专题04 平方根与立方根（8大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04平方根与立方根 题型归纳·内容导航 题型1无理数的识别（常考点） 题型5利用平方根与立方根的定义解方程 题型2求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型6程序设计与实数运算（重点) 题型3实数与数轴（重点） 题型7平方根与立方根的综合问题（重点） 题型4实数的比较大小 题型8与算术乎方根，立方根有关的规律问题 题型通关·靶向提分 题型一无理数的识别（共5小题） 1.(25-26八年级上·全国·期中)下列各数是无理数的是() A. 22 B.8 C.32 D.0.414 2. (25-26八年级上全国期中)实数}0，V万，1.732中，无理数是（) A B.0 C.7 D.1.732 3.《2526八年级上全国期中)在3.14，号，反，，n这儿个数中，无连数有《) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.2425八年级上四川眉山期中)在7,0，号.25，至5,2-5,010101601…（相邻两 个1之间依次多个0)中，无理数有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2425八年级上福建漳州期中)下列数号，5,5，受-03,20101001（相邻两个1之间 0的个数逐次加1)中，无理数有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 题型二求一个数的平方根、算术平方根、立方根（共5小题） 6.(2425七年级下·广东汕尾·期中)25的平方根是一，-27的立方根是 7.(24-25七年级下·福建厦门期中)（1)√9=；(2)±4=_：(3)-8的立方根是 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8. (24-25七年级下新疆哈密期中)-5= ,-27的相反数」 √⑧1的平方根 9.(24-25七年级下·福建厦门期中)1的平方根是， √0.09=，-64=， -√5的相反数 是 3 10.(24-25七年级下·湖北荆门期中)25的平方根是一；3。的立方根是一；√36的算术平方根 8 是 题型三实数与数轴（共5小题） 11.(24-25七年级下·云南大理·期中)如图，正方形ABCD的面积为3，点A在数轴上，且表示的数为-2， 以点A为圆心，AB长为半径画弧，与数轴交于点E(点E在点A的右侧)，则点E所表示的数为一， E -3-2-10 12.(25-26八年级上全国·期中)如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数-1,1,2,3，则表示数 4-√1的点应在线段 上.（填“A0“OB“BC”或“CD”) AOB CD -2-10123 13.(24-25八年级上·江苏苏州期中)如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段AB⊥BC于 点B,且BC长为1个单位长度.若以点A位圆心，AC长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P,则点P表 示的实数是」 102345→ 1A 14.(24-25八年级下山东济宁.期中)若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作 半圆，该半圆与数轴的右交点为点C,若点C表示的数是3，则点B表示的数为 BC 15.(24-25八年级上河北张家口期末)如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0,3，过点A作AB⊥数 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 轴，AB=1个单位长度，以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C,则点C表示的数是· B 4-3-2-101234 题型四实数的比较大小（共5小题） 16.(24,25八年级下安微毫州期中)比较大小：2 √3-2 2 17.(2425七年级下甘肃定西期中)比较两数的大小： 2 5，(“>“<”或“=”)》 18.(24-25八年级下·黑龙江大庆期中)比较大小：√1_3.2. 19.(24-25八年级下·安徽毫州期中)比较大小：√5-23-√5（填“>”或“<”）· 20.(24-25七年级下北京期中)比较大小：(1)√万 3: (2)V5-1」 2(填“>、<、=”). 题型五利用平方根与立方根的定义解方程（共5小题） 21.（24-25八年级上宁夏银川期中)解下列方程. (1)(3x+2)2-16; ②2x-0'=-4 22.(25-26八年级上·广东广州期中)求下列各式中x的值： (1)(x-1)=4; (2)2(x+1)3-54=0 23.(24-25七年级下.青海西宁.期中)求下列式子中x的值： (02--1=4: (2)(x+3)3=64. 24.(24-25七年级下·新疆和田期中)解方程： (1)x2-36=0: (2)(2x-1)3+8=0. 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 25.(24-25八年级上四川宜宾期中)解方程： (0)42x-1)2=36; (2)2x-1°+16=0. 题型六程序设计与实数运算（共5小题） 26.(23-24七年级下山东济宁.期中)小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有 理数64时，输出的y的值是(). 有理数 是有理数 是无理数 输入x值 取算术 取立 平方根 方根 输出y 无理数 A.8 B.±8 C.2 D.√2 27. （23-24七年级下.甘肃武威期中)根据图中的程序，当输入x为64时，输出y的值是() 是 否 输入x x≥10 是无理数 是 输出y y A.迈 B.2 C.2 D.8 28.(24-25七年级下·湖北武汉·期中)在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是() 有理数 是有理数 是无理数 输入x的值 取算术平方根 取立方根 输出y 无理数 A.2 B.4 C.2 D.4 29.（24-25七年级下山东滨州阶段练习)在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有理数 输入x值 取算术 是有理数 是无理数 取立方根 平方根 输出y 无理数 30.(24-25七年级下.重庆铜梁期中)小明编写了一个程序，如图，若输入x=-8,则输出的值为 输入x 立方根 倒数 算数 输出 平方根 题型土平方根与立方根的综合问题（共5小题） 31.(25-26八年级上全国期中)已知2a+4的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是3，求ab+b-3的平 方根 32.(24-25七年级下广东广州期中)已知2a+4的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是3. (I)求a,b的值； (2)求a+b的平方根， 33.(24-25七年级下.福建福州期中)已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的立方根是2. (1)求a,b的值； (2)求2a+b的平方根 34.（24-25八年级上江苏苏州期中)已知2x+3是49的算术平方根，x+4y-13的立方根是-3. (1)求x,y的值； (2)求y-2x的立方根. 35.(24-25八年级上江苏扬州期中)已知5a+2的立方根是3，b-1的算术平方根是√5. (1)求a、b的值； (2)求a+3b的平方根. 