16.2线段的垂直平分线 教学设计 2025-2026学年 冀教版八年级 数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质定理，通过复习定义、轴对称性等旧知搭建学习支架，衔接轴对称概念，为后续几何证明及三角形外心等知识奠定基础。 以探究活动（测量、对折）引导学生归纳性质并证明，培养几何直观与空间观念，结合饮马问题应用转化思想提升推理能力，生活情境助力模型意识养成。帮助学生发展逻辑思维，为教师提供清晰的重难点突破路径。

第十六章 轴对称和中心对称 16.2线段的垂直平分线 第1课时   一、教材分析 本节是八年级下册第16章第二节第一课时，内容主要围绕线段的垂直平分线的定义、性质与判定展开.在学习了轴对称的基本概念和性质之后，进一步研究轴对称图形的重要组成部分——线段的垂直平分线，既是轴对称性质的具体应用，也是后续学习三角形的外心、圆的性质以及几何证明的重要基础. 教材通过测量、比较、讨论，归纳出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，引导学生用全等三角形或轴对称性质证明这一性质.例题与练习，结合生活与几何图形，让学生应用定理进行计算与证明.   二、学情分析 学生已掌握轴对称的基本概念、全等三角形的判定与性质，具备一定的几何推理能力.八年级学生好奇心强，喜欢动手操作，但逻辑推理能力仍需引导和培养，对“性质”的灵活运用可能存在困难，需要教师加以引导.   三、学习目标 1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明； 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解决问题； 3.能运用线段垂直平分线的性质定理解决最短路径问题； 4.通过观察、操作、推理等数学活动，体验探究的过程，培养几何直观能力和逻辑推理能力.   四、教学重难点 重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题 难点：能运用线段垂直平分线的性质定理解决最短路径问题.   五、教学过程 · 复习回顾 思考：线段的垂直平分线的定义是什么？ 答： 思考：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 答：线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线. 思考：线段的垂直平分线有怎样的性质呢？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动：探究线段垂直平分线的性质 1.已知线段AB的中垂线l，垂足为O；在l上任取一点P，连接PA、 PB；线段PA和线段PB有怎样的数量关系？ 答：PA=PB. 2.沿直线l对折线段AB，使端点A与端点B重合，再次观察上述线段的关系. 答：线段AB沿对称轴l对折后，点A和点B重合，线段PA和线段PB重合，从而PA=PB. 师生活动：教师利用多媒体展示题目，学生测量、比较、讨论. 师引导学生用全等三角形证明这一性质： 已知：如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，P为直线l上任意一点，连接PA，PB. 求证：PA=PB. 证明：在△PAO和△PBO中， ∵ AO=BO(垂直平分线的意义)， ∠POA=∠POB=90°(同上)， ∴ △PAO△PBO(SAS) PO=PO(公共边)， ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 师小结：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 几何语言： ∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上， ∴PA=PB. 设计意图：学生通过测量、比较、讨论并证明，得到线段的垂直平分线的性质定理，加深了对定理内涵的理解，培养了学生合作探究的能力和归纳总结能力. 做一做：已知：如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E. 求证：AC=AB. 证明：连接BC， 因为点D，E分别是AB，AC的中点， 且CD⊥AB，BE⊥AC， 所以直线CD，BE分别是AB，AC的垂直平分线， 所以AC=BC，AB=CB，所以AC=AB. 师生活动：教师引导学生利用线段垂直平分线的性质定理进行证明，学生积极思考，举手作答. 设计意图：及时巩固所学知识，让学生掌握线段的垂直平分线的性质定理. · 应用新知 例1 如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程，那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短? 白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河 分析：如图，将河岸抽象为直线问题便转化为在直线l上选取一点P，使得线段PA与PB的和最短. 解：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点 P．则AP+BP最短．理由如下： ∵点A，A'关于直线l对称，∴直线l是AA'的垂直平分线． ∴AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理)． ∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换)． 如图，在直线l上另外任取一点P'，连接AP'，BP'，A'P'，则 A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短)， 即AP'+BP'=A'P'+BP'≥A'B=AP+BP. ∴AP+BP的值最小． 师生活动：教师引导学生利用线段的垂直平分线的性质定理进行思考，教师板书示范. 