专题06 平面直角坐标系及面积、规律问题（11大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06平面直角坐标系及面积、规律问题 题型归纳·内容导航 题型1定位法的应用 题型7平面直角坐标系中的平移作图（常考点） 题型2判断点所在的象限 题型8在平面直角坐标系中求图形的面积（重点） 题型3已知点所在的象限求参数 题型9平面直角坐标系中的新定义型问题（难点） 题型4求点到坐标轴的距离 题型10平面直角坐标系中的动点面积问题 题型5平面直角坐标系中点的特征（重点) 题型11平面直角坐标系中点的规律探究问题（难点） 题型6根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 题型通关·靶向提分 题型一定位法的应用（共5小题） 1.(24-25七年级下·广西玉林期中)如果剧院里“5排2号”记作(5,2)，那么(8,9表示() A.“8排9号” B.“9排8号 C.“8排7号” D.“9排9号” 2.（24-25七年级下·云南昆明·期中)根据下列表述，能确定具体位置的是() A,电影城1号厅6排 B.云南省嵩明县 C.北纬31°，东经103 D.南偏西60 3.（24-25七年级下·广西南宁期中)气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定 台风中心位置的是() A.西太平洋 B.距气象台500海里 C.北纬22°，东经128 D.长江附近 4.(24-25七年级下·河北廊坊期中)如图，雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F,按照规定 的目标表示方法，目标C,F的位置表示为C(5,120),F(6,210),按照此方法在表示月标A,B,D, E的位置时，其中表示不正确的是() 1/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 120° 90° 609 1509 309 B 180° 34560° F 210° 3309 0 240° 270°300% A.A6,30°】 B.B2,90° C.D5,240 D.E(4,60 5.（24-25七年级下·福建福州期中)在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对 位置.如图，以O点为基准点，射线OA方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度(0°~180)，顺时针 方向旋转为负角度(0°~-180)如：OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点0的距离为1km, 因此点B可以用有序数对记为(90°，，类似地，点C可以记为-15°，4).以下点的位置标记正确的是() 距离单位：km A.点D(4,150 B.点E(45°，3 C.点F(-120,3 D.点G(60,2 题型二判断点所在的象限（共5小题） 6.(24-25七年级下·广东中山期中)下列各点中，在第四象限的是() A.(1,-2) B.(2,) C.(-2,-1) D.(-1,2) 7.(24-25七年级下·四川泸州期中)下列各点，在第四象限的是() A.（3,2 B.（(3,-2 C.-3,2 D.（-3,-2 8.(24-25八年级上宁夏中卫期中)已知a<0,b>0,那么点P(a,b)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(24-25七年级下·四川泸州期中)若实数a,b满足等式(2a+4)2+√4-b=0,则点P(a,b)一定在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(24-25八年级下河北唐山期中)己知a>0,则点P(-a2,a2+1在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型三已知点所在的象限求参数（共5小题） 11.(24-25八年级上·四川成都期中)己知点(a+7,a-7在x轴上，则a的值是 12.(24-25七年级下·云南昆明·期中)在平面直角坐标系x0y中，点P(m+1,m-2)在y轴上，那么 1m= 13.(24-25七年级下·福建莆田·期中)平面直角坐标系中，若点P(2025m,2025-m)在x轴上，则m的值 为」 14.(24-25七年级下.北京期中)在平面直角坐标系中，若点M(2a-8,a-1)在y轴上，则点M的坐标 为 15.(24-25七年级下.吉林期中)已知平面直角坐标系中A(-3,和B(b,-2两点，点B位于第三象限， AB=4,直线AB∥y轴，则a-b= 题型四求点到坐标轴的距离（共5小题） 16.(24-25七年级下·云南昆明·期中)点(1，-7)到x轴的距离为一 17.(24-25八年级下河北秦皇岛·期中)在平面直角坐标系中，点P(-2,-5)到y轴的距离为 18.(24-25七年级下.湖北武汉·期中)在平面直角坐标系中，点A(2-a,3a-8)到两条坐标轴的距离相等， 则a的值是」 19.(24-25七年级下·河北保定期中)已知点P在第四象限，且到x轴和y轴距离分别是2和3，则点P的 坐标为」 20.(24-25七年级下·辽宁铁岭·期中)已知点P(m-3,1+m)在第二象限，点P到x轴的距离是点P到y轴 的距离的2倍，则点P的坐标为」 3/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五平面直角坐标系中点的特征（共5小题） 21.（24-25七年级下广东中山期中)已知点P(2a-2,a+5),解答下列各题： (①)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标. 22.(24-25七年级下·云南大理期中)在平面直角坐标系中，己知点P(2m-4,3m+1. (1)当直线PA平行于x轴，且A-4,-2),求出点P的坐标. (2)若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值； 23.(25-26八年级上全国·期中)在平面直角坐标系x0y中，已知点P(a-1,4a),分别根据下列条件进行 求解。 (I)若点P在过点A(2,8)且与x轴平行的直线上，求此时α的值； (2)若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标. 24.(24-25七年级下.云南丽江期中)已知点P2a+3,a-4). (I)若点P在x轴上，求点P的坐标： (2)若点Q(3,2b)在第一象限，PQ∥y轴，且P2=10,求b的值. 25.(24-25七年级下河南商丘·期中)已知平面直角坐标系中一点P(m-4,2m+1). ()当点P在y轴上时，求出点P的坐标； (2)当点P在过点A(-4,-3)、且与x轴平行的直线上时，求出点P的坐标： (3)当点P到两坐标轴的距离相等时，求出m的值. 题型六根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图（共5小题） 26.（24-25七年级下陕西延安期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的 坐标为2,2)，文化馆的坐标为-1,3). 4/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 体育场 市场 文化馆 火车站 超市 (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标： (3)已知游乐场A,图书馆B的坐标分别为0,5)，（-2,2)，请在图中标出A,B的位置 27.(24-25七年级下广西南宁期中)如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正 方形的边长代表100m长) 图书馆 花市 文化馆 超市 宾馆 博物馆 动物园 ()请你以宾馆为原点建立平面直角坐标系； (2)由(1)可知花市的坐标为(400,300)，请写出文化馆、超市、博物馆、动物园的坐标； (3)直接写出图书馆到花市的最短距离为 m. 28.(24-25七年级下福建福州期中)如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马” 位于点1,2)，“车”位于点(-2,2). ④ 炮 (1)请根据题意，画出平面直角坐标系x0y,并写出炮对应的点坐标； 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标.（按照象棋规则，棋子 “马”只能沿着棋盘上“或的对角线行走) 29.（24-25七年级下，海南省直辖县级单位期中)如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日” 形的对角线走.例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处. 楚河 汉界 B 相 A D 帅 (1)如果“帅位于点(0,0)，“相”位于点(4,2)，建立出平面直角坐标系，写出“马”所在的点的坐标为 点C的坐标为 ·点D的坐标为 (2)在第(1)题建立的平面直角坐标系中，若“马的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图 中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示. 30.(24-25七年级下·北京·期中)如图，这是某校的平面示意图，如果以正东为x轴正方向，正北为y轴 正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是(-4,2)，操场的坐标是(1,3). 北 东 操场. 初中楼 图书馆 实验楼高中楼 (1)坐标原点应为 的位置： (2)在图中画出此平面直角坐标系； (3)校门在第 象限，图书馆的坐标是 (4)若宿舍楼的坐标是(-3，-2)，请在图上标出宿舍楼的位置和坐标. 题型七平面直角坐标系中的作图（共5小题） 31.(24-25八年级上·甘肃兰州期中)A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图. 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出ABC关于x轴对称的图形△A,B,C; (2)并求ABC的面积 32.(20-21八年级上河北保定期中)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(3,1), B(2,3). 3 2 5-4-3-2-10 12345 3 5 (I)在图中画出AOB关于y轴的对称的△A'OB',点A的坐标为_，点B的坐标为； (②)写出点关于x轴的对称点”的坐标为_； (3)求△A'0B'的面积 33.(24-25八年级上湖北期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别为 A-1,1,B(1,5),C4,4. 7/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y个 6 B A 65432-1 01234.至6x 2 3 4 -6 (I)作出ABC关于y轴对称的图形△AB,C,并写出顶点B的坐标。 (2)求△AB,C1的面积. (3)在x轴上找一点P,使得PA+PC最小. 34.(23-24八年级上河北邯郸期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是 A2,-1,B(1,-2),C(3,-3. B (1)请画出与ABC关于y轴对称的△A,B,C,并写出点C的坐标； (2)在(1)的条件下，画出与△A,BC关于直线1对称的△AB,C2; (3)在(2)的条件下，若点P(m,n)在△AB,C,的内部，则点P在△A,B,C2中对应点B的坐标是_ 35.(24-25八年级上·天津·期中)己知△4BC的三个顶点的坐标分别为A-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0). 8/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A (I)将ABC沿y轴翻折，画出ABC关于y轴对称的图形△AB,C,并直接写出A点的坐标_； (2)直接写出点A关于x轴对称的点4的坐标」 (3)若以D、B、C为顶点的三角形与ABC全等，请画出所有符合条件的△DBC(点D与点A重合除外)· 题型八在平面直角坐标系中求图形的面积（共5小题） 36.(24-25七年级下.宁夏吴忠·期中)如图三角形顶点坐标分别是(-5,0)、(3,0)、(-3,5)，那么它的面积 等于 61 5 654321可23.4.6末 -2-1-1--- 6 37.(23-24八年级上·河南郑州期中)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点为A-1,3,B(0,-1), C(1,1)点D是x轴上一个动点，当△BCD的面积等于ABC的面积时，点D的坐标为_ 9/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 A 4 2 C -5-4-3-2-1712345x -1B 2 -3 38.(24-25七年级下·陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，己知ABC的顶点坐标分别为A(0,3) 3 ，B(8,0),C(8,6).若在第二象限内有一点P(a,1，且四边形AB0P的面积是ABC的面积的子，则点P 的坐标为 A 0 B主 39.(24-25八年级上山东青岛期中)在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是 A(0,2),B(5,5),C(8,0),D(2,-2),则这个四边形的面积是 B 5 3 10 D 40.(23-24七年级下福建厦门期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，己知点A2,n+2),B(k,n+2), C(4,n+4),D(2,n+k).