题型八与算术平方根，立方根有关的规律问题（共5小题） 36.(2425七年级下湖北孝感期中)学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的 算式.阅读观察下列算式，探求规律： 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【实践探究】 (1)按照此规律，①计算： 17 81 ②第n个式子是 (用含n的式子表示，n是大于等于1整数)； (2)计算： 31 256 【迁移应用】 (3)若1 4049 =x符合上述规律，请求出x的值 37.(24-25七年级下·山东日照期中)观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： √0.0001=0.01，V0.01=0.1,f=1,100=10,10000=100,…, (1)已知√2≈1.414，√20≈4.47，则V0.2= (2)己知√3.68≈1.918，√a≈191.8，则a=; (3)归纳：已知数Q的小数点的移动与它的算术平方根√a的小数点移动间有何规律？ 38.(24-25八年级上辽宁锦州期中)按要求填空： (1)填表并观察规律： 0 0.0004 0.04 4 400 (②)根据你发现的规律填空： 已知：V5.8=2.408,则√580= 已知：√0.0068=0.0825，√=8.25，则x=; (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明. a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 39. (24-25七年级下·广东汕头·期中)(1)填表： 0.000008 0.008 8 8000 6/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a (2)观察上表，表中数α的小数点的移动与它的立方根ā的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述 这个规律： ； (3)根据你发现的规律解答： ①已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140介于哪两个整数之间？ ②已知0.001843≈0.1226，则1843≈； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01 平方米) 0.000008 0.008 6 8000 a 0.02 0.2 20 40. (24-25七年级下·河南新乡·期中)在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对 知识的探究 观察下面式子的规律，解答问题. V1600=40,V16=4,V0.16=0.4.… 8=2,38000=20,8000000=200.. 【发现规律】 (1)①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向 移动 位 ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向移动位. 【应用规律】 (2)①已知800≈28.28，那么√8≈，√0.08≈· ②已知15≈2.466，≈-24.66，那么x= 【拓展】 (3)已知√0.03≈0.1732,3000≈14.422，则25=，23= 7/7专题04 平方根与立方根 题型1 无理数的识别（常考点） 题型5 利用平方根与立方根的定义解方程 题型2 求一个数的平方根、算术平方根、立方根 题型6 程序设计与实数运算（重点） 题型3 实数与数轴（重点） 题型7 平方根与立方根的综合问题（重点） 题型4实数的比较大小 题型8 与算术平方根、立方根有关的规律问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 无理数的识别（共5小题） 1．（25-26八年级上·全国·期中）下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.414 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的三种常见形式． 根据无理数的定义，判断每个选项是否为无理数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、是开不尽方的数，所以是无理数，符合题意； D、0.414是有限小数，属于有理数，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期中）实数，0， ，中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】有理数：，0，；无理数：. 故选：C. 3．（25-26八年级上·全国·期中）在，，，，这几个数中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有：开方开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如(相邻两个之间依次增加个). 【详解】解：是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是分数，是有理数， 是开方开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 综上所述，无理数有个． 故选：B． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期中）在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解： 0，，， 是有理数； ， ，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）是无理数，共有个； 故选：D． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，为有理数； ，为有理数； ，为无理数； ，为无理数； ，为有理数； （相邻两个1之间0的个数逐次加1），为无理数． ∴无理数有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， 故选：A． 题型二 求一个数的平方根、算术平方根、立方根（共5小题） 6．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）25的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的平方根是，的立方根是， 故答案为：；． 7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）（1） ；（2） ；（3）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，难度不大，属于基本知识． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）的立方根是， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·新疆哈密·期中） ，的相反数 ，的平方根 【答案】 3 【分析】本题考查实数的性质，立方根，算术平方根和平方根，根据绝对的意义，相反数的定义，立方根，算术平方根和平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：，的相反数是3，的平方根是； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期中）1的平方根是 ， ， ，的相反数是 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根，相反数的定义，算术平方根和立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：1的平方根是， ， ， 的相反数是， 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据平方根、立方根、算术平方根的定义判断即可． 