师小结：求线段和最短问题的实质： (1)若A、B两点在直线的两侧，直接连接A、B两点，直线段最短； (2)若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段； (3)最后利用“两点之间线段最短”加以解决. 设计意图：通过例1让学生掌握利用线段的垂直平分线的性质定理的方法步骤，并会利用定理解决问题. 例2. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D， (1)若△BCD的周长为 8，求BC的长； (2) 若BC＝4，求△BCD的周长． 分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长. 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. 师生活动：学生认真思考，独立作答，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 师小结： 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长.本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个． 设计意图：通过例2让学生学会利用线段的垂直平分线的性质定理解决问题，培养学生的逻辑能力与解决问题的能力. 例3. 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵AD⊥BC，BD =DC， ∴直线AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB =AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC =CE． ∴AB=CE ∴AB+BD=CE+DC=DE. 师生活动：学生思考后，独立作答. 设计意图：从已知条件出发，逐步推导得出结论，培养学生有条理、有顺序地进行逻辑思考的能力，让学生学会如何从多个条件中梳理出解题思路，建立清晰的逻辑链条. · 课堂练习 1.已知：P，Q为线段AB垂直平分线上的两点. (1)如图(1)，当点P，Q在线段AB的两侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗?为什么? (2)如图(2)，当点P，Q在线段AB的同侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗?为什么? 解：(1)∠PAQ=∠PBQ.理由如下： 证明：∵点P、Q为线段AB的垂直平分线上的两点，∴PA=PB，QA=QB 在△PAQ和△PBQ中， PA=PB PQ = PQ.∴△PAQ△PBQ(SSS)，∴∠PAQ=∠PBQ. AQ=BQ (2)∠PAQ=∠PBQ. 证明：∵点P为线段AB的垂直平分线上的点， ∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA， ∵点Q为线段AB的垂直平分线上的点， ∴QA=QB，∴∠QAB=∠QBA， ∴∠PAQ=∠PBQ. 2.如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AC=14，△EBC的周长是24，求BC的长. 解：∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E， ∴BE = AE， ∵△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC =14+BC=24，∴BC=24-14=10. 3.如图，点P，C，D是线段AB的垂直平分线MN上的任意三点，分别连接AP，BP，AC，BC，AD，BD，指出图中相等的线段． 解： 4.如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( 　　) A．50° B．100° C．120° D．130° 解： 5.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为点E，交AC于点D，连接BD．求△ABD的周长． 解：因为DE垂直平分BC， 所以DB=DC． 所以△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AC+AB=7+5=12． 6.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线. 解： 易得△A'CM△BDM∴A'M=BM 由于A到河岸CD的中点的距离为500米， 所以A'到M的距离为500米， A'B=2A'M=1000米. 故最短距离是1000米. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. -+ 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 轴对称和中心对称 16.2线段的垂直平分线 第2课时   一、教材分析 线段垂直平分线性质定理的逆定理是冀教版八年级数学下册的重要内容，它是在学生学习了线段垂直平分线的定义和性质定理的基础上展开的.这部分知识不仅是对前面所学内容的深化和拓展，也是后续证明线段相等、角相等以及研究等腰三角形、圆等图形性质的重要依据，在整个平面几何知识体系中起着承上启下的关键作用，有助于学生构建完整的几何知识框架，培养逻辑推理和几何证明能力. 教材通过探究活动，引导学生观察发现点P到线段AB两端点的距离相等，让学生归纳总结出一般性的结论，初步猜想出线段垂直平分线性质定理的逆定理.在学生猜想出逆定理后，引导学生将文字命题转化为几何语言，写出已知、求证.然后通过构造全等三角形等方法，让学生尝试自主证明逆定理.教师在这个过程中给予适当的引导和提示，帮助学生规范证明过程，培养学生的逻辑推理能力和严谨的数学思维.教材设置一系列例题和习题，证明点在垂直平分线上、利用逆定理进行线段长度计算和图形的简单设计等，让学生在实际运用中巩固对逆定理的理解，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会数学知识的实用性.   二、学情分析 八年级的学生已经掌握了线段垂直平分线的定义和性质定理，具备了一定的几何图形认知和推理能力，对全等三角形等证明方法也有了一定的运用经验，这为学习逆定理提供了知识储备.但对于如何从性质定理推导出逆定理，以及如何准确地运用逆定理进行证明和计算，可能还存在一定的困难.此阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对直观、具体的问题比较容易接受，但对于抽象的数学概念和逻辑推理，需要更多的实例和引导才能深入理解.在学习过程中，学生可能更倾向于通过动手操作和直观演示来获取知识，对于文字表述的定理和证明过程，需要教师进行详细的讲解和分析.八年级学生对新鲜事物充满好奇心，具有较强的学习积极性和主动性.但在面对复杂的几何问题时，可能会出现畏难情绪，需要教师及时给予鼓励和引导，帮助他们克服困难，树立学习信心.   三、学习目标 1.探究线段垂直平分线性质定理的逆定理. 2.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理. 3.能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决实际问题. 4.通过观察、操作、推理等数学活动，体验探究的过程，培养几何直观能力和逻辑推理能力.   四、教学重难点 重点：掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理 难点：能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决实际问题   五、教学过程 · 复习回顾 思考：线段的垂直平分线的定义是什么？ 答： 思考：线段垂直平分线的性质定理内容是什么？ 答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 思考：反过来，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗? 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动：探究线段垂直平分线性质定理的逆定理 1.写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2.结合下图，写出这个逆命题的条件和结论. 已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB． 求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 师生活动：先回顾线段垂直平分线的性质定理，然后启发学生思考其逆命题，鼓励学生大胆表述 3.猜想这个逆命题的真假，并试着证明你的猜想. 猜想：真命题. 证明：设线段AB的中点为O，连接PO并延长. 在△POA和△POB中， ∵ PA=PB(已知)， PO=PO(公共边)， AO=BO(中点的意义)， ∴ △POA△POB(SSS) ∴∠POA=∠POB(全等三角形的对应角相等). ∵∠POA+∠POB=180°(平角的意义)， ∴2∠POA=180°，即∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线，(垂直平分线的意义) ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 师生活动：鼓励学生对逆命题的真假进行猜想，然后引导学生回忆全等三角形等相关知识，尝试构建证明思路，在学生证明过程中，巡视指导，对有困难的学生给予提示，如提示利用中点、连接线段等方法构造全等三角形来证明. 师小结：线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA =PB， ∴点P在AB的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 设计意图：通过“一起探究”活动，引导学生经历线段垂直平分线性质定理逆命题的提出、分析条件结论、猜想真假并证明的过程，帮助学生深入理解线段垂直平分线的性质，培养学生的逻辑推理能力、几何语言表达能力以及自主探究能力，让学生体会数学命题的形成与证明过程，掌握几何研究的基本方法. 思考：若PA=PB，过点P作直线l，则l是线段AB的垂直平分线吗？ 答：不一定是. 理由：经过一点的直线有无数条. 思考：若PA=PB，同时MA=MB，则直线PM是线段AB的垂直平分线吗？ 答：是. 理由：两点确定一条直线. 总结：用线段垂直平分线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的条件：必须有两个点到这条线段的两端距离相等. 几何语言：如图， ∵AB =AC，MB =MC， ∴点A，M均在线段BC的垂直平分线上.　 ∴AM垂直平分BC. 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式，引导学生思考，深刻理解线段垂直平分线性质定理逆命题的含义以及应用方法. 做一做：已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证：AO=OC，BO=OD. 证明：∵AB=AD，BC=CD， ∴点A，C均在线段BD的垂直平分线上，　 ∴AC垂直平分BD，∴BO=OD. 同理，BD垂直平分AC，∴AO=OC. 师生活动：教师引导学生利用线段垂直平分线性质定理的逆定理进行证明，学生积极思考，举手作答. 设计意图：及时巩固所学知识，让学生掌握线段的垂直平分线性质定理的逆定理. · 应用新知 例1 已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证：点P在BC的垂直平分线上. 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线（已知）， ∴PB=PA=PC（线段垂直平分线的性质定理）. ∴点P在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理）. 师生活动：教师引导学生利用线段的垂直平分线性质定理的逆定理进行思考，教师板书示范. 师小结：当题目中出现多条线段垂直平分线，并且要证明某点在另一条线段的垂直平分线上时，通常先连接相关线段，再利用垂直平分线性质得到线段相等关系，最后依据逆定理完成证明. 设计意图：通过例1让学生掌握利用线段的垂直平分线性质定理的逆定理的方法步骤以及常见的辅助线作法，并会利用定理解决问题. 例2. 如图，已知AD⊥BC，BD=DC，AB+BD=DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上. 证明：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC. ∵AB+BD=DE，∴AB+BD=DC+CE， ∴AC=CE， ∴点C在AE的垂直平分线上. 师生活动：学生认真思考，独立作答，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 师小结： 判定线段垂直平分线的方法 1.用线段垂直平分线的定义. 2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线. 设计意图：通过例2让学生学会利用线段的垂直平分线性质定理的逆定理解决问题，培养学生的逻辑能力与解决问题的能力. 例3. 如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中AB=AD,CB=CD. (1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=DE，你同意他的说法吗？ (2)设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积. 解：(1)同意，理由如下： ∵AB=AD，CB=CD， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，BE=DE. (2) = = =. 师生活动：学生思考后，独立作答. 设计意图：在第一问的推理过程中，锻炼学生的逻辑推理能力，从已知的边相等条件，推导出对角线的垂直平分关系；在第二问中，培养学生运用几何知识进行代数运算的能力，将几何图形的边长与面积用代数式表示并计算. · 课堂练习 1.如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处.该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由. 解：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，点P就是抽水站的位置. 理由：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点. 求证：BE=DE. 解：∵AB=AD，BC=DC， ∴AC 是BD的垂直平分线， ∵E是AC上一点 ∴BE=DE. 3.在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）. A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 解：根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点. 故选：D. 4.如图，已知PM=PN，QM=QN．求证：PQ垂直平分MN． 证明：因为PM=PN，所以点P在线段MN的垂直平分线上． 因为QM=ON，所以点Q在线段MN的垂直平分线上， 所以PQ垂直平分MN． 5.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. 解：∵OE平分∠AOB，∴∠DOE=∠COE. ∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠EDO=∠ECO=90°. 又∵OE=OE， ∴△OED≌△OEC（AAS）. ∴DO=CO，DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 6.如图，AD 为∠ BAC 的平分线，交BC 于点D，AE=AF，请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 解： ∴ DE=DF. ∴点D 在线段EF 的垂直平分线上. ∵ AE=AF， ∴点A 在线段EF 的垂直平分线上. ∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. -+ 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 轴对称和中心对称 16.2线段的垂直平分线 第3课时   一、教材分析 本节是冀教版八年级数学下册中几何作图的重要内容，属于“图形与几何”领域的核心知识点之一.学生已学习了线段、垂直平分线的概念及性质，本节通过尺规作图的方式加深对垂直平分线性质的理解，并为后续学习三角形的垂直平分线、外心、圆的相关性质奠定基础. 教材在设计本课时注重“操作—探究—归纳—应用”的过程.教师演示尺规作图步骤，学生模仿操作，在实践中感知作图依据.探究原理时引导学生思考“为什么这样画出来的直线就是垂直平分线”，结合垂直平分线的定义与性质进行推理，总结尺规作线段垂直平分线的步骤与注意事项.通过例题、变式练习，让学生独立完成作图并解释理由，引导学生探索三角形三条边的垂直平分线的交点性质（外心），为后续学习做铺垫.   二、学情分析 八年级学生思维逐渐从具体形象向抽象逻辑过渡，对直观操作兴趣高，但逻辑推理能力需进一步引导.学生已掌握线段、垂直、垂直平分线的定义与性质，具备一定的几何语言表达能力.部分学生在尺规作图方面操作不够规范，需要强化步骤意识.   三、学习目标 1.掌握用尺规作线段垂直平分线的方法 2.理解作图的原理，并能用几何语言表达 3.