12.4.2 线段垂直平分线（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

2.线段垂直平分线 1．掌握线段垂直平分线的性质与判定．(重点) 2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？ 二、合作探究 探究点一：线段垂直平分线的性质 【类型一】 应用垂直平分线的性质求线段的长 如图，在△ABC中，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（　　） A．10 B．16 C．18 D．26 解析：由线段的垂直平分线的性质可知BD＝AD，所以△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC，则AC=18－8=10.故答案为A. 方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相关转化，从而求出未知线段的长． 【类型二】 应用垂直平分线的性质求角度 如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数． 解析：由题意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分别为AB和AC的垂直平分线可得BD=AD,AE=CE，从而得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B＋∠C，使问题得到解决． 解：∵DF是AB的垂直平分线，∴BD＝AD.∴∠B＝∠DAF.同理可得∠C＝∠EAG. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，∴∠B＋∠C＝80°，∴∠DAF＋ ∠EAG＝80°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°. 方法总结：有线段的垂直平分线时，一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段和角． 【类型三】 线段垂直平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可． 证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE所在直线是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD. 方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等． 探究点二：线段垂直平分线的判定 如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系． 解析：先利用角平分线和垂直证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF. 解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DAE＝∠DAF， ∠AED＝∠AFD＝90°.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF. 方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化． 探究点三：垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合 现有不在一条直线上的A、B、C三座城市． (1)现在A、B两城之间建一水果仓库，使其到A、B两城市之间距离相等，此仓库位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？ (2)在B、C两城之间建一水果批发市场，使其到B、C两城市距离相等，市场的位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？ (3)为减少运费，现将水果批发市场与水果仓库建在同一位置，并分别到三城市距离相等，应如何选址？画图说明． 解析：本题可以把城市、水果批发市场、水果仓库看成是几个点，问题(1)就转化为寻找到A、B两点距离相等的点；问题(2)就转化为寻找到B、C两点之间距离相等的点；问题(3)就转化为寻找到A、B、C三点之间距离相等的点，这样就可以用垂直平分线的知识来解决问题． 解：(1)不唯一，它们在一条直线上，此直线为AB的垂直平分线； (2)不唯一，它们在一条直线上，此直线为BC的垂直平分线； (3)AB、BC两线段的垂直平分线的交点D即为满足要求的位置． 方法总结：利用转化思想，合理地建立模型，是解决实际问题的关键． 三、板书设计 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的判定定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高． 学科网（北京）股份有限公司 $