【详解】的平方根是；的立方根是；的算术平方根是， 故答案为：；； ． 题型三 实数与数轴（共5小题） 11．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键；根据算术平方根的概念可求，再根据数轴上距离的概念可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·期中）如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数，1，2，3，则表示数的点应在线段 上．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算及实数与数轴．由可求，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点在之间； 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】解：数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度． ∴， 在中，， ， ∵数轴上的点A 对应的实数是 表示的实数为． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东济宁·期中）若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数． 【详解】解：正方形的边长为1， 圆的半径为， ， 点C表示的数是3， 点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 题型四 实数的比较大小（共5小题） 16．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数比较大小，先整理得，再结合正数大于0，0大于负数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）比较两数的大小： ．（“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用平方法，比较两数的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 18．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键． 根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 19．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，不等式的性质，利用作差法得到，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小：（1） 3； （2） 2（填“＞、＜、＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，即可作答． （2）因为，所以，进行作答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 则， 故答案为：； 题型五 利用平方根与立方根的定义解方程（共5小题） 21．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26八年级上·广东广州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）直接利用平方根的定义求解即可； （2）移项，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 当时， 当时， 或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·青海西宁·期中）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再整理得，运用平方根进行计算，即可作答． （2）运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 则 ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·新疆和田·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是先化成乘方的形式，再开方运算． （1）先移项，可得平方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）先移项，可得立方的形式，根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）解：， ， ， ． 25．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型六 程序设计与实数运算（共5小题） 26．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 27．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 28．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 29．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、算术平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并掌握相关运算法则是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：输入，则，然后，然后得到，然后得到， ∴输出的数为， 故答案为：． 题型七 平方根与立方根的综合问题（共5小题） 31．（25-26八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 32．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 33．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于，的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， 解得:． （2）解：当时， ，                       所以的平方根是． 34．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 35．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 题型八 与算术平方根、立方根有关的规律问题（共5小题） 36．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 37．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 38．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 39．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 40．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． $