通过动手操作、观察分析、推理归纳，培养学生的逻辑思维与动手能力 4.激发学生对几何作图的兴趣，培养严谨的学习态度和合作精神   四、教学重难点 重点：掌握用尺规作线段垂直平分线的方法 难点：理解作图的原理，并能用几何语言表达   五、教学过程 · 复习回顾 思考：线段的垂直平分线的定义是什么？ 答： 思考：线段垂直平分线的性质定理与逆定理的内容是什么？ 答：线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 思考：我们学过哪些尺规作图？ 答：(1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角. 思考：你能利用尺规作线段的垂直平分线吗? 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动：探究尺规作线段垂直平分线 如图，已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 分析：由线段垂直平分线性质定理的逆定理，只要作出到这条线段端点距离相等的两点，过这两个点画直线，即得所求作的直线. 作法：(1)分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D. (2)作直线CD.直线 CD即为所求. 师生活动：教师带领学生分步完成，教师进行演示，并对作法进行总结. 师小结： 1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要找到两个到线段两端距离相等的点，那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线. 2.用线段垂直平分线的尺规作图，可以确定线段的中点. 设计意图：通过“一起探究”活动，引导学生利用已有经验作出线段的垂直平分线，培养学生的逻辑推理能力以及几何语言表达能力，让学生掌握利用尺规作线段垂直平分线的基本方法. 做一做：如图，已知点P在直线AB上.求作：经过点P且垂直于AB的直线. 作法：(1)以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于点C，D. (2)分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧相交于点Q. (3)作直线PQ.直线PQ即为所求. 师生活动：教师引导学生利用线段垂直平分线的作法作出经过点P且垂直于AB的直线. 设计意图：及时巩固所学知识，让学生掌握利用尺规作线段的垂直平分线的方法. · 应用新知 例1 如图，已知直线AB及AB外一点P. 求作：经过点P且垂直于AB的直线. 分析：已知条件提示用什么知识点？ 答：线段垂线平分线的尺规作图. 怎样才能得到结论？ 在直线AB上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接PQ，直线PQ即为所求. 作法：(1)以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于点C，D. (2)分别以点C，D为圆心，适当长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧相交于点Q. (3)连接PQ.直线PQ即为所求. 师生活动：教师通过提问的方式引导学生分析，并分步进行演示，学生认真思考. 师小结：过一点作已知直线的垂线，已知点与直线可以有两种不同的位置关系：①点在直线外；②点在直线上. 在作图时，要注意区别. 设计意图：例1是前边“做一做”的延续，让学生掌握过一点作已知直线的垂线的方法，并注意区分点在直线外与点在直线上两种情况，培养学生的逻辑思维能力. 例2. 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，请作出它们的对称轴. 解：(1)如图所示，连接BB'； (2)分别以点B，B'为圆心，以大于BB'的长为半径画弧，两弧交于D，E两点； (3)作直线DE，直线DE就是所求作的对称轴. 师生活动：学生认真思考后小组交流，教师巡回指导. 设计意图：通过例2让学生知晓图形的对称轴即为对应点连线的垂直平分线，培养学生的团队合作意识与解决问题的能力. 例3. 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可. 解：如图所示. 师生活动：学生思考后，独立作答. 设计意图：培养学生运用所学知识解决实际问题的能力. · 课堂练习 1.如图，已知两点A，B. 求作：直线l，使点A，B关于l对称. (保留作图痕迹，不要求写出作法) 解：如图. 2.求作：∠ABC=90°.(保留作图痕迹，不要求写出作法) 解： 3.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为( ) A.7 B.14 C.17 D.20 解：由已知，MN是AB的垂直平分线，∴AD = BD. ∵△ADC的周长为10, ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC =10. ∵AB=7，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7= 17. 故选：C. 4.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( 　　) 解：因为PB＋PC＝BC，所以只需PA=PB即可，则点P在线段AB的垂直平分线上． 故选：D． 5.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，先要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求作的点. 6.如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM， 求证：∠MAP＝∠NPB. 解： 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $