专题01 一次方程（组）章末题型归纳（专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题03 一次方程（组） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等式的性质应用 1 题型二、一次方程及求方程的解 3 题型三、一元一次方程的解法（常考点） 5 题型四、一元一次方程的应用 7 题型五、二元一次方程组的解法（重点） 13 题型六、二元一次方程组的应用（难点） 17 题型七、三元一次方程组 20 题型八、解一元一次方程的拓展问题 22 题型九、根据二元一次方程组的解求参数 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等式的性质应用 1．根据等式的性质，下列变形不一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．运用等式的性质进行变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．图形□，☆表示两个不为0的数，并且，依据等式的性质，下面等式中（　　）不成立． A． B． C． D． 5．（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 题型二、一次方程及求方程的解 6．已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 7．用代入法解方程组时，由①用表示，再代入到②中，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 8．如果方程和关于x的一元一次方程的解相同，那么的值为（   ） A．1 B．5 C． D．0 9．已知是关于的一元一次方程，则 ． 10．若是关于x的一元一次方程，则 ． 11．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 12．已知关于x的一元一次方程，当方程的解为时，的值为 ． 题型三、一元一次方程的解法 13．解一元一次方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 15．解下列一元一次方程． (1)； (2)． 16．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 17．下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是 ； (2)这位同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)求解此方程． 18．解一元一次方程： (1)． (2)． 题型四、一元一次方程的应用 19．下面是学习一元一次方程的应用时，老师出示的问题和两名同学所列的方程． 一元一次方程的应用问题：货车和客车从A，B两地同时相向而行，货车的平均速度为，客车的平均速度为，两车在离中点处相遇，求A，B两地相距多少千米？ 乐乐同学：． 丽丽同学：． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)乐乐同学所列方程中x表示的实际意义是__________；丽丽同学所列方程中y表示的实际意义是__________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． (3)完成上述问题后，结合你平时的学习经验，就如何利用一元一次方程解决实际问题给同学们提一条建议． 20．甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲每分钟比乙多行200米，两人同时从起点同向出发，经过3分钟，两人首次相遇，此时乙还需跑150米才能跑完第一圈． (1)求甲的速度为多少米分钟？乙的速度为多少米分钟？（应用一元一次方程解决） (2)跑道一圈长　　米； (3)若两人相遇后，甲立即以300米分钟的速度掉头按反方向骑车，乙仍按原方向提速继续跑，经过1.2分钟两人再次相遇，则乙的速度每分钟提高了　　米． 21．一元一次方程的应用：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？ 22．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 题型五、二元一次方程组的解法 23．用代入法解二元一次方程组时，得到结果正确的是（    ） A． B． C． D． 24．解二元一次方程组： 25．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                   第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                               第四步 ∴原方程组的解为 ．                                  第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 26．解二元一次方程组： (1)； (2)． 27．解二元一次方程组 解：由①，得 把③代入②，得…… …… 所以原方程组的解是 青解答以下问题： (1)补充完成方程组的解_________． (2)请你用不同于小聪的方法来解该二元一次方程组． 题型六、二元一次方程组的应用 28．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，设每块长方形地砖的长为，宽为．请求出每块地砖的长与宽．（应用二元一次方程组解决） 29．阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用． 比如解方程组， 解：把②代入①，得，所以． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． 尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！ ． 30．千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区．为了激发学生个人潜能和团队精神，历下区某学校组织学生去千佛山开展为期一天的素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． （1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） （2）某旅行网上成人票价格为28元，学生票价格为14元，若该班级全部网上购票，能省多少钱？ 31．感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（    ） （A），先消去x，再代入求解． （B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解． 探究：利用最简单的方法解方程组； 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______． 题型七、三元一次方程组 32．已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 33．三元一次方程组的解是 ． 