经典模型专题9 全等三角形的常考模型-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

.△ABO≌△ADO(AAS), ∴.BO=DO. 5.解：(1)证明：，AC=BD, ..AC-CD=BD-CD,..AD=BC. (∠A=∠B, 在△ADF和△BCE中，∠F=∠E, AD=BC, .△ADF≌△BCE(AAS). (2)60 6.证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°， .∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. AE⊥BC,.∠AEC=90°， .∠DAF=∠AEC+∠C=110°， ∴.∠DAF=∠CAB. (AD-AC, 在△DAF和△CAB中，∠DAF=∠CAB, AF=AB, ,∴.△DAF≌△CAB(SAS),∴.DF=CB. 7.证明：如图，连结BC. (AB=DC. 在△ABC与△DCB中，AC=DB, BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(SSS),∴.∠A=∠D. 8.证明：，BE⊥AC,CF⊥AB, ∴.∠BEA=∠CFA=90°， ∴.∠EAF+∠ABD=90°，∠EAF+∠PCA=90°， .∠ABD=∠PCA. (AB=PC, 在△ABD和△PCA中，∠ABD=∠PCA, BD=CA, .△ABD≌△PCA(SAS). 9.解：(1)证明：∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.△ADE和△ABC都是直角三角形，且∠ACB= ∠AED=90°. (AD=AB, 在Rt△ADE和Rt△ABC中， AE=AC, ∴.Rt△ADE≌Rt△ABC(HL),∴.DE=BC. (2)4 经典模型专题9全等三角形的常考模型 1.解：(1)证明：：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE, 即∠1=∠BAE. (AB-AC, 在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠1， AE-AD, ·答 ∴.△ABE≌△ACD(SAS). (2)55 2.解：(1)证明：：△ADC与△EDG均为等腰直角三 角形，∴AD=CD,GD=DE,∠CDA=∠GDE, ∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG, ∴.∠ADG=∠CDE, ∴.△ADG≌△CDE(SAS). (2)AG=CE且AG⊥CE.理由略 3.(1)SAS(2)全等三角形的对应边相等 (3)存在(2)中的结论，理由略 (4)a理由略 4.证明：(1)：∠BED=180°-∠B-∠BDE, ∠FDC=180°-∠EDF-∠BDE,∠EDF=∠B, ∴∠BED=∠FDC. ∠B=∠C, (2)在△BDE与△CFD中，∠BED=∠CDF, DE=FD, ∴.△BDE≌△CFD(AAS),∴.BE=CD. 5.解：(1)证明：∠AFC=180°-∠2，∠BEA= 180°-∠1，且∠1=∠2，∴∠AFC=∠BEA. ∠2=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠CAF+ ∠BAE,且∠2=∠BAC,∠ACF=∠BAE. 「∠ACF=∠BAE, 在△ACF和△BAE中，∠AFC=∠BEA, AC=BA, ∴△ACF≌△BAE(AAS),∴.AF=BE (2)7.4 6.解：(1)证明：DB⊥BC,AE⊥CD, ∴.∠DBC=∠ACE=∠AFC=90°. :∠DCB+∠ACF=90°，∠ACF+∠EAC=90°， ∴∠DCB=∠EAC. ∠DCB=∠EAC, 在△DBC和△ECA中，{∠DBC=∠ECA, DC=EA, .△DBC≌△ECA(AAS),.AC=CB. (2)6cm 7.解：(1)证明：，AD⊥CE,BE⊥CE, ,∴.∠E=∠ADC=90°. 在Rt△BCE和R△CAD中，BE=CD, (BC=CA, ∴.Rt△BCE≌Rt△CAD(HL). (2)0.8 8.解：(1)证明：①AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC+∠ACD=90°. ,∠ACB=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠DAC=∠BCE. |∠CDA=∠BEC, 在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB, AC=CB, 案8· .△ADC≌△CEB(AAS). ②由(1)，知△ADC≌△CEB, ∴.AD=CE,CD=BE. .DE=CE+DC,..DE=AD+BE. (2)3 9.解：如图，过点C作CQ⊥AB于点Q: :DE⊥AB,FG⊥AB,CQ⊥AB, ∴.∠AQC=∠DEA,∠BQC=∠FGB=90°. :∠CAD=∠CBF=90°，∴.∠QAC=∠EDA 90°-∠DAE,∠QBC=∠GFB=90°-∠GBF. ∠QAC=∠EDA, 在△QAC和△EDA中，∠AQC=∠DEA, AC=DA, ∴.△QAC≌△EDA(AAS), .'.AQ=DE. ∠QBC=∠GFB, 在△QBC和△GFB中，∠BQC=∠FGB, BC=FB, .△QBC≌△GFB(AAS), ..BQ=FG, ∴.AB=AQ+BQ=DE+FG. 10.解：(1)证明：∠BAD=90°， ∴.将△ADN绕，点A顺时针旋转90°得到△ABE, 图1所示， .AN=AE,∠DAN=∠BAE. ∠MAN=45°，∴.∠BAM+∠DAN=45°， 即∠BAM+∠BAE=45°， ∴.∠EAM=∠NAM, '.△AEM≌△ANM(SAS), .'.MN=ME=BM+BE=BM+DN. B M 图1 图2 (2)猜想：MN=DN-BM. 证明：如图2，在DC上取一点G,使DG=BM. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD=AB,∠ADG=∠ABM=90°. 又，DG=BM,∴.△ABM≌△ADG(SAS), ,AM=AG,∠MAB=∠GAD. '∠MAN=∠BAM+∠BAN=45°， ∴.∠GAD+∠BAN=45°，∴.∠GAN=45°， 即∠MAN=∠GAN, 又.AN=AN,.△MAN≌△GAN(SAS), ..MN=GN=DN-DG=DN-BM. 11.解：(1)EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE十FD仍然成立. 证明：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连结AG, 记∠GAB为∠1，∠BAD为∠2，∠BAE为∠3. B E :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， ∠ABG=∠D. (AB=AD, 在△ABG与△ADF中，∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ABG≌△ADF(SAS),∴.AG=AF,∠1=∠2， ∴∠1+∠3=∠2+∠3=名∠BAD=∠BAP, ∠GAE=∠EAF. 又AE=AE,∴.△AEG≌△AEF(SAS), ..EG=EF. .EG=BE+BG,..EF=BE+FD. 12.3等腰三角形 1.等腰三角形的性质 1.A2.40°3.20°4.C5.A6.10°7.D8.A 9.75°或30°或120°10.C11.20°12.20° 13.证明：如图，连结AM. ,AB=AC,M为BC的中点， .AM平分∠BAC,∴.∠BAM=∠CAM. AD=AE, 在△ADM和△AEM中，∠DAM=∠EAM, AM=AM, ∴.△ADM≌△AEM(SAS), ∴.MD=ME 14.解：(1)证明：如图，过点P作PM∥BC,则 ∠DPM=∠Q. ,△ABC为等边三角形， △APM是等边三角形， ∴.AP=PM. 答案9·经典模型专题⑨ 类型1“手拉手”模型 1.如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠EAD,∠1=25°，∠2=30° (1)求证：△ABE≌△ACD; (2)求∠3的度数. B 2.如图，△ADC与△EDG均为等腰直角三角形， 连结AG,CE,AG与CE相交于点H,AG与 CD交于点O. (1)求证：△ADG≌△CDE; (2)请判断线段AG和线段CE的关系，并说明 理由 62一本·HDSD版初中数学八年级上册 全等三角形的常考模型 3.[初步感知] 如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连 结AD,BE.小组同学发现： (1)△ACD与△BCE全等，依据是 (填写全等三角形判定定理). (2)线段BE=AD,依据是 [拓展探究] 如图2，△ABC和△CDE都是等腰三角形， AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a, AD,BE相交于点M,连结CM. (3)线段BE与AD之间是否仍存在(2)中的结 论？若存在，请说明理由. (4)∠AMB= (用含α的式子表示)， 并说明理由， 图 图2 类型2“一线三等角”模型 4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在BC, AB,AC上，且∠EDF=∠B=∠C. (1)求证：∠BED=∠FDC; (2)若DE=DF,求证：BE=CD, 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D 在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC. (1)求证：AF=BE; (2)若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为 18,求△CFD的面积. 17 B D 类型3特殊“一线三等角”一“一线三垂 直”模型 6.(2025·广州期中)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AE是边BC上的中线，过点C作CF⊥ AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延 长线于点D,DC=AE. (1)求证：AC=CB; (2)若AC=12cm,求BD的长. 7.如图，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 为D,E,且CD=BE (1)求证：Rt△BCE≌Rt△CAD; (2)若AD=2.4,DE=1.6,求BE的长. E 第12章全等三角形63 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直 线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥ MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到如图1所示的位 置时，求证： ①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE. (2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位 置时，AD=5,BE=2,求线段DE的长 图1 图2 64一本·HDSD版初中数学八年级上册 9.如图，在△ABC中，CA<CB,在线段AC的上 方作等腰直角三角形CAD,∠CAD=90°， AC=AD.在线段BC的下方作等腰直角三角 形CBF,∠CBF=90°，BC=BF.过点D作 DE⊥AB于点E,过点F作FG⊥AB于点G, 探究线段AB,DE,FG之间的数量关系 类型4“半角”模型 10.如图1，点M,N分别在正方形ABCD的边 BC,CD上，∠MAN=45°，连结MN. (1)求证：MN=BM+DN. (2)当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位 置时，线段BM,DN和MN之间有怎样的等 量关系？请写出你的猜想，并证明. B B M 图1 图2 11.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠EAF-2∠BAD.请直接写出线段 EF,BE,FD之间的数量关系： (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B十∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠EAF= D,(10)中的 否仍然成立？请写出证明过程 R 图1 图2 第12章全等三角形65