16.2线段的垂直平分线（第2课时线段垂直平分线性质定理的逆定理）（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线性质定理的逆定理，从逆命题猜想切入，通过辅助线添加等证明推导定理，结合三角形垂直平分线交点等典例应用，构建“猜想-证明-应用”的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，逆命题猜想培养创新意识（数学眼光），逻辑推理证明发展推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。实例含辅助线多样添加、三角形外心结论，小结系统，助学生构建知识网络，教师教学流程清晰易操作。

16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理 第十六章 轴对称与中心对称 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 1.什么叫做线段的垂直平分线？ 垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2.线段垂直平分线的性质定理是什么？ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 几何语言： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上 ∴　PA =PB， 1 2 理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理.（重点） 能运用线段垂直平分线性质定理的逆定理进行计算与证明。（重点） 学习●目标 新知●探究 一起探究 前面我们学习了线段垂直平分线的性质定理，你能写出它的逆命题吗？ 请结合图写出这个逆命题的条件和结论. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 这个逆命题是真命题吗? 猜想： 。 条件:如图，PA=PB 结论:点P在AB的垂直平分线上 P A B 真命题 新知●探究 已知:如图16.2-9，P为线段AB外一点，且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. P A B 点P在线段AB的垂直平分线上 过点P的直线垂直平分线段AB 过点P的直线还需要一个点，才能确定一条直线，需要添加辅助线 分析: O · 取线段AB的中点为O 新知●探究 证明:设线段AB的中点为O，连接PO并延长. 在△POA 和△POB 中， PA=PB(已知)， PO=PO(公共边)， AO=BO(中点的意义) ∴△POA≌△POB(SSS). ∴∠POA=∠POB(全等三角形的对应角等). ∵∠POA+∠POB=180°(平角的意义)， ∴2∠POA=180°，即∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线(垂直平分线的意义). ∴点P在线段AB的垂直平分线上. P A B O · 还能做什么样的辅助线？ 作∠APB的角平分线 新知●探究 总结归纳 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. P A B 几何语言： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 典例●精析 例2 已知:如图16.2-10，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 分析: 点P在BC的垂直平分线上. 需要证明PB=PC. 需要连接PB、PC. 见垂直平分线，得线段相等 见垂直平分线，得线段相等 需要连接PB、PC、PA. 典例●精析 证明:如图，连接PA，PB，PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线(已知)， ∴PA=PB=PC(线段垂直平分线的性质定理). ∴点P在BC的垂直平分线上 (线段垂直平分线性质定理的逆定理). 你发现了什么结论？ 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 新知●探究 做一做 已知:如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证:AO=OC，BO=OD. 解: ∵AB=AD， ∴点A在BD的垂直平分上. ∵BC=CD ∴点C在BD的垂直平分线上 ∴AC垂直平分BD， ∴BO=OD 同理AO=OC. 新知●探究 总结归纳 判定线段垂直平分线的方法 1.用线段垂直平分线的定义. 2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线. 基础巩固题 新知●应用 1.已知：点C,D为线段AB外两点，下列说法正确的是（ ）. A.若AC=BC，则经过点C的直线垂直AB B.若AC=BC,AD=BD则直线CD垂直AB C.若AD=BD,则经过点D的直线垂直AB D.若CD⊥AB,则AC=BC,AD=BD B 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 证有两点在线段的垂直平分线上哦！ 基础巩固题 新知●应用 2.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 基础巩固题 新知●应用 3..如图，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）. C B A A.AB的垂直平分线上； B.AC的垂直平分线上； C.AB与AC垂直平分线的交点处；D.BC的垂直平分线上 C 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 基础巩固题 新知●应用 4.如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处.该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等?试在图中确定该点，并说明理由。 这个地方应在AB的垂直平分线上 铺设的两条直管道的长度相等 基础巩固题 新知●应用 5.已知:如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点. 求证:BE=DE. 证明:∵AB=AD， ∴点A在BD的中垂线上。 ∵BC=DC， ∴点C在BD的中垂线上， ∴直线AC是BD的垂直平分线 ∵E在AC上， ∴BE = DE 基础巩固题 新知●应用 6.如图，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上． 证明：∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC. ∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE， ∴AC＝CE， ∴点C在AE的垂直平分线上． 基础巩固题 新知●应用 7.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,∴∠DOE=∠COE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴△OED≌△OEC（AAS）. ∴DO=CO,DE=CE. ∵EC⊥OA,ED⊥OB,∴∠EDO=∠ECO=90°. 新知●应用 能力提升题 8.已知在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB，BC的垂直平分线的交点， 求∠BOC的度数. ∴点O也在线段AC的垂直平分线上，即△OAB、△OBC、△OAC都是轴对称图形， 解:∵O是AB，BC的垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OB ＝OC，所以OA＝OC， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7， ∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)＝2∠BAC＝116°. 新知●应用 能力提升题 9.如图，AD 为∠ BAC 的平分线，交BC 于点D，AE=AF，请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 解 ：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 证明如下：如图，连接DE，DF. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ EAD= ∠ FAD. 在△ AED 和△ AFD 中， AE=AF， ∠ EAD= ∠ FAD， AD=AD， ∴△ AED ≌△ AFD.（SAS） 新知●应用 能力提升题 ∴ DE=DF. ∴点D 在线段EF 的垂直平分线上. ∵ AE=AF， ∴点A 在线段EF 的垂直平分线上. ∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 要证明两个点在直线上，就说这条直线是线段的垂直平分线. 课堂●小结 线段的垂直平分的性质定理的逆定理 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 作用 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 $