34．解下列三元一次方程组： (1) (2) 35．例1．知识点一  解三元一次方程组 解方程组： 题型八、解一元一次方程的拓展问题 36．如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 37.已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 38．定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 题型九、根据二元一次方程组的解求参数 39.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则a，b的值分别为多少？ 40.关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 41.（1）若等式的x，y满足方程组．求的值． （2）求二元一次方程的正整数解． 1．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 4．关于、的二元一次方程组，用代入法消去后，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 5．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．下列方程（组中，①②③④⑤⑥是一元一次方程的是 ，是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ． 7．已知是关于的一元一次方程，则 ． 8．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 9．解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用解得 ． 10．关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 11．若二元一次方程组的解为则的值为 ． 12．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 13．解一次方程（组）. （1）； （2） 14．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得：…第二步 移项，得：…第三步 合并同类项，得：…第四步 系数化1，得：…第五步 (1)上述小蒙的解题过程从第______步开始出现错误，具体的错误是______． (2)请你写出正确的解题过程． 15．问题呈现：为打造足球特色学校，某校专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买甲种品牌的足球25个，乙种品牌的足球50个，共花费4500元，已知_____，求甲、乙两种品牌足球的单价各多少元？ 问题解析：设甲种品牌足球的单价为元，依题意列一元一次方程：． (1)根据解析，问题中横线上的已知条件是_______； (2)小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你用列二元一次方程组的方法求甲、乙两种品牌足球的单价各多少元？ (3)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种品牌的足球共50个，总费用不超过3250元，且购买甲种品牌的足球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？请通过计算说明． 16．解二元一次方程组： 17．列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次方程（组） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等式的性质应用 1 题型二、一次方程及求方程的解 3 题型三、一元一次方程的解法（常考点） 5 题型四、一元一次方程的应用 7 题型五、二元一次方程组的解法（重点） 13 题型六、二元一次方程组的应用（难点） 17 题型七、三元一次方程组 20 题型八、解一元一次方程的拓展问题 22 题型九、根据二元一次方程组的解求参数 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等式的性质应用 1．根据等式的性质，下列变形不一定正确的是（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质． 根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原变形正确； B．若，则，故原变形正确； C．若，则，故原变形正确； D．若，当时，无意义，故原变形错误； 故选：D． 2．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3．运用等式的性质进行变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、如果，当时，那么不成立，该选项变形错误，符合题意； 、如果，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，因为，那么，该选项变形正确，不合题意； 、如果，则，那么，该选项变形正确，不合题意； 故选：． 4．图形□，☆表示两个不为0的数，并且，依据等式的性质，下面等式中（　　）不成立． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由可得，原式不成立，符合题意； B、由可得，原式成立，不符合题意； C、由可得，原式成立，不符合题意； D、由可得，原式成立，不符合题意； 故选：A． 5．（1）若，则，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （2）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ； （3）若，则 ，应用的是等式的性质 ，变形的方法是等式两边 ． 【答案】 1 都减1 3 2 都除以 2 2 都除以2 【分析】题目考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的性质1，2是解题的关键． （1）中应用的是等式的性质1；（2）、（3）中应用的是等式的性质2． 【详解】（1）若，则，应用的是等式的性质1，变形的方法是等式两边同减1； 故答案为：1；都减1； （2）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以； 故答案为：3；2；都除以  ； （3）若，则，应用的是等式的性质2，变形的方法是等式两边同除以2. 故答案为：2；2；都除以2． 题型二、一次方程及求方程的解 6．已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ②符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ③符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ④未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程； ⑤符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ⑥符合含有两个未知数，故不是一元一次方程； 所以一元一次方程有：②③⑤ 故选：C． 7．用代入法解方程组时，由①用表示，再代入到②中，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由①，得， 把③代入②，得． 故选：A． 8．如果方程和关于x的一元一次方程的解相同，那么的值为（   ） A．1 B．5 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．先解方程可得，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：解方程得：， ∵方程和关于的一元一次方程的解相同， ∴， 解得， 故选：C． 9．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 10．若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题需要根据一元一次方程的定义来确定的值．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程只含有一个未知数且未知数的次数为、一次项系数不为是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元一次方程 ∴ 且 ∵ ∴ 或 ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 11．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 12．已知关于x的一元一次方程，当方程的解为时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的解及解一元一次方程，根据题意得到当时，，解一元一次方程即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型三、一元一次方程的解法 13．解一元一次方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程—去分母，方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：方程左右两边乘以， ， ， 故选：． 14．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三；去括号出现变号错误；过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质得出错误的步骤及原因，先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】解：从第三步开始出现错误，具体的错误是去括号出现变号错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 方程两边同时乘以6，去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 所以是原方程的解． 故答案为：三；去括号出现变号错误． 15．解下列一元一次方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，系数化为1即可； （2）方程将小数化成整数，再去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． （2）解：， 变形为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 16．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得． 17．下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是 ； (2)这位同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)求解此方程． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)一，去分母时右边的1没有乘以6 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）变形利用了等式的性质； （2）第一步开始出错，常熟项漏乘最小公倍数； （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解：步骤①去分母的依据是等式的基本性质2； （2）这位同学从第一步开始出错，具体的错误是去分母时右边的1没有乘以6； （3）解： ． 18．解一元一次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，针对方程的特点，灵活应用是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 去分母，得：， 去括号得： 移项得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 题型四、一元一次方程的应用 19．下面是学习一元一次方程的应用时，老师出示的问题和两名同学所列的方程． 一元一次方程的应用问题：货车和客车从A，B两地同时相向而行，货车的平均速度为，客车的平均速度为，两车在离中点处相遇，求A，B两地相距多少千米？ 乐乐同学：． 丽丽同学：． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)乐乐同学所列方程中x表示的实际意义是__________；丽丽同学所列方程中y表示的实际意义是__________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． (3)完成上述问题后，结合你平时的学习经验，就如何利用一元一次方程解决实际问题给同学们提一条建议． 【答案】(1)x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程 (2)；；A、B两地间的路程为540千米 (3)尝试一题多种解法 【分析】本题主要考查了一元 一次方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与进度和时间的关系，一题多解，是解决问题的关键． （1）x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程； （2）分别解两个方程求出AB两地的路程； （3）尝试一题多种解法． 【详解】（1）解：乐乐同学所列方程：中的x是两车相遇时间； 丽丽同学所列方程：中的y是A、B两地到中点的路程； 故答案为：x是两车相遇时间；y是A、B两地到中点的路程； （2）解：乐乐同学解法： 设两车x小时相遇， 则， 解得，， ∴A、B两地的路程为：（千米）； 丽丽同学解法： 设A、B两地到中点的路程为y千米， 则， 解得， ∴A、B两地间的路程为：（千米）； （3）解：尝试一题多种解法． 20．甲、乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲每分钟比乙多行200米，两人同时从起点同向出发，经过3分钟，两人首次相遇，此时乙还需跑150米才能跑完第一圈． (1)求甲的速度为多少米分钟？