专题01 二次函数18题型（期中专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题01 二次函数 题型1二次函数的定义 题型10求抛物线与坐标轴交点坐标 题型2待定系数法求二次函数解析式（常考点） 题型11抛物线与坐标轴/直线交点问题（难点） 题型3根据二次函数解析式判断其性质（常考点） 题型12二次函数与不等式 题型4二次函数的性质（重点） 题型13图形问题（常考点） 题型5函数图像综合 题型14销售问题（常考点） 题型6二次函数图像与各项系数之间的关系（常考点） 题型15拱桥问题（常考点） 题型7二次函数平移问题（重点） 题型16隧道问题 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17投球问题 题型9二次函数的最值问题（难点） 题型18图形运动问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 4．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 题型二 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 5．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ． 题型三 根据二次函数解析式判断其性质（共3小题） 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小D．图象与轴的交点坐标为 9．（24-25九年级上·全国·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象与y轴的交点坐标是 B．图象与x轴只有一个交点 C．y的最小值为 D．当时，y随着x的增大而增大 10．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时y随x的增大而增大 C．当时，函数有最小值是4 D．函数图象与x轴有两个交点 题型四 二次函数的性质（共5小题） 11．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 函数图像综合（共3小题） 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A．B．C． D． 题型六 二次函数图像与各项系数之间的关系（共5小题） 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 23．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    题型七 二次函数平移问题（共4小题） 24．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 26．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 27．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3小题） 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过和两点，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则 ． x 0 2 4 y 10 10 20 30．（23-24九年级上·浙江台州·期末）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为 ． x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 题型九 二次函数的最值问题（共5小题） 31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 33．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 35．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ． 题型十 求抛物线与坐标轴交点坐标（共3小题） 36．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）抛物线与坐标轴有 个交点． 37．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是 ． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点， (1)求出函数解析式． (2)请求出函数图像与坐标轴的交点． 题型十一 抛物线与坐标轴/直线交点问题（共4小题） 39．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 40．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 41．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 42．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 题型十二 二次函数与不等式（共3小题） 43．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是(   ) A．或 B． C． D． 44．（23-24九年级上·广西玉林·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 45．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 题型十三 图形问题（共3小题） 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 47．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 48．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. (1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围． (2)现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 题型十四 销售问题（共3小题） 49．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 50．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表． 销售单价x（元/件） … 2 3 4 … 每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 … (1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式； (2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 51．（24-25九年级上·浙江台州·期末）天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． (1)求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； (2)设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 题型十五 拱桥问题（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 53．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 题型十六 隧道问题（共3小题） 55．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 56．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为．以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为．    (1)求这条抛物线的解析式； (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高，宽，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说明． 57．（21-22九年级上·浙江衢州·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为 （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过? （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米? 题型十七 投球问题（共3小题） 58．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 59．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 60．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 61．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 题型十八 图形运动问题（共3小题） 62．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 63．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 64．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 65．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 66．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． $专题01 二次函数 题型1二次函数的定义 题型10求抛物线与坐标轴交点坐标 题型2待定系数法求二次函数解析式（常考点） 题型11抛物线与坐标轴/直线交点问题（难点） 题型3根据二次函数解析式判断其性质（常考点） 题型12二次函数与不等式 题型4二次函数的性质（重点） 题型13图形问题（常考点） 题型5函数图像综合 题型14销售问题（常考点） 题型6二次函数图像与各项系数之间的关系（常考点） 题型15拱桥问题（常考点） 题型7二次函数平移问题（重点） 题型16隧道问题 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型17投球问题 题型9二次函数的最值问题（难点） 题型18图形运动问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数的定义（共4小题） 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 4．（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 题型二 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 5．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的部分自变量和函数的对应值表如下： 则下列各点在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，先根据表中的数据求出二次函数解析式，再把各选项中的值代入到所得函数解析式求出的值进行判断即可求解，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表可知，，；，；，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 当时，， ∴点不在该函数图象上； 故选：． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·广东珠海·期末）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案． 【详解】解：设此抛物线解析式为， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 题型三 根据二次函数解析式判断其性质（共3小题） 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键 ． 根据二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴两侧的增减性以及与y轴的交点坐标判断选项即可 ． 【详解】解：二次函数为，其中，因此开口向下，选项A错误； 二次函数为，顶点坐标为，选项B错误； 开口向下时，对称轴直线的右侧，即时，函数值随增大而减小，选项C正确； 令，得，图象与轴的交点坐标为，选项D错误． 故选：C ． 9．（24-25九年级上·全国·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象与y轴的交点坐标是 B．图象与x轴只有一个交点 C．y的最小值为 D．当时，y随着x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数的性质、二次函数的最值，逐项判断，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标是，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故B选项错误，不符合题意； ∵，且， ∴当时，y的值最小，最小值为，对称轴为直线，故C选项错误，不符合题意； ∴当时，y随着x的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 10．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的顶点坐标是 B．当时y随x的增大而增大 C．当时，函数有最小值是4 D．函数图象与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，将该二次函数化为顶点式，根据二次函数的图象及性质即可判断选项A，B，C；令，则，根据根的判别式可判断选项D． 【详解】解：二次函数， A、该二次函数的图象的顶点为，故本选项的说法错误； B、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小．故本选项的说法错误； C、∵二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值是4．故本选项的说法错误； D、令，则 ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点．故本选项的说法正确． 故选：D 题型四 二次函数的性质（共5小题） 11．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质．将各点代入函数解析式得出函数值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：D． 13．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 根据二次函数的性质，求出对称轴和顶点坐标，求解即可； 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为， 二次函数的图象经过第三、四象限； 故选：B 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 根据二次函数的增减性列出不等式求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 又∵，函数图像开口向上， ∴， 解得． 故选：D． 15．（23-24九年级上·上海崇明·期末）在二次函数中，如果，那么它的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数，和二次函数的性质，可知该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下，然后即可判断该函数图象一定不经过第二象限． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象的对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，开口向下， ∴该函数图象存在三种情况，如图所示， ∴它的图象一定不经过第二象限， 故选：B． 题型五 函数图像综合（共3小题） 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象的综合判断，分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，即可得解，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； B、由图可得，函数经过一、二、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，故，，即，故不符合题意； C、由图可得，函数经过一、二、三象限，故，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，故，，即，故符合题意； D、由图可得，函数经过一、三、四象限，故，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，故，，即，故不符合题意； 故选：C． 17．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题．根据一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，得到a的正负与，即可判断二次函数的图象． 【详解】解：∵一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 题型六 二次函数图像与各项系数之间的关系（共5小题） 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 20．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点．下列说法： ①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴为得到，可判断①和②；根据图象过点，利用二次函数的对称性可得图象也过点，可判断③；由二次函数图象可得，当时，随的增大而增大，结合关于直线的对称点为，得到也是抛物线上的点，比较大小可判断④，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为， ， ， ，，故①正确，②错误； 图象过点，对称轴为， 由二次函数的对称性得，图象也过点， 代入，得，，故③正确； 由图象可知，当时，随的增大而增大， 又关于直线的对称点为， 也是抛物线上的点， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④，正确的个数是3． 故选：C． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据二次函数的图象与性质， 即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数点的特征，以及根与系数的关系，即可判断③④． 【详解】解：二次函数的图像开口向下， ， 二次函数的图像过轴正半轴， ， ， ， ， 故①正确； 当时，， 即， ， 故②正确； 二次函数的图像过点和， ，， 两边同除以有，， ， 整理得， 故③正确； 由题知时，，， ， ， ， 由③同理可得， ， 故④错误． 综上所述，正确的序号是①②③， 故选：A． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 23．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    【答案】①③ 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】解： 由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③符合题意； ∵，， ∴， 又， ∴，故④不符合题意； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤不符合题意． 故答案为：①③． 题型七 二次函数平移问题（共4小题） 24．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算求解即可． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； B、向右平移个单位，得， 把代入得，不经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； D、向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B． 26．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为 平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 27．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴（共3小题） 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过和两点，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是关键． 【详解】解：由题可得， 解得， 故选B． 29．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则 ． x 0 2 4 y 10 10 20 【答案】20 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由表中数据得到点和为抛物线上的对称点，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，则和对应的函数值都为20，即． 【详解】解：由表中数据得到点和为抛物线上的对称点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴和对应的函数值都为20， ∴． 故答案为：20． 30．（23-24九年级上·浙江台州·期末）二次函数的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为 ． x … －3 0 1 3 5 … y … 6 －7 －8 －5 6 … 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，根据表找到二次函数的对称轴，由二次函数图象的对称性即可求得方程的两个解． 【详解】解：由表知，当与时，函数值相等，即两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴由对称性，当时，， 即方程的两个解是或， 故答案为：0或2． 题型九 二次函数的最值问题（共5小题） 31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．1 B．1或 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解． 【详解】解：已知二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，， ∴对称轴在轴左边，即， ∴， 如图所示， ∴当时，函数的最小值为时，， ∴当时，函数的最小值为， 解得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：D ． 32．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 33．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 34．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 35．（24-25九年级上·浙江金华·期中）已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况：当时，当时，求出的值． 【详解】解：二次函数（为常数）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 把代入， 得， 抛物线的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得，（舍去）或， 综上所述，或． 故答案为：3或． 题型十 求抛物线与坐标轴交点坐标（共3小题） 36．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）抛物线与坐标轴有 个交点． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系，抛物线与轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系，求出对应的一元二次方程的根的判别式的值是解题的关键． 根据函数解析式，令，求出抛物线与y轴的交点坐标，令，得到关于的一元二次方程，求出该方程的根的判别式的值，确定抛物线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵当时，，， ∴抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为， ∴抛物线与坐标轴有2个交点． 综上所述，抛物线与坐标轴有2个交点， 故答案为：2． 37．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的动点，则取最小值时，点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，数形结合是解题的关键．点关于抛物线对称轴的对称点是点，连接交函数对称轴于点P，则取最小值；设的函数表达式为：，求出的函数表达式，即可求出答案． 【详解】解：令，即， 解得， 令，， 故A、B、C的坐标为：， ∴函数图象对称轴是直线， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴连接交抛物线对称轴于点P，此时取最小值，从而点P即为所求， 设的函数表达式为：， 将代入， 得， 解得， 的函数表达式为：， 将代入，， 故点P坐标是． 故答案为：． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点， (1)求出函数解析式． (2)请求出函数图像与坐标轴的交点． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为：，与轴交点坐标为： 【分析】本题考查求二次函数的解析式以及抛物线与x轴，轴的交点坐标，利用待定系数法准确的求出函数解析式是解题的关键． （1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，且过点， ∴设函数解析式为：， 将代入得：，解得：； ∴； ∴解析式为：； （2）解：当时：， 解得：或， ∴图象与轴的交点坐标为：． 由条件知，图象与轴交点坐标为：． 题型十一 抛物线与坐标轴/直线交点问题（共4小题） 39．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数的值恒大于0，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得抛物线开口向上，与x轴没有交点，即没有实数根，即，根据的图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的值恒大于0，， ∴抛物线开口向上，与x轴没有交点， 即没有实数根， ∴， 当时，，解得， 由二次函数的图象可知，， 故答案为： 40．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由与平行可得当时，直线与原图象只有一个交点，将与直线联立方程组，使，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ，即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或． 41．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．分和两种情况讨论即可． 【详解】解：当时，函数变为， 与轴只有一个交点， 当时， 函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得， 当时，函数的图象与轴只有一个交点， 故答案为：2或． 42．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数． (1)若该函数的图象与轴交于点，与轴分别交于点，求的面积； (2)求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式． （1）根据待定系数法求出函数解析式，再求出点B，C的坐标，根据三角形面积公式可求出答案． （2）令，求出的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得，， ∴， 令，得， 解得，， ∴, 如图， ∴, ∴； （2）解：当时，， 该方程总有实数根， 无论为何值，该函数的图象与轴总有公共点． 题型十二 二次函数与不等式（共3小题） 43．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集是或， 故选：A． 44．（23-24九年级上·广西玉林·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，时，． 故选D． 45．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)请直接写出：_______，_______，顶点_______； (2)当时，的取值范围是_______； (3)当时，x的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当时求出，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的表达式为：， 故， 顶点为：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得函数的对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，函数值随着的增大而增大，最大值为4， 当时，函数值随着的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：当和时，， ∴当时，； 当时，， 当时，． 所以当，即时，的取值范围是或， 故答案为：或． 题型十三 图形问题（共3小题） 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 47．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. (1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围． (2)现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 【答案】(1) (2)当时，由最大值192平方米 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）由题意得：，即：即可求解； （2）由题意得：，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， 故：，； （2）解：由题意得：， 故：当时，由最大值192平方米； 题型十四 销售问题（共3小题） 49．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 (3)该商店每周至少可获得3000元利润 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据利润=每盒利润×数量求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，把，和，代入，得 ， 解得， 所以y关于x的函数关系式为． （2）解：设每周出售糕点所获利润为w元 ， 当时w的最大值为5400． 所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． （3）解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为， 该二次函数图象开口向下，且对称轴为， 所以当时，， 因此该商店每周至少可获得3000元利润． 50．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表． 销售单价x（元/件） … 2 3 4 … 每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 … (1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式； (2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)一次函数， (2)当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解一元一次不等式，正确得到一次函数与二次函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据知，y与x之间的函数关系式为一次函数，然后利用待定系数法求解即可； （2）设总利润为w，由题意得，，把（1）中求得的函数式代入得到关于x的二次函数，利用二次函数的知识即可求得最大利润； 【详解】（1）解：由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数， 设y与x之间的函数关系式为， 把代入得：， ， y与x之间的函数关系式为； （2）解：设总利润为w，由题意得， ； 公司每月的制造成本不超过万元，每件制造成本为元， 每月的生产量小于等于3万件，即．解得：， ， 图象开口向下，对称轴右侧w随x的增大而减小， 时，w最大，最大值为． 答：当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万． 51．（24-25九年级上·浙江台州·期末）天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． (1)求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； (2)设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 【答案】(1) (2)32400 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设y与x之间的函数关系式为，根据当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克．可以求得销售量y与销售价格x之间的函数关系式； （2）根据每周总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∴当时，在的范围内， 把 W取到最大值，最大值是32400元． 答：利润W的最大值是32400元． 故答案为：32400． 题型十五 拱桥问题（共3小题） 52．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 【答案】(1)图见解析，（说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） (2)6m 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，建立适当的直角坐标系确定解析式是解题关键． （1）以点为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得出，，，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出最长钢索的横坐标为，代入（1）中解析式求解，然后结合题意即可得出结果． 【详解】（1）如图，建立如图所示平面直角坐标系． 由题意得：，， 设抛物线解析式为： 把代入得： 解得：     ∴抛物线解析式为     （说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） （2）把代入得 答：最长钢索的长度为6m． 53．（24-25九年级上·浙江温州·期中）阅读材料 某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用根立柱将横杆六等分加固，相邻两根立柱间距米，的长为米． 问题解决 (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式． (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到根（将横杆八等分），并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先建立平面直角坐标系，得到，根据待定系数法，设，代入即可得解； （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为， 继而得到，计算横向和纵向变化，进而得到至少还需要准备的钢筋长度． 【详解】（1）以为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示． ∵相邻两根立柱间距米，的长为米， ∴． 设，则，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）设增加立柱后原，，三点移动到，，， 由题意可知，，即的横坐标为，       代入中得，       ∴， ∴，       ∴，       ∴至少还需要准备的钢筋长度为米． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 题型十六 隧道问题（共3小题） 55．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段表示水平的路面，根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯）．若要求，处的照明灯水平距离为，求照明灯的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，把解析式设为顶点式，根据利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意得到点A到对称轴的距离，即可得到点A的横坐标，再求出点A的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得点，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 满足设计要求的抛物线的函数表达式为． （2）解：点，在同一高度， 点，关于对称轴直线对称， ∵，处的照明灯水平距离为， ∴可知点距离对称轴个单位长度， 点的横坐标为， 在中，当时， 点的纵坐标为， 即照明灯的高度为． 56．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为．以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为．    (1)求这条抛物线的解析式； (2)如果隧道是双向通道，现有一辆货车高，宽，这辆货车能否通过该隧道？请通过计算进行说明． 【答案】(1) (2)这辆货运卡车能通过该隧道，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把代入（1）所求解析式中求出y的值，再与货车的高进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ， 根据题意，得． 由， 解得， ∴所求的抛物线的解析式为． （2）解：这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下： 当时，． ∵， ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式有几种方法，一般式、顶点式、交点式，因题而异，灵活处理．确定抛物线的解析式的关键是会找抛物线上的几个关键点． 57．（21-22九年级上·浙江衢州·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m，宽为4m，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为 （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过? （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米? 【答案】（1）抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是米． 【分析】（1）先确定D点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式可得出拱顶E到地面BC的距离； （2）由于抛物线的对称轴为y轴，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（4，0）或（-4，0），然后计算自变量为-4或4的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断． （3）将y=8代入函数求得x，再结合函数的对称性即可求得最小距离． 【详解】解：（1）∵矩形的长为12m，宽为4m， ∴, 代入得，解得， ∴抛物线的表达式为，拱顶E到地面BC的距离为10m； （2）由题意得货运汽车最外侧与地面OC的交点为，与OB的交点为 将或代入到得， 所以这辆货车能安全通过． （3）将y=8代入得，解得， 所以两排灯的水平距离最小是米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 题型十七 投球问题（共3小题） 58．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【答案】(1)排球不能打过网 (2)当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高 (3)排球落在界内 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）计算当时的函数值，将函数值与比较即可解答； （2）将二次函数解析式化成成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）计算当时的函数值，当时，排球将落在界内；当时，排球落在边界上；当时，排球落在界外，据此判定即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故排球不能打过网． （2）解：∵， ∴当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高． （3）解：当时，， ∴排球落在界内． 59．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 【答案】(1)小球飞行的最大高度是； (2)小球从飞出到落地需要． 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值； （2）当时，求得，即可得到小球从飞出到落地需要的时间 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20， ∴小球飞行的最大高度是； （2）解：当时，得， 解得：或0， 答：小球从飞出到落地需要． 60．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 61．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在某社区中心广场，矗立着一个造型独特的人工喷泉．喷泉的喷水枪竖直放置，喷水口距地面2米．喷出的水流轨迹呈抛物线形状，水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米．水流落地点距离喷水枪底部的距离为2米．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请解决以下问题： (1)求出水柱最高点P到地面的距离． (2)若在线段上距离喷水枪所在直线1.5米处放置一个精致的艺术雕塑，为避免雕塑被水流淋到，则雕塑的高度应小于多少米？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)雕塑的高度应小于米 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，二次函数的性质，正确得出函数解析式是解题关键． （1）依据题意，可得，，又水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米，则可设，再将，代入解析式求出，后，得出顶点，然后可以判断得解； （2）依据题意，当时，，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，，． 水流最高点到喷水枪所在直线的距离为0.5米， 可设． 将，代入上面的解析式可得， ， ． 水流所在抛物线为． 顶点为． 水柱最高点到地面的距离为米． （2）解：雕塑的高度应小于1.25米．理由如下： 当时，． 答：雕塑的高度应小于米． 题型十八 图形运动问题（共3小题） 62．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】(1)； (2)m． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． （2）在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 63．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图1所示，草坪上的喷水装置高米，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为米处，达到最高点，点距离地面米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式； (2)这个喷水装置的喷头P能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取）． 【答案】(1)； (2)这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值； 【详解】（1）解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知，抛物线顶点， 设抛物线对应的函数解析式为， 由抛物线经过点，可得， 解得， ； （2）解：令，则 解得，， ， 喷灌面积， 答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为． 64．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 (2)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】（1）设运动时间为t秒，分别表示出，利用勾股定理的逆定理证明，进而利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可； （2）设运动时间为t秒，利用三角形面积公式即可表示出的面积，然后配方，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得，， ∴ ∵在中，，， ∴是直角三角形，即， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决本题的关键． 65．（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． （3）当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 66．（24-25九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． (1)几秒后四边形的面积是？ (2)若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值； （2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； （2）解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． $