专题08 一次函数的应用问题（8大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08一次函数的应用问题 题型归纳·内容导航 题型1一次函数的应用之分配方案问题 题型5一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2一次函数的应用之最大利润问题 题型6一次函数中折叠的综合问题（常考点） 题型7一次函数中的新定义型综合问题（难 题型3一次函数的应用之行程问题（重点） 点) 题型4一次函数的应用之几何问题 题型8一次函数中分段函数探究问题（难点） 题型通关•靶向提分 题型一一次函数的应用之分配方案问题（共3小题） 1.(24-25八年级上·河南郑州期中)学校今年“十一”期间要组团去北京旅游.与旅行社联系时，甲旅 行社提出每人次收300元旅行费，不优惠.乙旅行社提出每人次收350元旅行费，但有3人可享受免费待 遇，若不超过3人则正常按人次收费， )分别写出甲、乙两旅行社的收费””与旅行人数之间函数关系式： (2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？ (3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？ 2.(24-25八年级上·陕西西安·期中)书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、 结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容.某校为准备举行现场书法 大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购 买毛笔600支，购买宣纸x张(x>600),该超市给出以下两种优惠方案. 方案A:购买一支毛笔，赠送一张宣纸： 方案B:毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折. 设方案4的总费用为”元，方案B的总费用为”元。 )请分别求出”，”与x之间的函数关系式. (2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由. 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25八年级上·河南郑州期中)灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一.古朴典雅，款式 多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受.李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店 的标价都是每个10元.两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x(个)，甲商店所需费用为” 元，且片=7x+100 乙商店所需费用为”元 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 不购买会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的九折 每个灯彩可按标价的七折 卖 卖 ()甲商店一张会员卡的价格为元： (2)求的函数表达式： (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由. 题型二一次函数的应用之最大利润问题（共3小题） 4.(24-25八年级下·吉林长春·期中)某文具店准备购进A、B两种型号的文具一共100件，两种文具的进 价和售价情况如下表： 型号价格 A型号文具 B型号文具 进价（元/件） 9 15 售价（元/件） 13 22 ()求该文具店将这两种文具全部售完后，获得利润w(元)与购进A型号文具数量x(件)之间的函数关 系式.（注：利润=售价一进价） 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若这两种文具全部售完后恰好获利580元，求购进A型号文具的数量： (3)根据市场需求，若购进的A型号文具数量不少于B型号文具数量的3，则两种文具全部售完后，可获最 大利润为 元. 5.(24-25八年级上·宁夏银川期中)某经销商销售一种燃气加热器.如图，射线OA反映了该加热器的销 售收入片（元）与销售量”（台）的关系：射线BC反映了该加热器的销售成本”（元）与销售量“ (台)之间的关系，其中x≥0，根据图象解答下列问题： 以元个 12000 10000 B 2000 20 x/台 (I)射线OA对应的函数表达式为： 射线BC对应的函数表达式为： (2)图象中射线OA与射线BC的交点P的坐标为，点P坐标表示的实际意义是 (3)若该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利多少元？ 6.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试)2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸 易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业 参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健 公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型 器材每台50万美元. 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 B型医疗器材 0.8 0.9 ()求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台： (2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运 费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台(5≤x≤15)，求总运费为y(万美元)关于x的函数关系 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元 题型三一次函数的应用之行程问题（共3小题） 7.(25-26八年级上·全国·期中)京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长约1300km，两列高铁先后 从北京南站开往上海虹桥站，先出发的甲列车的速度为260km/h,后出发的乙列车的速度为325km/h, 行驶一段路程后，乙列车突然发生故障，需要在沿途的车站就近停靠检修，检修完成后继续行驶，己知甲 列车比乙列车早出发半个小时（全程均按匀速行驶），两列高铁和北京南站之间的距离y(单位：km) 与甲列车行驶的时间x(单位：h)之间的关系如图所示. y/km个 1300 00.5 (1)乙列车出发多久后追上甲列车？ (2)若乙列车检修耗时54in,且保持原速度前往上海虹桥站，求甲列车比乙列车早多久到达上海虹桥站； (3)在(2)的条件下，当甲列车到达上海虹桥站时，求乙列车与上海虹桥站之间的距离 8.