乙的速度为多少米分钟？（应用一元一次方程解决） (2)跑道一圈长　　米； (3)若两人相遇后，甲立即以300米分钟的速度掉头按反方向骑车，乙仍按原方向提速继续跑，经过1.2分钟两人再次相遇，则乙的速度每分钟提高了　　米． 【答案】(1)甲的速度是350米分钟，乙的速度是150米分钟； (2)600； (3) 【分析】（1）设乙的速度是米分钟，则甲的速度是米分钟，根据题意，列出方程进行计算即可； （2）利用路程等于速度乘以时间，列式计算即可； （3）设乙的速度每分钟提高了米，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）设乙的速度是米分钟，则甲的速度是米分钟，依题意有 ， 解得， 则． 答：甲的速度是350米分钟，乙的速度是150米分钟． （2）由（1）知，乙的速度是150米分钟， 所以跑道一圈长为：（米． 故答案为：600； （3）解：设乙的速度每分钟提高了米， 由题意，得：， 解得：（米． 即：乙的速度每分钟提高了50米． 故答案为：50． 21．一元一次方程的应用：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需几天完成？ 【答案】 【分析】设还需x小时完成，由题意列方程，求解即可． 【详解】解：设还需x小时完成，由题意得 ， 解得x=， （天） 答：还需天完成． 22．规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程______差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于、的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于、的两个方程，联立求解得到、的关系，得出，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即， 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴，整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得， ∴， ∴，即， ∴原式． 题型五、二元一次方程组的解法 23．用代入法解二元一次方程组时，得到结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得， ， 故选：A． 24．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． 根据消元法即可解方程组． 【详解】解：， 由②得：③， ，得： ， ， ∴， 代入①得：， ∴， ∴方程组的解为：． 25．下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)①代入,②三 (2) 【分析】本题考查了用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，掌握两种消元方法是解题的关键． （1）①由解题的第一步可确定消元的方法；②分别对各步进行检查，即可确定错误所在； （2）方程①乘3，再减去方程②，消去y，求得x的值，再求出y的值即可． 【详解】（1）解：①由第一步知，是用代入消元法解二元一次方程组； 故答案为：代入； ②第一步变形正确；第二步代入正确；第三步解方程错误，正确的解应是，导致后面两步都错误； 故答案为：三； （2）解：得：， 解得：； 把代入方程①中，得， 解得：； ∴方程组的解为：． 26．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 27．解二元一次方程组 解：由①，得 把③代入②，得…… …… 所以原方程组的解是 青解答以下问题： (1)补充完成方程组的解_________． (2)请你用不同于小聪的方法来解该二元一次方程组． 【答案】(1) (2)过程见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）由①得，再代入②得到关于的一元一次方程，求解后得到的值，再将的值代入求出的值即可； （2）由①得，然后整体代入②得到关于的一元一次方程，求解后得到的值，再将的值代入求出的值即可； 解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法：代入消元法与加减消元法．也考查了整体代入的思想． 【详解】（1）解：由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 将代入③，得：， ∴原方程组的解是， 故答案为：； （2）由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 将代入③，得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 题型六、二元一次方程组的应用 28．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，设每块长方形地砖的长为，宽为．请求出每块地砖的长与宽．（应用二元一次方程组解决） 【答案】每块小长方形地砖的长为，宽为 【分析】首先设每块小长方形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长＋3个宽，②一个长＋一个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 答：每块小长方形地砖的长为，宽为． 29．阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用． 比如解方程组， 解：把②代入①，得，所以． 把代入②，得，解得． 所以方程组的解为． 尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！ ． 【答案】． 【分析】本题考查的是代入法解二元一次方程，正确理解整体的数学思想是解题的关键． 首先先把化成的形式，然后根据整体代入的数学思想把代入方程进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为． 30．千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区．为了激发学生个人潜能和团队精神，历下区某学校组织学生去千佛山开展为期一天的素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． （1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） （2）某旅行网上成人票价格为28元，学生票价格为14元，若该班级全部网上购票，能省多少钱？ 【答案】（1）教师4人，学生46人；（2）54元 【分析】（1）根据班教师加学生一共去了50人，门票共需810元，列出两个等式，求解即可； （2）门店的门票费减去网购的门票费就等于节省的钱． 【详解】解：设这个班参与活动的教师有x人，学生有y人， ∵千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，由题意得： 解得： 答：这个班参与活动的教师有4人，学生有46人． （2）由（1）求得这个班参与活动的教师有4人，学生有46人． ∴网购的总费用为：28×4+14×46＝756（元） ∴节省了：810－756＝54（元）． 答：该班级全部网上购票，能省54元． 31．感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（    ） （A），先消去x，再代入求解． （B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解． 探究：利用最简单的方法解方程组； 应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______． 【答案】B；； 【分析】（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，即可得； （2）根据所给简便方法两式相加得，两式相减得，则，进行就是即可得； （3）解二元一次方程组得，根据得，进行计算即可得． 【详解】解：（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，故选B； （2） ①+②得，， ②-①得，， 则， ③+④得，， 把代入③得，， 故方程组的解为； （3） ①+②得，， ∵， ∴ ， 故答案为：． 题型七、三元一次方程组 32．已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 33．三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，通过消元将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 解得， 把代入①得，， 把代入③得，， ∴原方程的解为， 故答案为：． 34．解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键． 利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】（1）解： ③-①，得④， ②+④，得， ， 把代入④，得， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． （2）解：原方程组可化为 ②-③，得④， ④-①，得， ， 把代入④，得， 把代入③，得． 原方程组的解为． 35．例1．知识点一  解三元一次方程组 解方程组： 【答案】 【分析】通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后转化为一元一次方程求解即可． 【详解】①+②得：2x+3y=18，④ ②+③得：4x+y=16，⑤ 由④和⑤组成一个二元一次方程组： 解得： 把x=3，y=4代入①得：3+4+z=12， 解得：z=5， 所以原方程组的解为： 题型八、解一元一次方程的拓展问题 36．如果，那么关于x的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程求解即可． 【详解】解：当时，方程为， 解得， 故选：A． 37.已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴，即的解为 ∴ 故选：C． 38．定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 【答案】1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出x值． 【详解】解： ∴可变形为：， ， ， ， 解得，， 故答案为：1． 题型九、根据二元一次方程组的解求参数 39.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则a，b的值分别为多少？ 【答案】 【分析】将代入方程组，得到的二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解：将代入中， 得， 解得． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．解题的关键是掌握方程组的解，是使方程组成立的未知数的值． 40.关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 41.（1）若等式的x，y满足方程组．求的值． （2）求二元一次方程的正整数解． 【答案】（1）； （2）； 【分析】（1）先利用非负性的性质求出x、y的值，从而求出m、n的值，然后代值计算即可； （2）先根据题意得到，再由x、y都是正整数，即可得到，或，从而得到答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵等式的x，y满足方程组， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴y必须是3的整倍数， ∴当时，， 当时，， ∴二元一次方程的正整数解为或． 1．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解分式方程，将方程两边同时乘以最简公分母即可去分母，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键 【详解】解： 去分母得 故选：D 2．“盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在2000多年前的《九章算术》一书中就有很详尽而深刻的阐述．书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是x文钱，根据题意列一元一次方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据买鸡的人数不变这一条件，结合两种不同的出钱方式，分别表示出人数，从而列出方程．本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据人数不变这一条件列方程是解题的关键． 【详解】解：设鸡的价钱是文钱 每人出文钱时，人数为；每人出文钱时，人数为 买鸡的人数不变 可列方程为 故答案为：B． 3．在古时的书肆（售卖书籍、文房四宝等文化用品的店铺）当中，宣纸书笺和精美信笺备受书生们青睐．已知4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱．设每沓宣纸书笺售价为x文钱，每叠精美信笺售价为y文钱，根据上述信息，列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据4沓宣纸书笺与3叠精美信笺一同售卖，总价为90文钱；2沓宣纸书笺与1叠精美信笺一同售卖，总价为40文钱，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 4．关于、的二元一次方程组，用代入法消去后，得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．将第一个方程中的x用y表示，代入第二个方程，消去x后得到关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：解方程组：， 由①式解出x，得：， 将③代入②式中，得， 展开并整理：， 因此，消去x后的方程为选项B：． 故选：B． 5．三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，得， ，得，解得， 把代入①，得， 把代入③，得， 则方程组的解为 故选：D． 6．下列方程（组中，①②③④⑤⑥是一元一次方程的是 ，是二元一次方程的是 ，是二元一次方程组的是 ． 【答案】 ① ② ⑤ 【分析】根据一元一次方程是整式方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程，二元一次方程是整式方程中含有两个未知数且未知数的次数是次的方程，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①②③④⑤⑥中， 是一元一次方程的是①， 是二元一次方程的是②， 是二元一次方程组的是⑤． 答案：①；②；⑤． 7．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 8．已知是关于、的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的概念， 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此作答即可． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 9．解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用解得 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减法解方程组是解本题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得： 故答案为：1 10．关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 11．若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 12．将三元一次方程组消去未知数z，得到的二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：④， ∴ 故答案为：． 13．解一次方程（组）. （1）； （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可； （2）观察方程组的特点，利用代入消元的方法解方程组即可. 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解，得. （2） 由①，得，③ 将③代入②，得， 解，得. 将代入③，得. 所以原二元一次方程组的解为. 14．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：． 解：去分母，得：…第一步 去括号，得：…第二步 移项，得：…第三步 合并同类项，得：…第四步 系数化1，得：…第五步 (1)上述小蒙的解题过程从第______步开始出现错误，具体的错误是______． (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；去分母没有加括号； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据解题过程可发现，第一步去分母没有带括号，即可作答； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小蒙的解题过程从第一步开始出现错误，具体的错误是去分母没有加括号； 故答案为：一；去分母没有加括号； （2）解：， 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 15．问题呈现：为打造足球特色学校，某校专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买甲种品牌的足球25个，乙种品牌的足球50个，共花费4500元，已知_____，求甲、乙两种品牌足球的单价各多少元？ 问题解析：设甲种品牌足球的单价为元，依题意列一元一次方程：． (1)根据解析，问题中横线上的已知条件是_______； (2)小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你用列二元一次方程组的方法求甲、乙两种品牌足球的单价各多少元？ (3)根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种品牌的足球共50个，总费用不超过3250元，且购买甲种品牌的足球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？请通过计算说明． 【答案】(1)甲种品牌足球的单价比乙种品牌足球的单价多30元 (2)甲种品牌足球的单价为80元，乙种品牌足球的单价为50元 (3)学校共有三种购买方案，方案一：购买甲种品牌足球23个，乙种品牌足球27个；方案二：购买甲种品牌足球24个，乙种品牌足球26个；方案三：购买甲种品牌足球25个，乙种品牌足球25个，计算说明见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），根据一元一次方程的理解可得答案； 对于（2），设甲种品牌足球的单价为元，乙种品牌足球的单价为元，依题列出二元一次方程组，求出解即可； 对于（3），设还需购买甲种品牌足球个，可知乙种品牌足球个，依题意得出不等式，求出解集，再根据足球不少于23个可得取值范围，进而得出整数解确定方案即可． 【详解】（1）解：由题意可得：甲种品牌足球的单价比乙种品牌足球的单价多30元； 故答案为：甲种品牌足球的单价比乙种品牌足球的单价多30元； （2）解：设甲种品牌足球的单价为元，乙种品牌足球的单价为元，依题意： 解得： 答：甲种品牌足球的单价为80元，乙种品牌足球的单价为50元； （3）解：设还需购买甲种品牌足球个，乙种品牌足球个，依题意： ， 解得： 又∵购买甲种品牌的足球不少于23个， ∴且为整数， ∴，24或25， 故：学校共有三种购买方案 方案一：购买甲种品牌足球23个，乙种品牌足球27个； 方案二：购买甲种品牌足球24个，乙种品牌足球26个； 方案三：购买甲种品牌足球25个，乙种品牌足球25个． 16．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 两个方程相加，消去，可得，代入原方程组中的其中一个方程，可得． 【详解】解： 将得：， 解得 将代入得：， 解得 ∴该方程组的解为． 17．列二元一次方程组解下列问题 (1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． (2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． （1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可； （2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， 所以根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． （2）设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：， 解得：． 答：甲的速度为，乙的速度为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $