12.4.1 互逆命题和互逆定理 & 12.4.2 线段垂直平分线-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（华东师大版2024）

12.4逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 A黄 知识分点练 夯基础 B能力综合练 练思维 知识点1互逆命题 7.下列命题中，逆命题是定理的是 () 1.(2025·石家庄42中期中)下列命题的逆命题是真 A.对顶角相等 命题的是 ( B.同角的余角相等 A.若a=2,则a3=8 C.相反数的绝对值相等 B.如果a=b,那么a2=b2 D.等腰三角形的两个底角相等 C.钝角三角形中有两个锐角 8.(教材P103练习T3变式)下列命题中，原命题和逆 D.如果两个角是直角，那么它们相等 命题都是真命题的是 () 2.(2024·宿迁)命题“两直线平行，同位角相等”的 A.如果一个整数的个位数是5，那么这个整数 逆命题是 能被5整除 3.命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题 B.如果|a>b,那么a>b 是 ,该逆命题是 C.如果一个三角形被一条线平分成两个面积相 (填“真”或“假”)命题， 等的三角形，那么这条线为这个三角形的 知识点2互逆定理 中线 4.下列说法正确的是 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 A.命题一定有逆命题 C拓展探究练 提素养、 B所有的定理一定有逆定理 9写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆 C.真命题的逆命题一定是真命题 命题并判断真假，若为真命题，分别写出已知、 D,假命题的逆命题一定是假命题 求证及证明过程， 5.下列定理没有逆定理的是 A.三边分别相等的两个三角形全等 B直角三角形的两个锐角互余 C.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角 三角形全等 D.全等三角形的周长相等 6.定理“同旁内角互补，两直线平行”是否有逆定 理？若有，请写出它的逆定理. 第12章全等三角形77 2.线段垂直平分线 A知识分点练 夯基础。 知识点2线段垂直平分线的判定 5.如图，已知AC=AD,BC=BD,那么() 知识点1线段垂直平分线的性质 1.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA= 3,则PB的值为 () A.3 B.4 C.2 D.无法确定 2.如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线.若 A.CD垂直平分ABB.AB垂直平分CD AB=6,BC=8,则△ABD的周长为() C.CD平分∠ACB D.∠CAD=∠CBD A.6 B.8 C.12 D.14 6.(教材P104练习T3变式)如图，在△ABC中，已知 点D在BC上，且BD十AD=BC,下列说法正 确的是 () B D 第2题图 第3题图 3.(教材P110习题T2变式)如图，在Rt△ABC中， B ∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC A.D是BC的中点 于点D,交BC于点E,∠BAE=10°，则∠C的 B.AD平分∠BAC 度数是 C.点D在AC的垂直平分线上 4.如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB D.点D在AB的垂直平分线上 和AC. 7.(2025·大同平城区期中)如图，在△ABC中， (1)若△APQ的周长为12，求BC的长； AB=AC,D是BC上的一点，O是AD上的一 (2)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数. 点，且OB=OC.若BC=4,则BD的长是 B 8.如图，AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上 的一点，BE与CE是否相等？试说明理由， 78一本·HDSD版初中数学八年级上册 B能力综合练 练思维、 12.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AC的垂直 平分线交BC于点D,连结AD, 9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于 (1)判断△ABD的形状，并说明理由； 点E,交AB于点D,AC的垂直平分线交BC (2)过点A作AE⊥BD于点E,若△ABD的 于点N,交AC于点M.若∠BAC=70°，则 周长是20，求CE的长. ∠EAN的度数为 A.60° B.50° C.40° D.70 第9题图 第10题图 10.(2023·吉林)如图，在△ABC中，AB=AC,分 别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半 径作弧，两弧交于点D,作直线AD交BC于 点E.若∠BAC=110°，则∠BAE的度数为 C拓展探究练 提素养、 度 13,某国际帆船中心要修建一处公共服务设施， 11.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°. 使它到三所运动员公寓A,B,C的距离相等. (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线 (1)若三所运动员公寓A,B,C的位置如图所 DF是线段AB的 ,射线AE 示，请你在图中确定这处公共服务设施的位 是∠DAC的 置（用点P表示）；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. (2)若∠BAC=66°，求∠BPC的度数. 4 C B 第12章全等三角形79∴.∠APE=90°，∴.AD⊥EF 综上，EF=2AD,AD⊥EF. 12.4逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 1.A2.同位角相等，两直线平行 3.如果x2≥1，那么x≥1假4.A5.D 6解：有逆定理.逆定理是“两直线平行，同旁内角互 补”. 7.D8.C 9解：逆命题是“一个三角形两边上的高相等，则这个 三角形是等腰三角形”是真命题， 已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于，点E,且BD=CE. B 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：，BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠BDC=∠CEB=90°. 在Rt△BCD和Rt△CBE中，BC=CB, (BD=CE, .Rt△BCD≌Rt△CBE(HL), ,∴.∠BCD=∠CBE,∴.AB=AC, 即△ABC是等腰三角形. 2.线段垂直平分线 1.A2.D3.40°4.(1)12(2)30°5.B6.c7.2 8.BE=CE.理由略9.C10.55 11.(1)垂直平分线平分线(2)25 12.解：(1)△ABD为等腰三角形. 理由：，AC的垂直平分线交BC于点D, AD=CD,∠C=∠CAD, ∴.∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C. ∠B=2∠C,∴∠ADB=∠B,∴AD=AB, ∴△ABD为等腰三角形. (2)10 13.解：(1)如图，点P即为所求. (2)如图，连结点P和各顶点，以及AC ,PA=PB,∴∠PAB=∠PBA. 同理可得∠PAC=∠PCA. :∠BAP+∠PAC=∠BAC=66°， .∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=132. ,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，∠PAB+ ·答多 ∠PBA+∠PAC+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠BPC=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA= 132°. 3.角平分线 1.B2.33.6 4.证明：BD是∠ABC的平分线， ∠ABD=∠CBD (AB=BC, 在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBD, BD=BD, ∴.△ABD≌△CBD(SAS),∴.∠ADB=∠CDB. PM⊥AD,PN⊥CD,∴.PM=PN. 5.D6.B7.D 8.证明：如图，过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥CD于 点F. SAPAB-SAPCD,AB=CD,PE=PF. PE⊥AB,PF⊥CD,.OP平分∠AOD 9.A10.B 11.解：(1)证明：如图，连结AD,BD. D B DP垂直平分AB,AD=BD. ,DE⊥BE,DF⊥AC,CD平分∠ACE, ∴.∠AFD=∠BED=90°，DE=DF (AD=BD, 在Rt△ADF和Rt△BDE中， DF-DE, ∴.Rt△ADF≌Rt△BDE(HL),∴.AF=BE. (2)2 变式微专题2与角平分线有关的面积问题 1.3：2:42.103.5 方法归纳专题14证明线段相等的基本方法 1证明：∠AED=∠BEC, ∴.∠AED+∠DEC=∠DEC+∠BEC, 即∠AEC=∠BED. .E是AB的中点，∴.AE=BE ∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，AE=BE, ∠AEC=∠BED, ∴.△AEC≌△BED(ASA),∴.CE=DE. 2.证明：.CD⊥AB,.∠BDC=∠CDA=90° :∠ABC=45°，.△BDC是等腰直角三角形， .'BD=CD. 13·