(24-25八年级下·江西宜春·期中)李明和姐姐同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以250m/min 的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以am/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行， 两人骑行的路程y(m)与时间x(in)的关系如图所示.请结合图象，解答下列问题： Ay/m CD 5100-------- 2500---- A /B b c 25x/分钟 (1)a= b= (2)求线段BC所在直线的解析式： (3)若姐姐的速度是180m/min,求姐弟两人第二次相遇时离家的距离； 9.(24-25八年级下·吉林长春期中)在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间.甲 车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1(h)后按原路原 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速驶往B地，结果乙车比甲车早1（到达B地，甲、乙两车各自距B地的路程km与甲车行驶时间 山)之间的函数图象如图所示· y(km) 1200- 800 a b x(h) (I)a的值为_；乙车的速度为■ km/h (2)求b的值. (3)求乙车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (4)在两车行驶的过程中，当两车距C地的路程相同时，直接写出甲车行驶的时间. 题型四一次函数的应用之几何问题（共3小题） 10.(23-24七年级下·贵州六盘水·期中)如图，△ABC的高AD=8cm,BC=11cm,点E在BD上，连接 E.设CE的长为cm,△ABE的面积为川cm) ,解答下列问题： B ()求y与x之间的关系式： (2)若CD=6cm,当x为多少时，△ABE的面积比△ADE的面积大4cm2？ 11.(24-25八年级下·重庆江津期中)如图，在Rt△ABC中，AC=4,BC=5,动点P从点B出发，沿 折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x,△APB的面积为 y.请解答下列问题： 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 87 6 5 4 3 2 P C 012345678910 (I)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围： (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； y23 (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过02）· 12.(24-25八年级下重庆期中)如图1，在Rt△ABC中，DB=90°，AB=6,BC=4,点P以每秒1个 单位的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止.连接PC,设点P的运动时间为0<x<10) △ACP的面积为y. 12 10 87 5 4321 B 0123456789101112x 图1 图2 ()直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2中画出(1)中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质： (3)若直线y=3x+与(2)中的函数图象有两个交点，直接写出，的取值范围. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五一次函数与三角形的面积问题（共3小题） 13.(24-25八年级下·湖南长沙期中)已知直线 :y=2 和直线5y=r+6 图象如图所示， (I)求点A,B的坐标： ②已知直线和直线相交于点C,求△A0C的面积. 3 14.(24-25八年级下河南信阳期中)如图，已知点4m,-2m+2)在正比例函数y=一2x的图像上，过点 A作AB⊥x轴交于点B. B (1)求m的值： A'-m,2m-2) (2)判断 在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P,使得△AOP的面积是△AOB面积的2？若存在，求出点P的坐标：若不存在， 请说明理由。 15.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x 轴负半轴交于点B,与y轴正半轴交于点A,A点坐 0,2),三角形4B0的面积是4. 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A 0 B 图1 图2 图3 (I)求点B的坐标； ②点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标0，m,连接BC,点E是x轴正半轴 上一点，且OE=2AC,连接AE. ①如图2，若三角形ABE的面积是8，求m的值： ②如图3，点F是线段BO上一点（点F与点B,点O不重合），连接AP,CF,当四边形ACBF的面积 与三角形AFE的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形ACF的面积，并说明理由. 题型六一次函数中折叠的综合问题（共2小题） 16。(24-25八年级上福建三明期中)如图，直线y=-年x 一3x+4与坐标轴相交于AB两点，将。ABO沿过 点A的直线折叠，使点B与x轴上的点C重合，折痕为AD. B A 0 (1)求点A、B的坐标： (2)求折痕AD所在直线的解析式： )若点n为直线46上的-点，且Sm Sa0,求点n的坐标 4 17.(24-25八年级上~山东青岛期中)如图，在平面直角坐标系x0中，直线y=3r+4与x轴y轴分别 交于点A,B,点D在y轴的负半轴上.若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处. 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求AB的长： (2)求点C和点D的坐标： 日在y鞋上是否行在一点户，使得S。吉52若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，诗说明理 由. 18.(24-25八年级上·海南海口·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点 A3,0)B(0,4) ,点C在'轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点 D处. B A (I)AB的长为，点D的坐标是；直线BE与直线CD的位置关系是： (2)求点C的坐标； 1 (③)点M是y轴上一动点，若Saw一2S0,求出点M的坐标： (4)在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 题型七一次函数中的新定义型综合问题（共2小题） 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19。(24-25八年级下四川成都期中)在平面直角坐标系0。 0中，直线：y=-2x+6 x轴，y轴分别交 于C,B两点.点4(m”川是直线上的动点，定义：直线：y=m+”为直线关于点(m,m的关联直线. B B OR C 图1 图2 (①当m=时，直线的关联直线为一： y=2x ∠BCP=∠OBC (2)如图1，在直线 上求点P,使得 (3)①试证明直线经过定点M,并求出M点的坐标： ②如图2，已知点R1,0关于直线的对称点为Q,连接CM、0,当∠CM0=90时，求点A的坐标 20.(23-24八年级上四川成都期中)点P、点P和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义： 若Pg=P'9,且∠POP'=90°，则称P'为点P关于点的等垂点. y=x+2 2 y=2 1 4321P1234 4Q234 43291234 2 3 伊 图2 图3 (2,0) (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P的坐标 ②如图2，尸为'轴上一点，且点关于点的等垂点P恰好在一次函数 y=x+2 D 的图象上，求点的坐 标 10/12专题08 一次函数的应用问题 题型1 一次函数的应用之分配方案问题 题型5 一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2 一次函数的应用之最大利润问题 题型6 一次函数中折叠的综合问题（常考点） 题型3 一次函数的应用之行程问题（重点） 题型7 一次函数中的新定义型综合问题（难点） 题型4一次函数的应用之几何问题 题型8 一次函数中分段函数探究问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数的应用之分配方案问题（共3小题） 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学校今年“十一”期间要组团去北京旅游．与旅行社联系时，甲旅行社提出每人次收300元旅行费，不优惠．乙旅行社提出每人次收350元旅行费，但有3人可享受免费待遇，若不超过3人则正常按人次收费． (1)分别写出甲、乙两旅行社的收费与旅行人数之间函数关系式； (2)如果组织20人的旅行团时，选哪家旅行社比较合算？ (3)如果你是这次旅游的负责人，你会怎样根据出行人数选择旅行社？ 【答案】(1)， (2)选乙旅行社比较合算，理由见解析 (3)当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超过3人且少于21时，选择乙旅行社比较合算． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种收费方法的组成是解题的关键． （1）根据甲旅行社的收费方案写出与x的函数关系；分和两种情况写出与x的函数关系式； （2）把分别代入函数关系式计算，然后判断即可； （3）分情况讨论，列出不等式或方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：甲：； 乙：当旅行人数时，，当旅行人数时，， 综上所述：，； （2）解：当时，元，， ∵， ∴如果组织20人的旅行团时，选乙旅行社比较合算； （3）解：当时，由于，则甲旅行社合算； 当时：①当，即 时， 解得， 所以当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算； ②当，即时， 解得， 所以当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同； ③当，即时， 解得， 所以当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算． 综上所述，当旅行人数不超过3时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数超过21人时，选择甲旅行社比较合算；当旅行人数为21人时，选择甲、乙旅行社所需费用相同；当旅行人数超过3人且少于21人时，选择乙旅行社比较合算． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． (1)请分别求出，与x之间的函数关系式． (2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案B更划算．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案A：； 方案B：． （2）解：若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算 当时， 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴， ∴若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 题型二 一次函数的应用之最大利润问题（共3小题） 4．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某文具店准备购进A、B两种型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表： 型号价格 A型号文具 B型号文具 进价（元/件） 9 15 售价（元/件） 13 22 (1)求该文具店将这两种文具全部售完后，获得利润w（元）与购进A型号文具数量x（件）之间的函数关系式．（注：利润售价进价） (2)若这两种文具全部售完后恰好获利580元，求购进A型号文具的数量． (3)根据市场需求，若购进的A型号文具数量不少于B型号文具数量的，则两种文具全部售完后，可获最大利润为________元． 【答案】(1) (2)购进A型号文具40件 (3)625元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于两种文具的利润之和，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值即可； （3）根据购进的A型号文具数量不少于B型号文具数量的，求出的范围，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，； （2）∵， ∴当时，解得：； 答：购进A型号文具40件； （3）由题意，得：， 解得：， ∵，， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最大值为； 故答案为：625． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）某经销商销售一种燃气加热器．如图，射线反映了该加热器的销售收入（元）与销售量（台）的关系；射线反映了该加热器的销售成本（元）与销售量（台）之间的关系，其中，根据图象解答下列问题： (1)射线对应的函数表达式为_____；射线BC对应的函数表达式为_____； (2)图象中射线与射线的交点的坐标为_____，点坐标表示的实际意义是______； (3)若该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利多少元? 【答案】(1)，； (2)，当销售量为台时，销售成本与销售收入相等； (3)元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能够利用待定系数法求出函数解析式． （1）直接利用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组即可求出两直线的交点坐标，结合图象说明交点的实际意义； （3）根据利润=销售收入﹣销售成本列出利润函数关系式，根据销售此加热器35台，求出利润． 【详解】（1）解：（1）设射线对应的函数表达式为， 将代入得：， 解得 ， ∴， 设射线对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴， 故答案为：，； （2）联立方程组， 解得， ∴图象中射线与射线的交点的坐标为， 此时点坐标表示的实际意义是当销售量为台时，销售成本与销售收入相等； （3）设销售利润为，根据题意得：， 当时，， 该经销商10月份销售此加热器35台，则10月份获利5000元． 6．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． (2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 【答案】(1)该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材 (2)y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键． （1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组； （2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【详解】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ， 解得：， 答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． （2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台， ∴， 整理得：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 题型三 一次函数的应用之行程问题（共3小题） 7．（25-26八年级上·全国·期中）京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长约，两列高铁先后从北京南站开往上海虹桥站，先出发的甲列车的速度为，后出发的乙列车的速度为，行驶一段路程后，乙列车突然发生故障，需要在沿途的车站就近停靠检修，检修完成后继续行驶，已知甲列车比乙列车早出发半个小时（全程均按匀速行驶），两列高铁和北京南站之间的距离（单位：）与甲列车行驶的时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)乙列车出发多久后追上甲列车？ (2)若乙列车检修耗时，且保持原速度前往上海虹桥站，求甲列车比乙列车早多久到达上海虹桥站； (3)在（2）的条件下，当甲列车到达上海虹桥站时，求乙列车与上海虹桥站之间的距离． 【答案】(1)乙列车出发后追上甲列车 (2)甲列车比乙列车早到达上海虹桥站 (3)当甲列车到达上海虹桥站时，乙列车与上海虹桥站之间的距离为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用． （1）设乙列车出发x小时后追上甲列车，根据甲列车比乙列车早出发半个小时，及甲列车和乙列车的速度列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙列车检修完成后继续行驶的过程中关于的函数关系式为，根据乙列车检修耗时，得出的图象经过点，利用待定系数法求出函数解析式，再分别求出甲列车和乙列车到达上海虹桥站所用的时间，再相减即可得出答案； （3）将代入（2）中的函数解析式，得出乙列车已行驶，再由得出答案． 【详解】（1）解：设乙列车出发x小时后追上甲列车， 根据题意，得：， 解得， 答：乙列车出发后追上甲列车； （2）解：设乙列车检修完成后继续行驶的过程中关于的函数关系式为， 因为乙列车检修耗时， 所以乙列车重新出发时甲车已行驶， ， 即的图象经过点， 将代入，得， 解得， 所以乙列车检修完成后继续行驶的过程中关于的函数关系式为， 当时，即， 解得， 因为， 所以甲列车到达上海虹桥站， 所以， 所以甲列车比乙列车早到达上海虹桥站； （3）解：由（2）可知，当甲列车到达上海虹桥站时，， 此时， 即乙列车已行驶， 所以， 答：当甲列车到达上海虹桥站时，乙列车与上海虹桥站之间的距离为． 8．（24-25八年级下·江西宜春·期中）李明和姐姐同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以250的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（）的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题： (1)　　　　　，　　　　　； (2)求线段所在直线的解析式； (3)若姐姐的速度是180，求姐弟两人第二次相遇时离家的距离； 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由函数图象分析即可求解； （2）求出点坐标，使用待定系数法求解； （3）求出线段函数解析式与线段所在直线的解析式联立求出时间，再求出距离即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则， ∴， 故答案为：；； （2）解：设线段所在直线的解析式：， 则代入， 则， 解得：， ∴线段所在直线的解析式为：； （3）解：∵姐姐的速度是180，家到绿博园的距离为， 则姐姐到达到绿博园的时间为， ∴， 设线段函数解析式为， ∴， ∴， ∴线段函数解析式为， 则联立， 解得：， ∴ ∴姐弟两人第二次相遇时离家的距离为． 9．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1（）后按原路原速驶往B地，结果乙车比甲车早1（h）到达B地，甲、乙两车各自距B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示． (1)a的值为______；乙车的速度为______． (2)求b的值． (3)求乙车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (4)在两车行驶的过程中，当两车距C地的路程相同时，直接写出甲车行驶的时间． 【详解】（1）解：乙车在地停留，图象中停留对应到，故， ． 、距离为，乙车从到用时， 乙车速度． （2）解：甲车行驶全程；乙车行驶路程为，乙车速度且停留，则乙车总用时． 因乙车比甲车早到地，设甲车用时，则， ． （3）解：乙车从出发时，距地；到达地时，距地． 设函数关系式为，代入、得： 两式相减：，． 代入：，． 故函数关系式为． （4）解：甲车速度，、距离，分阶段讨论： 乙车从到（）： 甲车距地路程，乙车距地路程， 令，，． 乙车从到（）： 乙车距地路程，甲车距地路程（）， 令，，． 当乙车从A地驶向C地、甲车从C地驶向B地的过程中， 甲车距C地的距离为千米， 乙车距C地的距离为千米， 两车距C地的距离相同时，得，解得； ∴当两车距C地的路程相同时，甲车行驶的时间为或或． 题型四 一次函数的应用之几何问题（共3小题） 10．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）如图，的高，，点在上，连接．设的长为，的面积为，解答下列问题： (1)求与之间的关系式； (2)若，当为多少时，的面积比的面积大？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系． （1）表示出线段的长，根据三角形的面积公式作为等量关系即可求解； （2）表示出两个三角形的面积，利用面积之差为即可求解． 【详解】（1）解：，的长为， ， 的高， 的面积， 与之间的关系式为：； （2）解：， ， 的面积， 的面积比的面积大， ， 解得：， 当时，的面积比的面积大． 11．（24-25八年级下·重庆江津·期中）如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】(1)，图象见解析 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)（答案不唯一，误差范围不超过） 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式，求出当时的值，可以帮助结合图象判断． 【详解】（1）解：当时，点在上，， 当时，点在上，， 综上，， 函数的图象如图所示， （2）当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）令，得，令，得， 当时，结合图象观察可知x的取值范围为（答案不唯一，误差范围不超过）． 12．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y．    (1)直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴ （2）如图即为为所求，    当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小， （3）如图，当，直线与（2）中的函数图象有两个交点 题型五 一次函数与三角形的面积问题（共3小题） 13．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知直线和直线的图象如图所示， (1)求点A，B的坐标； (2)已知直线和直线相交于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查了一次函数的几何综合，与坐标轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图象，把代入，得出，把代入，得，即可作答． （2）建立方程组，算出点C的坐标，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， ∴． （2）解：依题意，， 解得： ， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图，已知点在正比例函数的图像上，过点A作轴交于点B． (1)求m的值； (2)判断______在函数图像上（填“是”或“否”）； (3)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)是 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，三角形的面积． （1）把点代入正比例函数解析式即可求出m的值； （2）将代入得，再将代入得，即可得出结论； （3）先根据已知求出，再设点，则，，进而得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入得，， ∵， ∴是在函数图像上， 即是在函数图像上， 故答案为：是； （3）解：∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， 假设在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，设点，则， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， 即在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的，点P的坐标为或． 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 题型六 一次函数中折叠的综合问题（共2小题） 16．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，直线与坐标轴相交于、两点，将沿过点的直线折叠，使点与轴上的点重合，折痕为． (1)求点、的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若点为直线上的一点，且，求点的坐标 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) (3)或 【分析】此题考查了坐标与图形、勾股定理、一次函数和几何综合等知识． （1）当时，，当时，，解得，即可求出点A、B的坐标； （2）求出，，设点，则，，在中，由勾股定理得，，求出，得到，利用待定系数法即可求出折痕所在直线的解析式； （3）设点P的坐标为，则，由，，得到，解得或，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∵直线与坐标轴相交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴由勾股定理得， 由折叠可知，， ∴， 设点，则，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 设折痕所在直线的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴折痕所在直线的解析式为； （3）设点P的坐标为， 则， ∵，， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 17．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标； （3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 令，则， ， ， 令，则， 解得， ， ， 在中，； （2）解：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （3）解：， ， 点在轴上，， ， 即， 解得， 点点上方或点下方， 点的坐标为或． 18．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 题型七 一次函数中的新定义型综合问题（共2小题） 19．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于两点．