专题02 一元二次函数、方程与不等式（考题猜想，易错必刷60题13种题型）高一数学上学期湘教版2019

专题02 一元二次函数、方程与不等式 （易错必刷60题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等关系的判断 · 利用不等式的性质求范围 · 比较大小 · 基本不等式求最值 · 基本不等式与恒成立问题 · 不含参一元二次不等式的解法 · 含参一元二次不等式的解法 · 分式不等式的解法 · 已知不等式的解集求参数 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次不等式有解问题 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次方程根的分布 · 不等式与实际问题 1、 不等关系的判断（4小题） 1．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·重庆巴南·阶段练习）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）（多选）已知均为实数，下列命题正确的是（    ） A．已知，则存在负数使成立 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，，，则 D．若正数满足，则 2、 利用不等式的性质求范围（4小题） 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 8．（22-23高一上·山东淄博·月考）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 3、 比较大小（3小题） 9.（多选）（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一上·甘肃武威·月考）（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 11.（1）已知，试比较与的大小； （2）已知，为实数，试比较与的大小. 4、 基本不等式求最值（8小题） 12.（2024高一上·吉林·阶段练习）设，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最大值为2 13.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 15.（2024上·广东深圳·高一校考阶段练习）设，则的最大值是（    ） A．3 B． C． D． 16.（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 17．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 18.（2024高一上·福建·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．3x(x-2)的最大值为2 D．的最小值为 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 5、 基本不等式与恒成立问题（4小题） 20．（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 21．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（23-24高一上·四川宜宾·月考）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 23．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 6、 不含参一元二次不等式的解法（3小题） 24．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·宁夏固原·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2). 26．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2). 7、 含参一元二次不等式的解法（4小题） 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 29．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 30．（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 8、 分式不等式的解法（5小题） 31．（23-24高二下·福建南平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 33．（24-25高一上·全国·课后作业）若p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 34．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·浙江·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9、 已知不等式的解集求参数（4小题） 36．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 38．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 39（23-24高一上·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 . 10、 一元二次不等式恒成立问题（5小题） 40．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 41．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 42．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11、 一元二次不等式有解问题（4小题） 45．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 46．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12、 一元二次方程根的分布（8小题） 49．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 50．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 52．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（24-25高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 55．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 56．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 13、 不等式与实际问题（4小题） 57．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24高一下·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 60．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）完成下列各题：    (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． (2)如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ $$专题02 一元二次函数、方程与不等式 （易错必刷60题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等关系的判断 · 利用不等式的性质求范围 · 比较大小 · 基本不等式求最值 · 基本不等式与恒成立问题 · 不含参一元二次不等式的解法 · 含参一元二次不等式的解法 · 分式不等式的解法 · 已知不等式的解集求参数 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次不等式有解问题 · 一元二次不等式恒成立问题 · 一元二次方程根的分布 · 不等式与实际问题 1、 不等关系的判断（4小题） 1．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值排除选项，再证明选项得到答案. 【详解】取，则和不成立，排除； 取，不成立，排除； 即 故选 2．（2024高一上·重庆巴南·阶段练习）若且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，结合举例法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，实数且， 对于A中，由，当，可得，所以不一定成立； 对于B中，例如，此时，所以不一定成立； 对于C中，例如时，可得，所以不一定成立； 对于D中，由，根据不等式的性质，可得，所以不等式一定成立. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，当时，得，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 4．（2024高一上·湖北荆州·阶段练习）（多选）已知均为实数，下列命题正确的是（    ） A．已知，则存在负数使成立 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，，，则 D．若正数满足，则 【答案】AC 【分析】A、C、D利用作差法转化为商或积的形式，结合已知条件、不等式性质判断正误；B令结合充分性定义即可判断正误. 【详解】A：，而，若为负数，则，当时，此时成立，正确； B：当时，的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，错误； C：，而，，，则，故，，故，即，正确； D：，故时，原不等式也成立，错误. 故选：AC 2、 利用不等式的性质求范围（4小题） 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 6．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误.故选：AB. 7．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先变形，再转化为求的范围. 【详解】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 8．（22-23高一上·山东淄博·月考）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【解析】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. 3、 比较大小（3小题） 9.（多选）（2023上·四川成都·高一树德中学校考期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A项：因为：，，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由，，得：， 所以得：，故D项正确； 故选：CD. 10．（23-24高一上·甘肃武威·月考）（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）依题意有：， 又，，，所以， 即； （2）证明：，，又，， ，则有：， 又，． 11.（1）已知，试比较与的大小； （2）已知，为实数，试比较与的大小. 【答案】（1）答案见解析（2）≥ 【详解】（1）【作差比较法，分类讨论】 ∵， 又∵，， ∴当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，当时，；当时，；当时，. （2）【作差比较法，配方变形】 ， 当且仅当，取等号. 所以≥. 4、 基本不等式求最值（8小题） 12.（2024高一上·吉林·阶段练习）设，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最大值为2 【答案】C 【分析】对于ABD，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A正确； 对于B，因为，则， 当且仅当时取等号，则的最小值2，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，， 而，则，当且仅当时取等号， 故的最大值为2，故D正确. 故选：C. 13.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定的等式可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由，，，得， 因此，则， 当且仅当，即时取等号，由，解得， 所以当时，取得最小值. 故选：B 14．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 15.（2024上·广东深圳·高一校考阶段练习）设，则的最大值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， 所以的最大值是. 故选：B. 16.（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】将代入得，再结合基本不等式求解即可. 【详解】，, ，， 令， ， 当且仅当，即时取等号，此时， 的最大值为. 故选：D. 17．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项. 【详解】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 18.（2024高一上·福建·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．3x(x-2)的最大值为2 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】根据函数的性质，基本不等式等判断各选项． 【详解】当时，，A错； ∵，∴，时，，B正确； 时，，C错； ， 当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BD． 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为 . 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，则， 当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值． 故答案为： 5、 基本不等式与恒成立问题（4小题） 20．（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 【答案】C 【解析】因为，故， 则， 当且仅当，即时取得等号， 由于恒成立，故，即的最大值为8，故选：C 21．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“”是“不等式对于任意正实数恒成立”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，利用基本不等式可证得，而得不到，可通过举例验证，利用充分条件，必要条件的概念即可判断． 【详解】当时，对于任意正实数， ．当且仅当时等号成立， 所以：是对于任意正实数恒成立的充分条件； 同理：若时， ，当且仅当时等号成立， 也成立， 故不是对于任意正实数恒成立的必要条件． 综上：是对于任意正实数恒成立的充分不必要条件． 故选：A． 22．（23-24高一上·四川宜宾·月考）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 【答案】ABC 【解析】由，，则，即恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即， 即，解得或.故选：ABC. 23．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 6、 不含参一元二次不等式的解法（3小题） 24．（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法逐项分析即得. 【详解】对于A，，所以不等式的解集是，故A错误； 对于B，由，可得不等式解集为，故B错误； 对于C，不等式变形为，开口向上，，所以解集是空集，故C正确； 对于D，由，可得不等式的解集为或，故D错误. 故选：C. 25．（23-24高一上·宁夏固原·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1），解得， 所以不等式的解集为. （2）由得，解得或， 所以不等式的解集为或. 26．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）可化为，解得或， 所以解集为. （2）可化为，解得， 所以解集为. 7、 含参一元二次不等式的解法（4小题） 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 28．（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解. 【详解】原不等式可化为即，而，故， 图象开口向下，故原不等式的解集为. 故选：A 29．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 30．（2024高一·全国·专题练习）求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 8、 分式不等式的解法（5小题） 31．（23-24高二下·福建南平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合分式不等式的解法分析求解. 【详解】因为，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 32．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为，即可求解. 【详解】由可得，解得， 故不等式的解集为. 故选：C 33．（24-25高一上·全国·课后作业）若p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，求出的充要条件即可得解. 【详解】，， 所以p是q的必要而不充分条件. 故选：B. 34．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 【详解】原不等式等价于不等式且，即 解得原不等式的解集为或． 故选：D. 35．（23-24高二下·浙江·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式整理为，解不等式组，即可得到答案. 【详解】不等式可化为，等价于解得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 9、 已知不等式的解集求参数（4小题） 36．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 38．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 39（23-24高一上·广东潮州·期中）若关于的不等式的解集为或，则的值为 . 【答案】 【分析】根据不等式解集，结合三个二次之间的关系，即可求得参数值. 【详解】根据题意，方程的两根为和， 故可得，解得. 故答案为：. 10、 一元二次不等式恒成立问题（5小题） 40．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 41．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当时，因为对恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故选：C 42．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 43．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 44．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 11、 一元二次不等式有解问题（4小题） 45．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 46．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 47．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 48．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断充分必要条件，一般先就两个命题求出它们的等价命题，再根据要求判断即可. 【详解】由题意，，即； 又由“”为真命题当且仅当， 即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件. 故选：A. 12、 一元二次方程根的分布（8小题） 49．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 50．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 51．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可. 【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为， 则等价于函数有两个不相等且大于0的零点， 所以或， 故选：D 52．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 53．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 54．（24-25高一上·河南南阳·开学考试）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据题意分析可得，结合充分、必要条件可得结果. 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 55．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 56．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 13、 不等式与实际问题（4小题） 57．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 58．（23-24高一下·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系，其中，一名同学以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点以上的位置最多停留（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，令，解一元二次不等式即可得结果. 【详解】由题意可得：， 令，即，解得， 所以排球能够在拋出点以上的位置最多停留秒. 故选：C. 59．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 60．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）完成下列各题：    (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值． (2)如图（2），某学校要在长为8m，宽为6m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m (2) 【分析】（1）设每个区域的长与宽分别是和，由题意可得，结合基本不等式即可进一步求解； （2）设花卉带的宽度为，由题意列出一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别是和， 由题意可得，则彩带的总长， 当且仅当，即且时，彩带的总长最小． 所以每个区域的长与宽分别是6m和4m时，彩带总长最小，彩带总长的最小值为48m； （2）设花卉带的宽度为，由题意可得， 即，即有，解得或， 由实际意义可得，所以中间草坪的面积大于总面积的一半， 则花卉带的宽度x的取值范围是． $$