计算涉及乘方）。 五、混合运算 有理数混合运算的顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。 2. 同级运算，从左到右进行。 3. 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。 六、科学计数法 1. 定义： 把一个大于10的数表示成的形式（其中，( n )是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. 注意： · ( a )必须是整数位只有一位的数。 · ( n )的值等于原数的整数位数减1。 七、乘方逆运算 1. 平方根的概念（初步）： 如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（或二次方根）。 例如：因为，，所以3和-3是9的平方根。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 例题解析 例1：说出下列乘方的底数、指数，并计算结果。 例2：计算下列各题。 ( 例3：计算下列混合运算。 ( 例4：用科学记数法表示下列各数。 (1) 567000 (2) 12300000 (3) 1000000000 例5：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1) 16 (2) 0 (3) -4 巩固练习 一、填空题 1. 的底数是______，指数是______，读作______，结果是______。 2. 的底数是______，指数是______，读作______，结果是______。 3. 。 4. 用科学记数法表示：3650000 = ______，102000000 = ______。 5. ，（n为正整数）的结果是1后面有______个0。 6. 一个数的平方等于它本身，这个数是______；一个数的立方等于它本身，这个数是______。 二、选择题 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各数中，数值相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 9. 地球与太阳的平均距离大约为150000000千米，用科学记数法表示这个距离为（ ） A.千米 B.千米 C.千米 D.千米 学科网（北京）股份有限公司 $