点是直线上的动点，定义：直线为直线关于点的关联直线． (1)当时，直线的关联直线为______； (2)如图1，在直线上求点P，使得； (3)①试证明直线经过定点M，并求出M点的坐标； ②如图2，已知点关于直线的对称点为Q，连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①证明见解析，；②或 【分析】（1）利用代入法和关联直线的定义即可解答； （2）如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使，计算可得，设，则，根据勾股定理可得a的值，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立方程得，即可解答；如图2，与平行时，符合条件，即可解答； （3）①先根据代入法可得，则，过定点M，即当m无论为任何值时， ，即可解答； ②当时，存在两种情况：如图2和图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，先证明，确定点Q的坐标，根据中点坐标公式可得的中点G的坐标，确定的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：当时，即， ∴直线的关联直线为：； 故答案为：； （2）解：分两种情况： ①如图1，在上取一点E，连接，交直线于点P，使， ∴， 在直线中， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②如图2，∵ ， ∴， ∴P点横坐标为3， ∴P点纵坐标为， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：①∵点是直线上， ∴， ∴直线， ∴直线经过定点， ∴M点的坐标为； ②当时，存在两种情况： 情况一：如图3，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G，交y轴于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的中点G的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴的解析式为：， ∴； 情况二：如图4，过点M作轴于F，过点Q作于点D，连接，设交直线于点G， 同理可得：， ∴， 同理可得， ∴的中点G的坐标为， 同理可得：的解析式为：， ∴； 综上，点A的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是分类讨论． 20．（23-24八年级上·四川成都·期中）点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，若点为原点， ∴ 轴， 关于的等垂点的坐标为或． 故答案为：或 ②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴ 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在△和中， ， ， ∴ ， ， ∴ Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， 同Ⅰ可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）有最小值，最小值为，理由： 过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则， 当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型八 一次函数中分段函数探究问题（共2小题） 21．（24-25八年级下·福建福州·期中）把一次函数（为常数，）在轴下方的图象沿轴向上翻折，与原来在轴上方的图象组合，得到一个新的图象，这个新的图象即为函数的图象．例如：如图1就是函数的图象． (1)请在图2中画出函数的图象，并直接写出该图象与轴交点的坐标是_____； (2)在（1）的条件下，若直线与函数的图象相交于两点，求的面积； (3)函数（为常数）的图象经过两点，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2)2 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的增减性与对称性等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得，再求出当时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：和，求出点的坐标，再利用割补法求出面积即可得； （3）先求出函数经过定点、与轴的交点为，对称轴为直线，再分两种情况：和，结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，， 当时，， 则在图2中画出函数的图象如下： 则该图象与轴交点的坐标是， 故答案为：． （2）解：如图，由（1）可知，， 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 当时，设两个函数图象的交点为点， 联立，解得，即，符合题设； 则的面积为． （3）解：由题意可知，为常数，且， 将代入函数得：， ∴函数经过定点， 当时，，解得， ∴这个函数与轴的交点为，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ①如图，当时， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数图象可知，点离对称轴更远， ∴，整理得， ∴， ∴或， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，这个函数的对称轴为直线， ∵函数（为常数）的图象经过两点，且， ∴由函数的增减性可知，此时始终有； 综上，的取值范围为或． 22．（24-25八年级下·北京·期中）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为______； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： ①当______时，函数有最大值，最大值为______； ②写出该函数的其它性质(写一条即可)______； (3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题： 若点与都在函数的图象上，总有，则m的取值范围为______． 【答案】(1)①②作图见解析③作图见解析 (2)①；2②函数图象关于直线对称(答案合理即可) (3)或 【分析】本题考查了描点法作图、函数的性质、利用函数的增减性求参数的取值范围等，数形结合是解题的关键． （1）根据表格，得出当时，，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函数图象，注意点为转折点； （2）①找到图中最高点，可得结果；②可从函数对称性，增减性方面描述； （3）先将点关于直线对称，得对称点，再根据点与直线的位置关系分类讨论， 由，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出的取值范围． 【详解】（1）由表可知，当时，，代入解析式， 可得， 描点，连线如下图所示： （2）①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称； （3）由图知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 又函数图象关于直线对称， 点关于直线的对称点也在函数图象上， 当点在直线左侧时，点在直线右侧， ，， 由得，或 ，解得或， 或； 当点在直线右侧时，点在直线左侧， ，， 由得，或，解得或， ； 当点在直线上时，，，， ，，有，符合题意； 综上可知，当或时，总有. $