则四边形ABCD的面积= (用含有k的式子表示) 10/17专题06 平面直角坐标系及面积、规律问题 题型1 定位法的应用 题型7 平面直角坐标系中的平移作图（常考点） 题型2 判断点所在的象限 题型8 在平面直角坐标系中求图形的面积（重点） 题型3 已知点所在的象限求参数 题型9 平面直角坐标系中的新定义型问题（难点） 题型4求点到坐标轴的距离 题型10 平面直角坐标系中的动点面积问题 题型5 平面直角坐标系中点的特征（重点） 题型11 平面直角坐标系中点的规律探究问题（难点） 题型6 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 定位法的应用（共5小题） 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如果剧院里“排号”记作，那么表示（    ） A．“排号” B．“排号” C．“排号” D．“排号” 【答案】A 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，掌握用有序数对表示位置是解题的关键．根据题意可前一个数表示排数，后一个数表示号数，据此求解即可； 【详解】解：∵“排号”记作， ∴表示“排号”， 故选：． 2．（24-25七年级下·云南昆明·期中）根据下列表述，能确定具体位置的是（    ） A．电影城号厅排 B．云南省嵩明县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键．运用方向角和距离确定物体的位置，由此逐个分析即可． 【详解】解：A．电影城1号厅6排，不能确定具体位置，故本选项不合题意； B．云南省嵩明县，不能确定具体位置，故本选项不合题意； C．北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； D．南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置的是（   ） A．西太平洋 B．距气象台500海里 C．北纬，东经 D．长江附近 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟记位置的确定需要横向与纵向的两个数据是解题的关键． 根据坐标确定位置，需要横向与纵向的两个数据解答． 【详解】解：A、位于西太平洋，位置不确定，故本选项不符合题意； B、距气象台500海里，位置不确定，故本选项不符合题意； C、位于北纬，东经，位置非常明确，故本选项符合题意； D、长江附近，位置不确定，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，，按照规定的目标表示方法，目标，的位置表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可得数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是度数，据此求解即可． 【详解】解：由，可得数对中第一个数是自内向外的环数，第二个数是度数， ∴， ∴四个选项中，只有D选项表示不正确，符合题意， 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建福州·期中）在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．根据题干中的例子，分别判断每个选项即可． 【详解】解：由题意可得： A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意； B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意； 故选：D． 题型二 判断点所在的象限（共5小题） 6．（24-25七年级下·广东中山·期中）下列各点中，在第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点所在的象限的符号特征， 根据第四象限坐标的符号特征可知，再判断即可． 【详解】解：因为第四象限的点的特征是，即横坐标是正数，纵坐标是负数， 所以A符合题意. 故选：A． 7．（24-25七年级下·四川泸州·期中）下列各点，在第四象限的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、在第一象限，故本选项错误； B、在第四象限，故本选项正确； C、在第二象限，故本选项错误； D、在第三象限，故本选项错误． 故选：B． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）已知，， 那么点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点．本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：∵， ∴点位于第二象限， 故选：B 9．（24-25七年级下·四川泸州·期中）若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：偶次方，算术平方根，点的坐标，正确计算是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，即可判断点P所在的象限． 【详解】解：， 又，， ，， ，， 点在第二象限， 故选： 10．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据题意可得，，则点P的横坐标为负，纵坐标为正，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P在第二象限， 故选：B． 题型三 已知点所在的象限求参数（共5小题） 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知点在x轴上，则a的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得：． 故答案为：7． 12．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中轴上的点横坐标为成为解题的关键． 根据平面直角坐标系中，轴上的点横坐标为得到的等式求解即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，若点在x轴上，则m的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了在轴上的点的纵坐标为0，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上， ， ， 故答案为：2025． 14．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据y轴上的点的横坐标为0，列方程求出a的值，再求出点M的纵坐标即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为： 15．（24-25七年级下·吉林·期中）已知平面直角坐标系中和两点，点B位于第三象限，，直线轴，则 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据直线轴，得出、两点的横坐标相等，进而得出b的值，再根据，得出a的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， 或2， ∴或． 故答案为：或5． 题型四 求点到坐标轴的距离（共5小题） 16．（24-25七年级下·云南昆明·期中）点到x轴的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点到轴的距离，到轴的距离，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．根据纵坐标的绝对值就是到轴的距离求解即可． 【详解】解：由点可知， 此点到轴的距离为， 故答案为：7． 17．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到y轴的距离，一点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是 ． 【答案】或3 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此可得，分情况讨论即可． 【详解】解：点到两条坐标轴的距离相等， ， 或 解得或， 故答案为：或3． 19．（24-25七年级下·河北保定·期中）已知点在第四象限，且到轴和轴距离分别是2和3，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴距离，以及各象限内点的坐标特征．根据点到x轴距离等于纵坐标绝对值，到y 距离等于横坐标绝对值，结合点P在第四象限，即可得出结论． 【详解】解：设点P的坐标是， 点P到x轴和y轴距离分别是2和3， ，， ，， 点P在第四象限， ，， ，， 点P的坐标为， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的2倍，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由点到坐标轴的距离求参数. 由点在第二象限，可知，再根据点到轴的距离是点到轴的距离的2倍列方程求解即可. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∵点到轴的距离是点到轴的距离的2倍， ∴ 解得：， ∴. 故答案为：. 题型五 平面直角坐标系中点的特征（共5小题） 21．（24-25七年级下·广东中山·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在y轴上，求点P的坐标 ； (2)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了点所在的象限，在坐标轴上的点的坐标特征， 对于（1），根据点P在y轴上，可得，求出解即可得出答案； 对于（2），根据题意可得，求出解，再确定坐标即可. 【详解】（1）解：∵点P在y轴上， ∴， 解得， 则， ∴点； （2）解：∵点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等， ∴，， 解得， 则，， ∴点. 22．（24-25七年级下·云南大理·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当直线平行于轴，且，求出点的坐标． (2)若点到轴，轴距离相等，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了各象限以及坐标轴上点的坐标特点，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，点到坐标轴的距离，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． （2）根据点P到x轴，y轴距离相等，则点的横纵坐标的绝对值相等，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：平行于轴，且， ， 解得：， ， 点的坐标为． （2）∵点到x轴，y轴距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 23．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件进行求解． (1)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求此时a的值； (2)若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为2 (2)或 【分析】本题考查的是坐标与图形，点到坐标轴的距离． （1）由点在过点且与x轴平行的直线上，可得，再进一步求解即可． （2）由点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点在过点且与x轴平行的直线上， ∴， ∴． ∴此时a的值为2． （2）解：∵点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 24．（24-25七年级下·云南丽江·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点在第一象限，轴，且，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离．熟练掌握平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离是解题的关键． （1）由点P在x轴上，可得，可求得，则，进而可得点P的坐标； （2）由轴，可得，可求，则，得到点P的坐标为，由，由点Q在第一象限，由此即可得答案． 【详解】（1）因为点P在x轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （2）因为点Q坐标为，且轴， 所以， 解得，则， 所以点的坐标为． 因为，且点Q在第一象限， 所以， 解得． 25．（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知平面直角坐标系中一点． (1)当点在轴上时，求出点的坐标； (2)当点在过点、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标； (3)当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为列方程求出的值，再求解即可； （2）根据平行于轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解的值，再求解即可． （3）根据点到轴的距离列出绝对值方程求解的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， 所以，， 所以，点的坐标为； （2）解：，且平行于轴， ， 解得， ， 点的坐标为 （3）解：根据题意，得或， 解得或． 所以的值是或． 题型六 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图（共5小题） 26．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)体育场；市场；超市 (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出个点的坐标； （3）根据坐标系分别标出的位置,即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市 （3）解：如图所示，点即为所求 27．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表100m长）． (1)请你以宾馆为原点建立平面直角坐标系； (2)由（1）可知花市的坐标为，请写出文化馆、超市、博物馆、动物园的坐标； (3)直接写出图书馆到花市的最短距离为_____m． 【答案】(1)见解析 (2)文化馆的坐标为、超市的坐标为、博物馆的坐标为、动物园的坐标为 (3)800 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的运用，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系的特点即可作图； （2）根据坐标表示位置的方法即可求解； （3）根据两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）解：由坐标系可得，文化馆的坐标为、超市的坐标为、博物馆的坐标为、动物园的坐标为； （3）解：根据坐标系，图书馆到花市间隔8个小正方形，小正方形的边长代表长， ∴（）, 故答案为：． 28．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐标系，使棋子“马”位于点，“车”位于点． (1)请根据题意，画出平面直角坐标系，并写出炮对应的点坐标； (2)如果“马”再走一步到达第二象限，写出“马”所有可能出现的新位置对应的点坐标．（按照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“”或“”的对角线行走） 【答案】(1)画图见解析，炮的坐标 (2) 【分析】本题考查的是建立坐标系，根据位置确定点的坐标； （1）根据棋子“马”位于点，“车”位于点，确定坐标原点与坐标轴即可得到坐标系，再结合炮的位置可得其坐标； （2）先画“马”再走一步到达第二象限的位置，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵棋子“马”位于点，“车”位于点， ∴画图如下： ∴炮的坐标； （2）解：“马”再走一步到达第二象限，“马”所有可能出现的新位置如图所示： 此时点坐标为：． 29．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点或点处． (1)如果“帅”位于点，“相”位于点，建立出平面直角坐标系，写出“马”所在的点的坐标为___________，点的坐标为___________．点的坐标为___________． (2)在第（）题建立的平面直角坐标系中，若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【答案】(1)，，； (2)画图见解析，所走路线为． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，掌握知识点的应用是解题的关键． （）结合“帅”位于点，建立出平面直角坐标系，然后根据平面直角坐标系即可求解； （）结合平面直角坐标系，再根据题意求出“马”所走路线． 【详解】（1）解：如图，根据“帅”位于点，建立出平面直角坐标系， ∴“马”所在的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：如图，所走路线为，． 30．（24-25七年级下·北京·期中）如图，这是某校的平面示意图，如果以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，操场的坐标是． (1)坐标原点应为________的位置； (2)在图中画出此平面直角坐标系； (3)校门在第________象限，图书馆的坐标是________； (4)若宿舍楼的坐标是，请在图上标出宿舍楼的位置和坐标． 【答案】(1)高中楼 (2)图见解析 (3)四， (4)图见解析 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是确定原点位置，正确的建立直角坐标系： （1）根据已有点的坐标确定原点的位置即可； （2）根据原点的位置，建立直角坐标系即可； （3）根据位置，确定坐标和象限即可； （4）根据点的坐标，确定位置即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：原点为高中楼所在的位置； （2）解：由题意，建立直角坐标系如图： （3）解：由图可知：校门在第四象限，图书馆的位置为； （4）解：由题意，作图如上． 题型七 平面直角坐标系中的作图（共5小题） 31．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）A、B、C三点在单位长度为1的直角坐标系内位置如图．    (1)画出关于x轴对称的图形； (2)并求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：的面积为：． 32．（20-21八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，． (1)在图中画出关于y轴的对称的，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)写出点关于x轴的对称点的坐标为 ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析，， (2) (3) 【分析】本题考查了作图—作轴对称图形，坐标与图形—轴对称，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图即可； （2）根据关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得解； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示； 点，； （2）解：； （3）解：． 33．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上找一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析； (2)7 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：的面积； （3）解：如图，点P即为所求． 34．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； (3)在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于x轴对称点的特点写出点的坐标即可； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：画出关于y轴对称的图形，如图所示， 翻折后点A的对应点的坐标是：； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为； （3）解：所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）如图所示． ，，． 题型八 在平面直角坐标系中求图形的面积（共5小题） 36．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，结合图形求解是解题关键． 根据网格及坐标系求解三角形的面积即可． 【详解】解：三角形的面积为：， 故答案为：20． 37．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 38．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 40．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 题型九 平面直角坐标系中的新定义型问题（共5小题） 41．（24-25七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为_________； (2)若点的长距为4，且点C在第四象限内，点是“完美点”，求a，b的值． 【答案】(1)2 (2)或， 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点C在第四象限内，，求出的值，根据完美点的定义，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）∵点的长距为4，且点C在第四象限内， ∴，， ∴， ∴； ∵点是“完美点”， ∴， ∴或． 42．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①则点A的“长距”是_____； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，求m的值． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①4；②2或10 (2)1或2 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，点的坐标，根据题意进行分类讨论，掌握解方程的方法是解题的关键． （1）①根据新定义直接写出点A的“长距”即可； ②根据新定义得出m的等式，解得m的值即可； （2）分情况讨论，得到关于m的等式，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，， ∴点A的“长距”是4， 故答案为：4； ②由题意得， ∴， ∴， ∴或10； （2）解：到x轴的距离为，到y轴的距离为2， 到x轴的距离为，到y轴的距离为4， ①当时，即， ∴，， ∴或， 当时，满足题意， 当时，，舍去， ∴； ②当时，，即 ∴或， 由得，此时，满足题意， 由得，，此时，舍去， ∴； 综上所述，k的值为1或2． 43．（24-25七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点” (1)点的“长距”为_________； (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若的长距为7，且点C在第三象限内，点D的坐标为，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义，即可获得答案； （2）根据“角平分线点”的定义可得，求解即可获得答案； （3）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）∵点的长距为7，且点C在第三象限内， ∴，解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 44．（23-24七年级下·湖北黄石·期中）平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出定义：若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P、Q两点互为“等差点”，例如，点到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于1，点到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于1，则P与Q互为“等差点”． 完成问题： (1)已知点，请写出点A的等差点，他们分别是__________．（要求写出两个）． (2)若点与点互为“等差点”，求点N的坐标． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)或 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解“等差点”的定义是解题关键． （1）根据“等差点”的定义求解即可； （2）根据“等差点”的定义列绝对值方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：点到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于， 点A的等差点是、， 故答案为：、； （2）解：点到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于，且与点互为“等差点”， ， 解得：或， 点N的坐标为或． 45．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得． 【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设 依题意，得方程组 ． 解得． ∴点； （3）解：设，则的坐标为． ∵平行于y轴 ∴ 即， 又∵， ∴． ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长度为． ∴线段的长为． 根据题意，有， ∴． ∴． ∴k的值为和 题型十 平面直角坐标系中的动点面积问题（共5小题） 46．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知中，，，，点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，关键是要注意M的坐标有两种情况． （1）由A、B的坐标，得到，求出； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，求出，得到，设M的坐标是，得到，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：，，A、B两点间的距离等于6个单位长度， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G， 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 47．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 48．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点作轴于点． (1)求三点的坐标； (2)如图②，若过点作交轴于点．且，分别平分．求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查的是三角形的综合应用，涉及到坐标与图形性质，平行线的性质，非负数的性质：偶次方与算术平方根，角平分线的定义，直角坐标系中求三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出辅助线，掌握割补法求面积． （1）先依据非负数的性质可求得、的值，从而可得到点和点的坐标，接下来，再求得点的坐标即可； （2）过作，首先依据平行线的性质可知，，接下来，依据平行公理的推理可得到，然后，依据平行线的性质可得到，，然后，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （3）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ，，． （2）解：轴，， ，，， 过作，如图所示： ， ， 、分别平分、， ，， ； （3）解：存在．理由如下： 当在轴正半轴上时，如图． 设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，． ， ， ． 解得，即点的坐标为； 当在轴负半轴上时，如图作辅助线， 设点，则，，． ， ． 解得，即点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 49．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)填空： ______， ______，点坐标为______． (2)如图，若点在第四象限内，请用含的式子表示四边形的面积； (3)如图，点是线段上一个动点． ①连接，求、满足的关系式； ②过点作直线轴，在上取点，使得，若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握割补法求解不规则图形面积是本题解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性求解，，然后根据平移与坐标的变化求解点坐标即可； （2）采用割补法，根据三角形面积公式求解四边形的面积； （3）①根据的面积等于的面积加的面积求解，的关系式即可； ②根据与的位置分类讨论，采用割补法求解的面积，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 轴， ， 当和原点重合时，向下平移两个单位，向左平移个单位， ； 故答案为：，，； （2）解：； （3）解：①在线段上， ，， ， ， ； ②过作轴于，令直线交轴于，如图： 当在点左侧时， ，轴， ， ， ， ， ，， ； 当在点右侧时， ， ， ， ，， ； 综上所述，或． 50．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，， (1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)点P是直线上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，， ①如图2，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； ②若P在直线上运动，请直接写出、、的数量关系． 【答案】(1)， (2)或或或． (3)①②当点P在直线的延长线上时，，当点P在直线的延长线上时， 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． （1）由绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解； （2）先求出，分点在轴上与在轴上两种情况考虑即可． （3）①过点作，得出，则，证明，结合，，即可证明； ②分两种情况，当点P在直线的延长线上时，当点P在直线的延长线上时，利用平线的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， （2）解：存在，理由如下： 由平移知，，，， ∴，， ； ①当点在轴上时， 设点坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点在轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点的坐标为或或或． （3）解：①， 证明如下： 如图，过点作， ， 点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ， 而，， ， ； ②如下图，当点P在直线的延长线上时，过点P作， 则， 由平移的性质可知， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点P在直线的延长线上时，过点P作， 同上，可知， ∴，， ∵ ∴． 综上：当点P在的延长线上时，，点P在的延长线上时，． 题型十一 平面直角坐标系中点的规律探究问题（共5小题） 51．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，……请观察图形，写出点的坐标为： ；按此运动规律，则  点的坐标为： ． 【答案】 【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律问题，观察数据，找到横纵坐标的规律是解题的关键．根据，，，…，得出，即可得出的坐标． 【详解】解：观察可知：，，，， ∴， ∵， ∴的横坐标为675，即点， 故答案为：；． 52．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，……，根据这个规律探索可得，第2025个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第2025个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵，， ∴第2025个点在第64列上， ∴奇数列的坐标为 ； 偶数列的坐标为 ， ∴第2025个点在第64列自上而下第55行， ∴第2025个点为）即， 故答案为：． 53．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 54．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 55．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． $